摘要：提出一种基于新模型的机器人计算力矩鲁棒跟踪控制。首先,利用反馈控制技术,把多关节机器人动力学模型转化成一个线性状态方程。然后,基于此线性状态方程,应用李雅普诺夫函数设计思想,针对不确定性有界的要求,设计连续鲁棒补偿控制器来抑制不确定性对机器人控制系统的影响。根据所选控制器中个别参数的不同,分别使机器人系统满足全局指数稳定(GES),全局渐近稳定(GAS)和全局一致终值有界(GUUB)。
关键词：鲁棒性；机器人；定位法
引言
自主移动机器人导航过程需要回答三个问题：“我在哪里？”“我要去哪儿？”和“我怎样到达那里？”。定位就是要回答第一个问题，确切的，移动机器人定位就是确定机器人在其运动环境中的世界坐标系的坐标。根据机器人定位可分为相对定位和绝对定位。
一、相对定位
1、里程计法 在移动机器人车轮上装有光电编码器，通过对车轮转动记录实现位资跟踪。航位推算法是假定初始位置已知，根据以前的位置对当前位置估计更新。缺点是：航位推算是个累加过程，逐步累加的过程中，测量值以及计算值都会累积误差，定位精度下降，因此，它只适用于短时间或短距离位资跟踪。
2、惯性导航法 机器人从一个已知坐标出发，陀螺仪测得角加速度的值，加速度计获得线加速度，通过角加速度和线加速度进行二次积分，分别得到角度和位置。
二、绝对定位
绝对定位又称为全局定位。完成机器人全局定位需要预先确定好环境模型或通过传感器直接向机器人提供外接位置信息，计算机器人在全局坐标系中的位置。
1、信标定位：运用人工路标或自然路标和三角原理进行定位。
2、地图匹配：利用传感器感知环境信息创建好地图，然后，将当前地图与数据库中预先存储好的地图进行匹配，计算出机器人在全局坐标系中位资。
3、GPS：室外机器人导航定位
4、概率定位：基于概率地图的定位，用概率论来表示不确定性，将机器人方位表示为对所有可能的机器人位资的概率分布。
4.1马尔科夫定位（Maekov Localization ML）：机器人通常不知道他所处环境的确切位置，而是用一个概率密度函数表示机器人的位置。它持有一个可能在哪里的信任度并跟踪任意概率密度函数跟踪机器人的信任度状态。信任度是指机器人在整个位置空间的概率分布。
4.2卡尔曼滤波定位：卡尔曼滤波定位算法是马尔科夫定位的特殊情况。
移动这一简单动作，对于人类来说相当容易，但对机器人而言就变得极为复杂，说到机器人移动就不得不提到路径规划，路径规划是移动机器人导航最基本的环节，指的是机器人在有障碍物的工作环境中，如何找到一条从起点到终点适当的运动路径，使机器人在运动过程中能安全、无碰撞地绕过所有障碍物。这不同于用动态规划等方法求得的最短路径，而是指移动机器人能对静态及动态环境作出综合性判断，进行智能决策。
全局路径规划是在已知的环境中，给机器人规划一条路径，路径规划的精度取决于环境获取的准确度，全局路径规划可以找到最优解，但是需要预先知道环境的准确信息，当环境发生变化，如出现未知障碍物时，该方法就无能为力了。它是一种事前规划，因此，对机器人系统的实时计算能力要求不高，虽然，规划结果是全局的、较优的，但是对环境模型的错误及噪声鲁棒性差。
而局部路径规划则环境信息完全未知或有部分可知，侧重于考虑机器人当前的局部环境信息，让机器人具有良好的避障能力，通过传感器对机器人的工作环境进行探测，以获取障碍物的位置和几何性质等信息，这种规划需要搜集环境数据，并且对该环境模型的动态更新能够随时进行校正，局部规划方法将对环境的建模与搜索融为一体，要求机器人系统具有高速的信息处理能力和计算能力，对环境误差和噪声有较高的鲁棒性，能对规划结果进行实时反馈和校正，但是，由于缺乏全局环境信息，所以,规划结果有可能不是最优的，甚至可能找不到正确路径或完整路径。
