高中数学新教材第八章教学问答（一），本文主要内容关键词为：第八章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
146.教学椭圆的标准方程时，要注意些什么？
答：（1）把椭圆的位置特征与标准方程的形成统一起来， 椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定。即：如果椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，那么这个位置是标准位置，此时由于长轴也在x轴上，半长轴的平方a[2]是方程中含x[2]项的分母，所以方程为x[2]/a[2]＋y[2]/b[2]＝1；如果椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，那么这个位置也是标准位置，此时由于长轴在y轴上，半长轴的平方a[2]是方程中含y[2]项的分母，所以方程为y[2]/a[2]＋x[2]/b[2]＝1。
（2）求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。 “定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a[2]，b[2]的具体数值，常用待定系数法。
（3）使学生理解取椭圆的对称轴为坐标轴的原因。 这是因为如果以曲线的对称轴为x（或y）轴，那么曲线的方程中将不含y（或x）的一次项。取椭圆的对称轴为坐标轴，可以使椭圆方程只含x，y的二次项与常数项，由于x，y可以互换，所以标准方程出现了上述两种形式。
147.怎样教学生讨论曲线的性质？
答：在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：
（1）确定曲线的范围。由曲线方程F（x，y）＝0分别确定变量x与y的取值范围，从而分别判断曲线的左、右与上、 下部分的“顶点”的分布情况。
（2）判断有没有对称性。在曲线方程F（x，y）＝0中，如果把x（或y）换成－x（或－y），方程不变，那么曲线关于y（或x）轴对称； 如果把x与y同时换成－x与－y，方程不变，那么曲线关于原点对称（这时曲线关于x轴或y轴却不一定对称）。
（3）求出在x轴上的“截距”（即求出曲线与x 轴的交点的横坐标）和y轴上的“截距”（即求出曲线与y轴的交点的纵坐标）。这可以通过解由F（x，y）＝0与y＝0（或x＝0）所组成的方程组求得。注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点”。
（4）判断有没有渐近线。对于椭圆、双曲线、 抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等。
148.求直线与圆锥曲线的交点的一般方法是什么？
答：在解析几何中，一般用解方程的方法来求出直线与圆锥曲线的交点的坐标。例如为了求直线Ax＋By＋C＝0与椭圆x[2]/a[2]＋y[2]/b[2]＝1的交点，可以解方程组
这个方程组的解同时满足两个方程，因此以方程组的解为坐标的点是两个方程所对应的两条曲线的公共点，如果方程组无实数解，则表示直线与椭圆相离（无交点）；如果有且只有一个实数解，则表示直线与椭圆相切（有且只有一个交点）；如果有两个不同的实数解，则表示直线与椭圆相交（有两个不同的交点）。
那么，怎样让学生判断上面方程组的解的个数呢？可以告诉他们先从两个方程中消去一个变量（例如消去y），得到关于另一个变量（例如x）的一个一元二次方程，然后利用根的判别式△＝b[2]－4ac来作判断，就是说，当△＞0时，方程组有两个不同的实数解；当△＝0时，方程组有且只有一个实数解（不要说有两个相同的实数解，重根只对一元n次方程有意义）；当△＜0时，方程没有实数解。
149.教学椭圆的准线时，要注意些什么？
答：（1 ）使学生弄清椭圆与它的两条准线的位置关系：两条准线垂直于椭圆的长轴所在的直线，椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在的直线与椭圆中心对称。
（2）使学生巧记准线方程。首先记住准线与椭圆中心的距离是a[2]/c，然后根据准线的位置（指垂直于x轴还是垂直于y轴）写出准线的方程。
（3）使学生掌握准线的性质。 椭圆上任何一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于离心率e，这里e是一个大于0且小于1的常数。
（4）使学生知道焦点到相应准线的距离叫做焦准距，记作p，易知p＝a[2]/c－c＝b[2]/c。
150.教学双曲线的标准方程时，要注意些什么？
答：（1 ）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来。
如果双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， 那么这个位置是标准位置。若使方程的右边为1，则左边两项中含x[2]的项为正且分母为a[2]，含y[2]的项为负且分母为b[2]，所以方程为x[2]/a[2]－y[2]/b[2]＝1。
如果双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，那么这个位置也是标准位置。若使方程的右边为1，则左边两项中含x[2]的项为负且分母为b[2]，含y[2]的项为正且分母为a[2]，所以方程为y[2]/a[2]－x[2]/b[2]＝1。
（2）“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程， 就要求出a[2]，b[2]两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a[2]，b[2]的方程组。解得a[2]，b[2]的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a，b，c等数值的确定； “定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负， 同时也就确定了a[2]，b[2]在方程中的位置。
151.教学双曲线的渐近线时，要注意些什么？
答：（1）使学生明确双曲线的渐近线是哪两条直线。 过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。画双曲线时，应先画出它的渐近线。
（2）使学生理解“渐近”两字的含义。 当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。
（3）使学生掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法。最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。
（4 ）使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的方法。简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0， 那么双曲线的方程为（Ax＋By）（Ax－By）＝m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定。
152.双曲线与椭圆有哪些不同？
答：（1）定义不同，图形不同。
（2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质：
一类是等轴双曲线，其主要性质有：a＝b，离心率e＝
，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等。反比例函数的图象就是等轴双曲线，把它旋转一个适当的角度，可以达到标准位置。
另一类是共轭双曲线（以双曲线C的实轴为虚轴、 虚轴为实数的双曲线C′，称为C的共轭双曲线。显然C和C′互为共轭双曲线），其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支曲线；而互为共轭的双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支曲线，等轴双曲线也有它的共轭双曲线。
在本章中，不要求学生研究共轭双曲线。
（3）圆可以看成特殊的椭圆，其长短轴长相等， 都等于圆的直径；离心率等于0。
153.在教学抛物线的标准方程时，怎样把位置特征和方程的特点统一起来？
答：（1）使学生把握顶点、对称轴、 开口方向与方程形式的对应关系（图1）：
（2）已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程时， 可以根据平方项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p的数值来“定量”，即求出p/2的值。然后把两者结合起来即可。
154.与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点，这样的直线是否抛物线的切线？为什么？
答：不是。与圆有且只有一个交点的直线，称为圆的切线，这一定义只适合于圆，当然也可扩大到椭圆与其他一些曲线，但不适合于双曲线和抛物线。例如，x轴与抛物线y[2]＝2px（p＞0）显然有且只有一个交点，但对于这条抛物线来说，y轴是它的一条切线，x轴不是它的切线。又如，在高等数学中可以证明，平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且只有一个交点，但它不是双曲线的切线。
在高等数学中，曲线在某一点处的切线是这样定义的：如图2，已知P是曲线C上的某一点，l[,1]是经过点P的一条割线，与C相交于点Q[,1]。让l[,1]绕点P旋转到l[,2]的位置，l[,2]与C相交于点Q[,2]。将这一绕点P旋转的过程继续下去，得到一系列割线l[,1]，l[,2]， ……，它们与C的交点Q[,1]，Q[,2]，…逐步向点P靠近。那么，我们把这一系列割线的极限位置，即图2中的直线l，叫做曲线C在点P处的切线。
至于对直线与圆锥曲线的位置关系问题的处理，仍然是：
由此可见，按这一思路去证，运算较为烦琐。
注：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立。
思考题
1.怎样从大纲和教材中分析出椭圆在圆锥曲线中所处的重点地位？
2.怎样分析椭圆与圆的联系和区别？把“圆的方程”放在本章“圆锥曲线方程”之前有什么好处？
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