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数学教育是一种教育活动.真正的教育活动意味着遵循自己的真诚信念去探索正确的教育途径.作为一名数学教育工作者，如果不能对数学的性质与任务等问题有较清楚的认识，在数学教育教学实践中必然难以形成科学的数学教育信念，从而不能科学地理解数学教育的内容、方法、途径等方面的问题.这事实上表明，作为一名数学教师，树立正确的数学观具有非常重要的意义.本文对广大数学教师非常关心的两个基本问题“数学是什么？”“数学有什么用？”进行初步的讨论.
一、数学是什么？
这是数学观中最根本的问题.人们曾试图给数学下一个理想的定义.然而，对任何事物下定义都很难概括事物的一切重要属性.给数学下定义也是如此，因为在顾及全面性的同时常常难以预料发展性.以下列举一些学者对数学的看法.
恩格斯说：“数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学.”这一经典定义，基本上能概括数学中的绝大部分内容.但自19世纪末数理逻辑诞生后，人们发现数理逻辑中既没有数也没有形，恩格斯关于数学的定义并不完全准确.20世纪中叶以来，数学自身的巨大变化以及与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展，超现实的形式与关系也是数学研究对象的重要成分.
在古代，中国人大多数认为数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法，而希腊人则认为数学是理念，是关于世界本质的学问，数学的对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，数学的知识可以通过亲身体验借助实验、观察和抽象获得.由此看出，古代学者对数学大致有两种看法，一种认为它是用来解决实际问题的，是一种实践的经验，是与人的生产生活紧密联系的；一种认为它是超脱于人类物质世界的一种思想意识.
在近现代，人们从数学的基本要素、特征或研究对象特点等角度对数学本质进行了不同程度的认识.
在《数学是什么》一书中，美国数学家R.柯朗指出了数学的基本要素，他说：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性”.[1]
在《数学与善》一文中，数学家、哲学家怀特海指出：“数学就是对模式的研究”.美国数学家斯蒂恩把上述观点说得更加明白：“数学是模式的科学.数学家从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式.数学理论阐明了模式间的关系；函数和映射、算子和映射把一类模式与另一类模式联系起来从而产生了稳定的数学结构.数学的应用即是运用这些模式对相应的自然现象做出‘解释’和预言.模式揭示了别的模式，并常常导致了模式的模式.正是以这种方式遵循着自身的逻辑：以源于科学的模式为出发点，并通过补充所有的由先前的模式导出的模式使这种图像更加完备”.[2]
在《数学的内容、方法和意义》一书中，前苏联数学家A.D.亚历山大洛夫指出了数学的三大特征：抽象性、严谨性和广泛应用性.我国数学教育家张奠宙先生则从数学对象、数学思维、数学知识以及数学应用四个不同维度描述了各自的特征——数学对象的特征：思想材料的形式化抽象；数学思维的特征：策略创造与逻辑演绎的结合；数学知识的特征：简约的科学语言；数学应用的特征：数学模型的技术.
荷兰数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal）认为“数学是一种相当特殊的活动”，数学的概念、结构与思想都是物理世界、社会存在与思维世界各种具体现象的反映，也是组织这些现象的工具，因而数学在现实世界中有它的现象学基础.前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Колмогоров）认为，数学的研究对象产生于现实，但数学又必须离开现实（抽象），由于数学内容不断丰富，应用范围无限扩大，因而并非完全脱离现实（抽象）.同时，由于数学的基础是纯集合论，数学的各专门分支研究各种特殊的结构，每一种结构应由相应的公理体系确定.
也有不少人从数学方法或数学的研究过程出发积极地探讨数学的本质.庞加莱曾指出“数学家是‘通过构造’而工作的，他们‘构造’越来越复杂的组合.[3]Courant则说“严格的公理化演绎的模型构成了引人注目的有吸引力的形式，在这种形式里常常能够结晶出数学思想的最终产品.”[4]Chavan则明确地说：“数学首先是一种探讨研究的方法.这个方法包括对所讨论的概念认真地下定义以及明确地给出一些用于推理的基础假设.从这些定义和假设出发再运用最严格的逻辑推导出结论.然而数学家还需要有高度的直觉和想象力.正因为这种能力，他们才能打破旧时代的僵化传统并建立新的、革命性的概念.”[5]
数学有两个方面，即数学的两重性——数学内容的形式性和数学发现的经验性，正如波利亚所指出的“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但也是别的什么东西[6].由欧几里得方法提出的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.”在菲茨拜因看来，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程，数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的”.