全局路径规划和局部路径规划并没有本质上的区别，很多适用于全局路径规划的方法经过改进也可以用于局部路径规划，而适用于局部路径规划的方法同样经过改进后也可适用于全局路径规划。机器人可获得更好的规划，以及从起始点到终点的行走路径。具体如下：
（1）数学准备
引理1 设A,B为向量或矩阵,若有:
‖A‖≤a,‖B‖≤b 那么必有:
‖AB‖≤ab,A,B为合适维数的矩阵;‖ATB‖≤ab;A,B为相同维数的列向量。
引理2(指数稳定性定理) 考虑如下非线性动态系统:
=f(x,t),x(t0)=x0, x∈Rn(1)
如果存在连续可微的正定函数V(x,t)及正常数λi(i=1,2,3),ε和α(α>λ3/λ2),使对于��(x,t)∈Rn×R,有:
λ1‖x‖2≤V(x,t)≤λ2‖x‖2,
(x,t)≤-λ3‖x‖2+εe-αt
则系统状态x(t)是按指数收敛的,并且有:
‖x(t)‖≤V(x0)λ1+ελ1(α-2β)1/2e-βt
式中:指数收敛率为β=λ3/(2λ2)。
引理3(渐近稳定性引理) 对于系统式(1),如果有:
(x,t)≤-λ3‖x‖2+φ(t),φ(t)>0
且有limt→∞ φ(t)=0,则系统状态x(t)是全局渐近收敛的。
引理4(终值有界性引理) 对于系统式(1),如果有:
(x,t)≤-λ3‖x‖2+ε
则系统状态x(t)是终值有界的,并且有:
‖x(t)‖≤λ2λ1‖x(0)‖e -λt+λ0(1-e -λt )1/2
式中:λ0=ε/(λ1λ),λ=λ3/λ2。
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（2）机器人系统描述
基于拉格朗日方程的n关节机器人动力学模型可由下面二阶非线性向量微分方程来描述:
M(q)+C(q,)+G(q)=τ+f(2)
式中:q,,∈Rn为关节的位移、速度及加速度;τ∈Rn为广义关节力矩向量;M(q)∈Rn×n为机器人的惯性矩阵;C(q,)∈Rn×n为离心力、哥氏力的非线性耦合矩阵;G(q)∈Rn为重力项;f∈Rn为外部不确定性干扰。该机器人模型具有如下性质(有界性)[8]:M(q)为对称正定矩阵,且对于所有的q都是有界的,即存在正数λm≤λM满足如下不等式:
λm≤‖M(q)‖≤λM
对于外界不确定性干扰需要满足假设,即假设外界不确定性干扰f有界。
（3）控制器设计
令h(q,)=C(q,)+G(q),则式(2)变为:
M(q)+h(q,)=τ+f(3)
定义机器人跟踪误差e=q-qd(qd为机器人的期望运动轨迹,为二阶可导)。把误差代入式(3)可得:
M(q)(+d)+h(q,)=τ+f(4)
选择如下鲁棒控制律:
τ=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)+M(q)u(5)
式中:Kv,Kp为选定的正定增益阵,分别可理解为微分和比例增益。为简便起见,往往都可设其为对角阵。不难发现,上述所选择的控制律可以被看成是由两部分组成的,不妨称第一部分为前馈控制,它只与自身的结构有关;第二部分为反馈控制,它包含外界控制输入量。把这两部分分别记为:
τff=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)
τfb=M(q)u
