正负数的概念及教材处理所存在问题的商榷，本文主要内容关键词为：负数论文,存在问题论文,概念论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
负数概念是中学数学的重要概念之一，也是学生由小学升入中学后接触的第一个概念，但由于教材对这个概念的解释与处理有许多不当之处，给教与学带来很多麻烦，本文就此谈点意见，供教学时参考。
一、数的扩充与正负数概念
正、负数概念的引入标志着人类对“数”这一概念的认识与运用上升到一个新的阶段。它涉及数学的一个新的抽象层次（向量）。
分析业已出版的初中数学教材（如[1]、[2]、[3]）中引入“正、负数”的有关章节可以发现，对“正数、负数”的阐述存在着一定的问题。
中小学数学教材对数的处理是沿这样一个主线进行的：
第一阶段：数数与计数——自然数：0,1,2,…,n,…
第二阶段：引入分数，小数
…；0.2,0.78,..
第三阶段：引入正数、负数，从而引入有理数概念；
第四阶段：引入实数的概念；
第五阶段：引入复数的概念。
显然，第一、二阶段中对数的认识完全是纯粹的量的观点。为了说清问题，这里沿用[4]的说法，把在小学阶段涉及的、只表示“算术量度”的那些数称为“算术数”([4]8页）。
我国现行中学数学教材对第三阶段的处理存在着一些不合理的地方。根据教材的叙述去理解和解释问题时就要产生许多麻烦，走很多弯路。这里，我们以人民教育出版社的《代数》第一册（上）([1])，华东师大出版社的《数学》（七年级）（上册）([2])以及北京师大出版社的《数学》（七年级）（上册）([3])等相应教材为例。
首先，三套教材或者通过例子或者明确指出，现实生活中有相反意义的量需要刻画([1]44页，[2]16页，[3]33页），需要引入一种测定这种量的方法。于是，正、负数的概念被引入了。
由G.Barboux（达布）主编的初等数学教程系列中的由C.Bourlet（布尔勒）著的《代数》（[4]8页）在阐述这个问题时指出：“要表示一个有向的量度，只需用算术数表示量度的大小，附加符号，表示它的指向。”并举例说：“+5表示零度以上5度，而对零度以下4度则用-4表示。”
这就是说，引入正数与负数是给有方向的量（或偏离标准的量）一个测定，以便标明它的算术量度以及它的方向。
从形式上看，这种新的数就是在原来认识的算术数前面加上正号“+”（如+5，称为正数）以及负号“-”（如-5称为负数）来达到这一目的。“+”“-”的任务主要是标明方向或程度，而其后面的算术数表示这种量的大小（即正负数的绝对值）。
具体做法应该是：对于那些具有相反意义的量，其中一种规定为正的，用学过的数前面加上“+”表示，称为“正数”，如+3,+17,。。。，而另一种用学过的数前面加上“-”表示，称为“负数”，如-3,-1.7,…,
在嵌入的意义下，在不致混淆时，正数前面的“+”号也可以不写，
我们看教材[1)、[2]、[3]是如何表述的：
[1]：像5,1.5，
，8848等大于0的数称为“正数”，而把正数前面加上“-”号的数称为“负数”([1]46页）。
[2]：对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示([2]17页）。
[3]：像5，1.2,
…这样的数称为正数（[3]33页）。
虽然[2]中指出正数与原来学过的数的不同。但是，除非特别仔细，否则很容易就把这一点忽略掉。
而对于“+”号，三本书都表达了同一个意思：正数前面有时也可标上“+”号：
[1]：为了强调，正数前面有时也加上“+”（读作“正”）号([1]46页）。
[2]：正数前面有时也可以放上一个“+”（读作“正”）号([2]17页）。
[3]：为了突出数的符号，可以在正数前加上“+”号（[3]33页）。
显然，三本书都把陈述的次序颠倒了，这是一个涉及数的扩充的问题，表面上看似没有多大区别的叙述，实际上会引起很多混乱。
[5]指出，从数的扩充原则考虑，以旧数系为材料扩张成一个新数系后，会失去原数系的某些性质，同时又获得某些新的性质，而旧数系通过“嵌入”成为新数系的一部分（[5]95页）。
由于在数集的扩张过程中，旧数系通过“嵌入”成为新数系的一部分，因此，形如“+5”这样的正数前面的符号“+”也可以不写，记为5。显然，这是在不会引起混淆时的一种用法。而在会引起混淆时，“+”号是绝对不能不写的，比如加工工件时标明允许误差为“±0.3mm”（注意，这里符号“+”“-”都不能省略）。
在嵌入的意义下，正数集与算术数集，作为数集以及运算法则来说都相同。但正数与算术数的意义不同。“5米”中的5只有算术意义，而“+5米、-5米”却是指从某个规定位置沿规定的正向运动5米长的距离。它们必须在有明确的方向时才有意义。
实数系本身就是一个一维向量空间，只不过在这个空间中，有一些元素曾经只具有纯量的意义（比如正实数）。但现在作为向量空间中的一个元素时，其任务就多了一层：既要继续担负着刻画量的大小的任务（算术数），又要起到表示一个向量的作用。
二、进一步的问题
