刘荣 江苏省锡山高级中学匡村实验学校 江苏 锡山 214154
中图分类号：G623文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）10-163-02
数学运算是数学核心素养之一，对于数学运算，现有教材依据《数学课程标准》删除了原本存在的繁、杂的运算，运算的难度和复杂程度都大大降低，但对运算能力提出了更高的要求：不仅要根据法则、公式进行数、式的变形和运算，而且要理解运算的算理，设计合理简捷的运算途径。而运算教学也不再是记法则、套公式、反复训练直至熟能生巧的过程，而是探究、推理、质疑、归纳的过程，同时也是提升学生数学思维能力的过程。
一、层层递进，培养学生的归纳思维能力
尝试1：_____,_____；_____,_____；
尝试2：_____,=_____；
_____,=_____；
上述情境给出后，学生通过计算，并对计算结果进行比较，得出每组两个算式计算结果相等，学生自行列举更多实例进行探索、归纳，提出猜想：
（）。
问题1：是否任意两个非负实数a、b，都满足等式？你如何验证？
以上算式中所涉及被开方数都能够直接开方，所以容易验证其正确性。
尝试3：运用计算器计算
_____，_____；_____，_____。
以上算式经计算器计算验证后得到每组算式的值都相等。
问题2：既然被开方数可直接开方或不可直接开方的情况下，等式都成立，能否在一般情况下进行证明？
证明：当时，,而。
由此得：()。
通过具体数字的运算、探究、归纳出二次根式的乘法法则，再在一般情况下加以证明，体现了由特殊到一般的常用探究方法，同时也让学生对二次根式乘法法则的理解从感性认识上升到理性思考。以上过程也是人们认识事物的一般过程，即由特殊到一般、由简单到复杂、由具体到抽象、由感性到理性循序渐进的过程，所以引导学生沿着这一思路探究新的运算法则对于培养学生的思维能力也是非常有益的。
二、反复求证，培养学生的质疑思维能力
尝试1：=______,=______，=______。
尝试2：=______,=______。
尝试3：=______，=______。
学生1：只要像二次根式的乘法运算，将被开方数相加，得：尝试1中，， ；尝试2中，。
学生2：尝试1中，需要将根号外的数移到根号内计算，得：
，
学生3：尝试1中的式子，只需像整式加减中合并同类项那样计算，得：
,，。而尝试2中的式子不是同类二次根式，无法相加。
师：这几种算法中，究竟哪种算法正确呢？你如何说明？
生3：我可以用类似合并同类想法则解释，即将根号和根号内的被开方数看成整体，然后只要是同类二次根式就可以合并了。
生4：可以用计算器计算逐一验证。
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师：请同学们总结一下，满足什么条件的二次根式可以加减？满足条件的二次根式怎样进行加减运算？
学生通过观察并且用计算器验证发现同类二次根式可以相加减，不是同类二次根式不能相加减。并且其计算方法与二次根式乘法不相同，是用类似整式加减中合并同类项的方法将同类二次根式加以合并得到正确结果。
对于尝试3，学生在解决了尝试1中的问题后，发现算式可以化为尝试1中的形式，从而运用尝试1相同算法解决。
师：二次根式加减运算法则是什么？
学生归纳出：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。
在探索此运算法则的过程中，学生大胆尝试，教师容错纠错，在类比旧知引出新知的过程中出现了类比乘法运算法则将被开方数直接相加减的错误结论，此情况下，教师没有直接否定，而是引导学生运用计算器分别求出近似值比较验证，从而纠正错误，得出正确方法。在这样不断尝试，不断追问“这样是否可行？是否正确？”，不断调整的过程中，完善了“尝试-质疑-验证-纠错”的探索过程，而这也正是学生获取新知，建立新方法的科学之路。
三、类比模仿，培养学生的联想思维能力
在学习了二次根式的概念之后，运算从有理数范围扩大到实数范围，虽然数与式的范围扩大了，但之前所运用的运算律、运算顺序、乘法公式等仍旧适用，同时在二次根式的范围内，一些做法也是类似的，所以在二次根式运算的学习过程中有许多可从类比整式运算方法、或二次根式其他类型运算入手。例如探索二次根式加减运算法则就可以从模仿整式合并同类项的方法入手。
在探索二次根式除法法则的过程中，按照课本安排设置了：
探索1：（1）
（2）
（3）请与同学交流你的发现。
当大多同学依照运算、归纳、猜想的顺序得出：当时，，在此之前一名同学却早已成竹在胸地写出了这个公式，其理由是除法与乘法属于同一级运算，所以类比二次根式乘法运算中两个被开方数移到一个根号中相乘的方法，二次根式除法运算中也将两个被开方数移到一个根号中相除。
这名同学从二次根式乘法运算的方法类比得到除法运算的思维方法，虽然结果不一定正确（当然，上述结论经验证其结果是正确的），但作为一种思维形式和解决问题的方法，无疑是值得肯定的。当我们遇到这种条件、要求相类似的问题时，从已知的知识和方法联想得到新的知识和方法，可以帮助我们快速获得解决问题的思路，避免走大量的弯路。当然，类比联想得到的知识和方法还需要事实的验证和理论证明去伪存真。
四、由此及彼，培养学生的逆向思维能力
逆向思维是数学思维的重要组成部分，也是解决数学问题的重要手段。在二次根式的运算过程中，处处闪现逆向思维的影子。
问题1：计算
在计算过程中，首先要对作如下化简，类似化简，，将原式化为然后再合并同类二次根式得。
此过程中二次根式的化简就是对二次根式乘法法则()的逆向使用。
问题2：化简（）
在解决此问题的过程中，首先要逆向运用乘法分配律，再逆向运用二次根式乘法法则，从而得： ==
问题3：将化为最简二次根式。
此问题可以按照常规将分子和分母同时乘以得：
，但学生如果能够换个思路从分子入手先将其分解为，再进行约分得结果，也不失为好办法。
逆向思维作为由果索因、知本求源、从原问题的相反方向思考的一种思维，是创造性思维的重要构成部分，也是解决数学问题的重要手段，实践证明，一些问题的解决必须依赖于逆向思维，或者逆向思维可以为解决问题提供更优化的方法。作为学生，能够迅速而自然地从正向思维转到逆向思维，正是其数学思维能力增强的标志，而看似简单、机械的数学运算同样是训练逆向思维能力的重要载体。
数学运算和逻辑推理同时作为数学核心素养的重要组成部分，两者并不孤立，数学运算不仅仅是模仿算法、记忆法则、套用公式，而是探究数学知识方法、培养思维能力的重要途径，而逻辑推理作为思维活动也并非只有演绎推理一种形式，在计算法则教学过程中的归纳、类比、验证由特殊到一般的推理方式也是促进学生数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成严谨求实的科学精神的重要手段。
论文作者:刘荣
论文发表刊物:《中小学教育》2019年10月1期
论文发表时间:2019/12/6
标签：根式论文; 被开方数论文; 乘法论文; 法则论文; 数学论文; 方法论文; 思维论文; 《中小学教育》2019年10月1期论文;