数学是什么？可谓众说纷纭.南京大学方延明教授曾总结为“万物皆数说”、“哲学说”、“符号说”、“科学说”、“工具说”、“逻辑说”、“创新说”、“直觉说”、“集合说”、“模型说”、“活动说”、“精神说”、“审美说”、“艺术说”等十多种观点[7].其实，想用几句话作一个恰当回答“数学是什么？”并不是一件容易的事，因为这有一个看问题的角度.比如，从数学学科的本身来讲，数学是一门科学，这门科学有它的相对独立性，既不属于自然科学，也不属于人文、社会或艺术类科学；从它的学科结构看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的表现形式看，数学是符号；从对人的指导看，数学是方法论；从它的社会价值看，数学是工具.因此，对数学来说，过分强调某一方面.都可能忽视另一方面，很难给出一个比较确切的定义.
或许文中所提许多互不相同、甚至相互对立的论述会使不少教师对“数学是什么？”感到更加困惑，从某种意义上说，这是正常的.同时，从对许多观点的描述中我们应对数学获得如下一个基本的清醒认识，即：数学应当是一个多元的综合产物，不能把它简单地等同于命题和公式汇集成的逻辑体系.正如“人人关心数学教育的未来”中指出的“数学是一门有待探索的、动态的、进化的思维训练，而不是僵化的、绝对的、封闭的规则体系；数学是一种科学，而不是一堆原则，数学是关于模式的科学，而不是仅仅关于数的科学”，我们虽不能用几句话说清楚“数学是什么？”或者找到称心和完美的统一表述，却能找到刻画数学本质的两条不同的路径：其一为动态的，将数学描述为处于成长发展中因而是不断变化的研究领域；另一为静态的，将数学定义为具有一整套已知的、确定的概念、原理和技能的体系.
从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识不断变化和深化，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位.从数学学科的发展史看，人们对数学本质特征的认识也是随着数学的发展而不断发展的.恩格斯关于数学的论断反映了数学的来源，布尔巴基学派关于数学是一种结构的观点反映了现代数学的水平.关于数学是研究模式的学问的说法则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释.从人类认识的思想根源看，对数学本质特征的认识反映了人类对数学推理的必然性、准确性的信念，反映了对自身理性的能力、根源和力量的信心.
二、数学有什么用？[8]
数学是自然科学和技术科学的基础.并因此体现了广泛的应用性.例如，现代物理愈发展愈数学化，杨振宁规范场理论体现在数学上就是数学家陈省身的纤维丛理论；物质的微观结构与几何学密切相关，DNA双螺旋结构是数学中纽结理论的研究对象.西方国家在20世纪60年代实现工业化之后.就从工业社会逐步进入信息社会，并且出现了以信息技术为核心的新的技术革命.新技术革命使数学的应用范围有了很大的扩展.在自然科学的三大前沿——天体演化、物质结构和生命起源的研究中，都用到了大量的、高深的现代数学.培根认为“对自然界的许多部分，如果没有数学的帮助和参与，则既不能以足够的技巧予以制造，也不能以充分的表白予以演示，也不能以足够的灵巧使之适于应用”.尤其在今天科技高度发展的时代，更多的人认为“高技术本质上是一种数学技术”.
数学在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥着越来越大的作用.例如：计量经济学、数理经济学等都是直接应用数学的.获得诺贝尔经济学奖的学者中，很多是因为借助了先进的数学理论和方法而作出重大贡献的.随着经济适应信息时代的需要，对于大量的数据，如何收集、整理、储存、提取、保密、传送和使用它们，如何从中得出有效的统计规律，帮助我们做出各种决策，数学都起着非常实在的重要作用.数学也越来越多地用于环境科学、人口问题和自然资源的研究，以解决人类社会面临的难题，一些相沿已久、单一定性描述的学科也日渐走上定量分析的道路，数学已日益渗透到人类文化的诸多领域.
