重庆市丰都中学校 408200
摘 要：一题多解，从不同的角度求解同一问题，能够培养学生的思维能力。同时，也让学生从数学的角度把物理问题。通过数学建模，转变成数学问题来处理，这符合高考对学生能力的考查要求，同时培养了学生利用数学知识求解物理问题的能力。
关键词：物理压轴题 多解 数学建模
原题：如图，空间存在竖直向上的匀强电场，在O点用长L=5m的轻质细线拴一质量m1=0.04Kg带电量q=2×10-4C的带正电的小球A（可看作质点），在竖直的平面内以v1=10m/s的速度做顺时针的匀速圆周运动，小球在最低点时恰好和地面不接触。现有另一质量m2=0.02Kg的不带电的小球B，向右以v2=5m/s的速度做匀速直线运动，它们恰好在最低点相碰，碰撞的一瞬间场强大小变成6×103N/C，方向不变，A球的电量不变，并且碰撞以后A、B两球结合成一个整体。已知g=10m/s2。求：
（1）原场强的大小。
（2）碰撞后细线对整体拉力的大小。
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（3）整体到最高点时对绳子拉力的大小。
解法一：
（1）因球A在竖直的平面内能做顺时针的匀速圆周运动，有qE0=mAg，E0==2×103N/C。
（2）当场强变化后，有F合=qE-（mA+mB）g=0.6N，碰撞以后mAvA-mBvB=（mA+mB）v有v=5m/s，而需要的向心力F向=（mA+mB） ＝0.3N，因为：F向<F合，A、B组成的整体不能做圆周运动，而是先做类平抛运动。所以，碰撞后，绳子对整体的拉力为零。
（3）假定t时间绳子拉紧，有：x=vt,y= t2,x2+(R-y)2=R2，带入数据可得：t=1s，所以，可知x=y=R=5m，此时，整体正好处在于圆心等高的位置，在此位置，vy=10m/s。
此后，整体在绳子的牵引下做圆周运动，有： mv2- mvy2=[qE-（mA+mB）g]R，T+（mA+mB）g-qE=（mA+mB） 。
带入数据可得：T=3.0N。
根据牛顿第三定律，整体对绳子拉力大小是3.0N。
解法二：
（1）同上（略）；（2）同上（略）。
（3）设碰撞后整体作类平抛运动在B点时绳子伸直，作水平线BC，OB与BC的夹角为θ，则类平抛运动有：
水平：x=Lcosθ=V0t。
竖直：H=L+Lsinθ= at2。
联立上式解得：
1+sinθ=cos2θ。
已知V0=5m/s，
a= =10m/s2，
代入得：1+sinθ=cos2θ。
解得：1+sinθ=0,∴θ=0°或sinθ=-1舍去。
通过上述计算可知，类平抛运动整体与圆心等高之处绳子伸直。
在此位置，vy=10m/s，此后，整体在绳子的牵引下做圆周运动，有： mv2- mvy2=[qE-（mA+mB）g]R，Ｔ＋（mA+mB）g-qE＝（mA+mB） 。
带入数据可得：T=3.0N。
根据牛顿第三定律，整体对绳子拉力大小是3.0N
解法三：
（1）同上（略）；（2）同上（略）。
（3）以圆周运动的最低点为坐标原点，建立平面直角坐标系xoy，则圆轨迹方程为：x2+(y-L)2=L2…………①
碰后整体作类平抛运动的轨迹方程为：
，
得y=X2，
已知：V0=5m/s，
a= =10m/s2，
则有y= X2………………………………………②
联立①②两轨迹方程解得左边交点D的坐标为：
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即类平抛运动的整体在与圆心等高之处绳子伸直。
在此位置，vy=10m/s。
此后，整体在绳子的牵引下做圆周运动，有：
mv2- mvy2=[qE-（mA+mB）g]R
Ｔ+（mA+mB）g-qE＝（mA+mB）
带入数据可得：T=3.0N。
根据牛顿第三定律，整体对绳子拉力大小是3.0N。
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论文作者:周继东
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第397期
论文发表时间:2020/2/28
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