三本教材都试图阐明：正负数是用来表示那种具有相反意义的量的。例如，规定向东为正向，则“向东走3千米”记作“+3千米”，而“向西走2千米”就记作“-2千米”。这些教材在陈述以及练习题的设计中十分谨慎，仔细地区分着事实表达与数学表示之间的联系与区别。然而，人教版[1]却加了一句不应该加的话：
“注意：这里规定向东为正，向西为负，向西走5米可以看成向东走-5米。”（[1]46页）。并且在接下来的5个例子中，都出现了类似于“向东走了-5米”这种不合逻辑的表述。
在许多对应的数学参考书、练习册（包括对应于华东师大版与北京师大版教材的练习册）中也出现了这种陈述和练习题。实际上，这样的练习题没有任何意义，因为现实生活中是没有人这样陈述事情的。
在现有的教材与教学中之所以出现这种情况，是因为没有注意强调正负数与算术数在意义上的区别，这是正负数教学中出现问题的根源。我们来分析下面的句子：
(i)“向东走5米”，这里5是算术数，表示距离的大小，“向东”表示走的方向，句子的意义是明确的。
(ii)“向东走—5米”。这里-5是整数（不是算术数！），表示有方向的量，即“距离5米，方向向西”。于是句子所表达的是：“向东走向西5米”。这种不合逻辑的表述，使得句子的意思不清，任谁都不能从语句上做出判断，除非主观强制。
因此，在上述句子的结构中，要想表达量的大小，只能使用算术数，不能使用正负数！
这样，前面那句“注意”应当是：规定向东为正，向西为负，则向西走5米就记为-5米。
在[1]的教师教学参考书中（[6]84页）也说过：“向西走5米看成向东走-5米，学生认识这一点是有一定难度的。”而这个难度实在是人为造成的、不该有的“难度”。应当认为，“向东走-5米”，“产量提高-20吨”，“水位上升了-2米”，“向东运动了-3米”，“减产-10吨”，“课桌高比标准高度长+1毫米，-1毫米，0毫米，+3毫米，-1.5毫米”（摘自一些数学练习册）这些说法都是有问题的。在现实生活中，正负数首先是用来记录某种具有相反意义的现实状况。当数字计算完成之后，再反过来根据结果对所讨论的问题做出推断。这就是说，应当掌握的是如何用正负数去表示以及如何理解这种表示，比如：
(1)（向东走为正向）向东走3米，记为+3米，向西走5米，记为-5米。如果这样的多次行动的记录累加的结果是-3，则可做出判断：最后结果是向西走了3米。这里的“+、-”是“向东、向西”（方向）的意思。
(2)工厂每月基本产量是100吨，产量增加10吨，记为+10吨（或10吨）；下降20吨，则记为-20吨，一年12个月累加结果如果是-15吨，则可判断这一年比基本产量少了15吨。这里的“+、-”是“多于、少于”（程度）的意思。
(3)水文记录：水位依次比标准水位高2米，以后的记录是又升1米，降2米，升1米，降3米，则可分别记为：2米，1米，-2米，1米，-3米则由2+1-2+1-3=-1知此时的水位是比标准水位低1米。这里的“+、-”是“高于、低于”（程度）的意思。
(4)工件加工允许误差为±0.1mm，其意是说，与标准相比较，大小不超过0.1mm的量就认为是合格的。这里的“+、-”是“大于、小于”（程度）的意思。
这样，对正负数的理解、应用才会与关于数系扩充的基本思想相一致，教学也会顺畅。
三、关于正负数运算的阐述的意见
在表示具有相反意义的量时，“+”、-”表示方向或者程度。而在运算过程中，“+”、“-”是方向的指令。“+”号表示保持方向不变，而“-”号表示改变成相反方向的量。正如[6]（108页）所指出的那样：“乘以一个负数表示运动要反向。”
向量空间中“
”中的(-1)实际上就是发布了一个命令，让向量d换成相反方向。而“-(-3)=+3”也是这样，把-3变成了与其大小相等方向相反的量：+3。
这样，根据“乘以一个负数表示运动要反向”的意思，可以给出定义：
对任何整数x，令(-1)×x=-x,(-1)×(-x)=x。并称(-1)为反向指令。例如：
(-1)×3=-3,(-1)×(-2)=2,(-3)×2=(=1)×3×2=(-1)×6=-6,3×(-2)=3×(-1)×2=(-1)×6=-6,(-3)×(-2)=(-1)×3×(-2)=(-1)(-6)=6,(-3)×(-2)=3×(-1)×(-2)=3×2=6。
让学生理解反向指令的概念，较之理解那种不合逻辑的句子容易得多，这样也可以总结推出乘法运算法则。接受运算法则也会顺利些。
四、总结
总而言之，在涉及具有相反意义的量时，第一，教材中应当阐明：正负数是用来表示具有方向的量。用学过的数前面加上“+”表示“正数”，用学过的数前面加上“-”表示“负数”。有时正数前面的“+”号可以不写以便简化地使用。第二，要区分对现实状况的表述与数学记录与表示之间的联系与区别，分清“+”、“-”在表示状态下和运算状态下的意义，给出运算法则的合理的解释。第三，要指出可能出现的表述上的问题，以便控制使用过程中教学以及教学参考资料对此的任意发挥。
教材的改革与编写是一个艰难的工作。一般来讲，教材采取什么方法阐述一个主题都是为了本着尽力让学生容易理解这个原则进行的。由于在我国数学教学特别依赖于教材，它的陈述、展开方式以及教学参考资料对学生都有重大影响。因此，教材应当关注教学中的问题，在适当的地方，用简短的话语指出可能发生的问题，立即会对不合适的表述以及理解产生有利的影响。