数学是人类理性文明高度发展的结晶，体现出人的巨大的创造力，数学与计算技术的结合则直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展.电子计算机的发明对人类历史进程产生了巨大的影响.它的主要思想是数学家研究出来的.它的出现，使数学的服务功能大大发挥出来了.各门科学，对所研究问题往往需要建立适当的“数学模型”，通过求解和实验验证来得到正确的结论.
数学应用给人类物质方面带来巨大的成就，但它们并不是“数学有什么用？”的全部.数学的广泛应用性也并不表明“所有的数学都是有用的”或者“有用的数学才是有价值的数学”.数学教育现实中，不少数学教育工作者自觉或不自觉地忘记数学应用是建立在数学与自然密切关系基础上的事实，过分片面地强调数学的应用性——比如，在课程或教学中，有意识地对“能用的数学”即予保留，对“暂时用不上的数学”即予放弃或消极对待.这种认识是有害的.中国古代数学史表明：这种认识最终会导致数学的发展空间越来越窄，使数学成为无源之流，渐趋枯竭.西方数学史表明：如果对“无用的”数学加以拒绝、否定，直到看到其“用”才接受、吸纳也必然会导致数学发展的曲折.
在实用主义观点日益强化的思潮中，对数学作用的认识人们会向数学纯粹工具论的观点倾斜，一般不会忘记数学的工具价值.但是，除了工具价值，数学还存在着文化价值，即数学在文化理念和文化素质层面具有非常大的价值，一个人通过数学训练，不仅能掌握知识技能、锻炼思维能力，而且能陶冶情操，提升综合素质.据悉，英国律师在大学里必须要修毕多门高等数学课程，这并非是因为英国的法律条文一定要用微积分去计算，也不是因为英国的法律课程要以高深的数学知识为基础，而是出于对数学文化价值的高度认同.出于同样的目的，闻名世界的美国西点军校除了要求学员选修一些在实践中能发挥重要作用的数学课程（如运筹学、优化技术和可靠性方法等）之外，还规定学员必修多门与实践不能直接挂钩的数学课.由此可见，我们对数学作用的认识应当超越世俗的片面理解.日本数学教育家米山国藏曾经说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一两年就很快忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生.”数学家狄尔曼则说：“数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和信心，数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神.”而对于现代数学，N.布特勒则更清楚地说明了它超越世俗的独特作用：“这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的日光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间.”[9]
只有超越世俗的认识，人们才能更清晰地看到数学作为一种意识或思维方式的本质及其潜在的至高价值，才能更清晰地看到数学在形成人的世界观、人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.人们经历“思维的体操”的训练，思维更加敏锐，表达更加清楚，在生活中可以更好地用数学的观点去处理问题.人们通过数学进行交流，可以更加简明而准确地传递信息.在方法论层面，数学使人善于处世和做事，提高工作效率.在文化层面，数学使人得到数学文化方面的修养，更好地理解、领略和创造现代社会文明，并给人以精神和态度的支持，实事求是，锲而不舍，坚持不懈地追求真理.在教育层面，应当自觉地培养学生数学地思考问题、学会应用的意识和能力，既不能不关心数学的广泛应用，只强调思维体操的训练，也不能只讲浅层的甚至世俗的数学应用，淡化数学思维、逻辑等深层次的应用.
三、几点启示
美国数学教育家隆贝尔格曾经指出：改革数学教学最迫切的问题在于改革学校师生对数学整体的宏观观念.在数学课程改革不断深化的今天.随着人们对数学有效教学的高度关注，我们应当高度重视数学教师的教育观念对数学教育行为的影响，进一步深刻认识“数学是什么？”与“数学有什么用？”这两个有关数学整体宏观观念的基本问题对于改进当下的数学教育教学具有非常重要的现实意义.