当不存在外界不确定性干扰时,该机器人系统称为标称系统,在这种情况下,只用前馈控制就能保证系统的稳定性。本文将要考虑不确定干扰,这种情况下仅用前馈作用就不能保证稳定性,因此需要反馈控制来抵消不确定性干扰的影响,以增强系统的鲁棒性,那么下面的目的就是设计控制输入u,使得机器人系统满足一定的稳定性目的。
由式(3)～式(5)得到系统误差动态方程:
M(q)(+Kv+Kpe)=M(q)u+f
进一步可将其转化成如下状态方程:
=Ax+Bu+BM-1(q)f
x=e,A=0 I-Kp-Kv,B=0I
如果，再令d=M-1(q)f,则得到更简单的线性状态方程:
=Ax+Bu+Bd(6)
由于A是稳定阵[9],根据李雅普诺夫函数稳定性理论可知,对于任意给定的正定矩阵Q存在正定矩阵解P满足下面的李雅普诺夫方程:
ATP+PA=-Q(7)
根据M(q)的有界性和对外界干扰f所做的假设,则能够找到一个正常数ρ满足不等式(8):
‖d‖=‖M-1(q)f‖≤ρ(8)
由上面的描述,能够建立下面的结论。
定理1 对机器人动力学模型所转化成的模型式(6),采用如下连续鲁棒控制律: u=-BTPxρ2‖xTPB‖ρ+Ψ(t),Ψ(t)>0,��t>0(9)
当Ψ(t)分别满足引理2中Ψ(t)=εe-αt,引理3中limt→∞Ψ(t)=0和引理4中的Ψ(t)=ε或者limt→∞Ψ(t)=ε时,系统可以分别达到三种不同的稳定:GES,GAS和GUUB,显然满足GES也必满足GAS。式中P为李雅普诺夫方程(7)的正定解。
证明:
对于系统(6)构造如下李雅普诺夫函数:
V(t,x)=12xTPx
显然有:
λmin(P)‖x‖2≤‖V(t,x)‖≤λmax(P)‖x‖2
λmin(P)和λmax(P)分别是矩阵P的最小和最大特征值。
沿由系统(6)和(9)组成闭环系统的解轨迹,对李雅普诺夫函数V(t,x)进行微分得:
(t,x)=12()TPx+xT12P
= 12xT(ATP+PA)x+xTPB(u+d)
把式(7)和式(9)代入上式,并进行简单的通分化简即可得到:
(t,x)≤-12xTQx+‖xTPB‖ρ‖xTPB‖ρ+Ψ(t)Ψ(t)
进一步化简得:
(t,x)≤-12λmin(Q)‖x‖2+Ψ(t)
式中:λmin(Q)为矩阵Q的最小特征值。
当Ψ(t)分别满足上述引理2～引理4中的不同条件时,那么就会使系统满足不同的稳定,结论得证。
（4）举例仿真
以两关节机器人机械手为例,说明所设计控制器的有效性。
这里取期望轨迹为:
qd1=0.5sin t+0.1sin 3t-0.2sin 4t
qd2=0.1sin 2t+0.2sin 3t-0.1sin 4t
误差初始值为:
e(0)=-1.0-0.5T,(0)=0.5-0.5T
再令Kp=diag(4,4),Kv=diag(2,2),Q=I4,ρ=2,λ1=10,λ2=6,λ3=3,α=5,φ
(t)=1/(10t+1),f=[0.5sin t0.5sin t]T
参考文献
[1]焦晓红,李运锋,方一鸣,等.一种机器人鲁棒自适应控制法[J].机器人技术与应用,2002,15(3):40-43.
[2]徐建闽,周其节,梁天培.不确定性机器人的神经网络补偿控制[J].控制理论与应用,1995,12(3):342-349.
[3]周景雷,张维海.一种机器人轨迹的鲁棒跟踪控制[J].控制工程,2007,14(3):336-339.
论文作者:刘明江,郑琳,王榭崟
论文发表刊物:《电力设备》2019年第6期
论文发表时间:2019/7/9
标签：机器人论文; 路径论文; 全局论文; 环境论文; 系统论文; 正定论文; 不确定性论文; 《电力设备》2019年第6期论文;