“数学是什么？”本质上是讨论数学的本质观，它是人们在各自数学知识观的基础上形成的关于数学本质的认识，这种认识具有初步的超越个体经验的普遍数学理性的特征.这种认识具有内在的自觉性，这是因为，当人们具备了一定的数学知识和关于数学的一些朴素认识之后，就有必要逐步在理念上上升到关于数学理解的哲学层面.由于数学悠久的历史演变，加之数学与其他各种哲学观念的复杂的历史渊源，关于“数学是什么？”的回答必然会呈现出五彩缤纷、形色各样的特点.作为数学教师，为了不成为某种观点的俘虏，应当自觉地对相关的观点进行辨析，其中，有些具有较为长久的影响力（例如柏拉图主义理念的数学观），有些观念只是在某个历史发展阶段的特定认识（例如毕达哥拉斯关于“万物皆数”的神秘主义数学观），有些则体现了与其他科学思想的密切联系（例如亚里士多德提出数不是事物的本身，而是事物的属性）.在当代，绝对主义数学观与可误主义数学观的对立构成了关于数学观认识的一个焦点，我们既需要从科学、文化、社会、历史等视角对“数学是什么”进行解析研究，也需要结合课程教学的实际对“数学是什么”进行综合研究.为此，一方面要善于了解、比较、分析有关专家、学者、前贤与时贤关于“数学是什么”的若干观点，从中汲取合理的、有益的养分，并积极、自觉地促使自己不合理的观念改变，树立正确的数学观，特别地，应自觉地实现由静态的、片面的、机械反映论的数学观向动态的、辩证的、模式论的数学观的转变.积极投身于符合数学学科本质、符合学生身心成长规律和经济社会发展需求的数学课程建设；另一方面，在课程教学实施过程中，要对为学生准备的数学或作为教育任务的数学的本质做出明确的认识，不仅要考虑数学的科学性、工具性和技术性，还要看到数学作为人类文化传统的性质，数学知识在被人接受和被人教授时的特点.特别地，我们应当看到数学形式化是数学学习的重要组成部分，但是作为教育任务的数学教学应当引导学生透过形式看到数学本质形成过程，应当认识到数学不等于逻辑，形式化不是数学的起源，也不是数学发展的最终目标.掌握数学思想方法，认识世界并改造世界，这才是数学科学的真谛.有效的数学教学不仅要注意让学生体验数学是怎样形成的，更重要的是要让学生深刻领悟数学的思想和方法，加深对数学科学的理解，获得科学的研究方法.从这个意义上说，将数学的学术形态转化为教育形态是每个数学教师的职责所在，是数学教育教学中必须正确对待的一项长期的、根本的任务.
“数学有什么用？”本质上是讨论数学的价值与功用，它是在一定的数学本质观念的基础上，对数学的科学、文化、社会、历史及其他有关方面的价值与功用进行的总体判断和认识.作为教师，应当要了解数学在科学发展和社会发展中的作用，在科学思想体系中的地位，数学与其他学科之间的关系，对人类文明进步的影响，对物质文明和精神变明的贡献.应当认识到，数学除了其科学性之外，还有其文化性、社会性、艺术性，数学虽然既不属于自然科学也不属于人文社会科学，但数学与这些科学有着广泛、丰富、深刻的联系，它是连接自然科学与人文、社会科学的一条纽带.基于上述的视野，数学教育中应当从多个层面认识数学的价值与功用，比如，可以从数学对社会进步、科技发展的角度认识数学的价值和功用，可以从数学教育对提高人才素质和培养信息时代合格建设者的角度认识数学的价值和功用.相应地，数学的教学既要立足于为学生今后的生存和发展作好数学准备，而这种作好数学准备决不仅指懂得了一定的数学知识、理论及其基本应用，更重要的是学会了数学思维，掌握了一定的数学思想方法，具备一定的数学精神和品质.为了作好这里所说的数学准备，当下的数学教育教学尤其要注意深刻认识和理解数学课程与教学中关于数学问题解决、数学证明与推理、数学直觉、数学方法等的意义、作用、价值，要自觉反思数学教育内在的多样性的价值特点，并因此善于对数学和数学教育的作用做出较为客观、全面的评价.