关于F逻辑函数的合取范式，本文主要内容关键词为：范式论文,函数论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在一般的教科书中，对F 逻辑函数的讨论都是以析取范式为例加以讨论。本文根据对偶原则用合取范式讨论它们的互素关系以及F 逻辑函数的最简式。
一、合取范式的相关概念
定义1 在子句中，不存在补元的字叫做单字。
定义2 （1）由单字组成的子句叫单句。
（2）至少含有一个互补对（x[,i]，
）的子句叫互补句。单句和互补句统称为句，用α、β、γ表示。
为方便起见将逻辑函数f（x[,1],x[,2],…x[,n]）简记为f.
定理1 f＝a[,1],a[,2]…a[,m]为F－假的充分必要条件是，对
x∈[0,1][n]，总有两句满足a[,i]＝1－a[,j]i≠j，1≤i，j≤m
这时称a≤i与a[,j]两句互补。
证：设f是F－假，若f中的任意两句a[,i]与a[,j]都不互补，即a[,i]≠1－a[,j]，那么给变量x赋值使所有的a[,i]＞1／2，i＝1，2，…，m，则f＝a[,1],a[,2]…a[,m]＞1／2
于是f为F－真，矛盾。
反之，若对
x∈[0,1][n]，总有两句a[,i]，a[,j]使a[,i]＝1－a[,j]成立。
则f＝min（a[,1]，a[,2]，…，a[,m]≤min（a[,i]，a[,j]）
＝min（a[,1]，1－a[,j]）≤1／2
所以f是F-假，结论成立。
定理2 对变量x的任何赋值，均有 a+x[,i]x'[,i]＝a （1）
（其中x[,i]与x′[,i]都不在a中）的充分必要条件是：（ 1）a是互补句。（2）x[,i]与x′[,i]是互补对
证：设对变量x的任何赋值，（1）都成立，且x[,i]与x′[,i]都不在a中
若（1）a不是互补句，即a是由单字组成的单句， 那么给变量赋值，使
a＜1／2，x[,i]·x′[,j]＞1／2
这时（1）式左边＝1／2，右边＜1／2，矛盾
若（2）x[,i]与x[,i]不是互补对，那么给变量取值使a＝1／2，x[,i]x′[,i]＞1／2
则（1）式左边＞1／2，右边＝1／2，（1）不成立。
反之，若a为互补句，且x[,i]与x′[,i]是互补对，则恒有：a ≥1／2，x[,i]x′[,i]≤1／2
即a+x[,i]x′[,i]＝a 恒成立。
此定理说明，在一个互补句中，添去任一变元与其补元的合取，不会改变互补句的值。
推论1 a为互补句，则T（a）≥1／2
推论2 设x[,ik]（k＝1,2,…,s）不在互补句中现，那么a+x[,i1]x[,i2]…x[,is]＝a的充分必要条件为：（1）a为互补句。（2）x[,i1],x[,i2],…,x[is]中至少有一互补对。
推论3 设子句a[,i]（i＝1,2,…,s）不在a中出现，那么a+a[,1]a[,2]…a[,5]＝a的充分必要条件为：
（1）a为互补句。（2）a[,1]a[,2]…a[,s]为F一假。
定义3设α和β均为子句，若对
x∈[0,1][n]，有a（x）≤β（x）（简写α≤β）则称α含于β（或称β包含α）
如果α含于β，且
x∈[0,1][n]，使α（x）＜β（x）
（简写α＜β）则称α真含于β
定理3 设α和β均是[0,1][n]上的子句，
（1）α含于β当且仅当a的字一定出现在β之中。
（2）a真含于β当且仅当a的字一定出现在β中， 且β中至少有一个字不在a中出现。
（3）若α含于β，则α+β＝β，α·β＝α
证（1）设α含于β，但α中至少有一字x[,i]不在β中出现，令
则α（x）≥1／2，β（x）＝0，即α＞β与α含于β中矛盾。
反之，若α的字一定在β中出现，则
β（x）＝α（x）+γ（x）≥α（x）
其中γ（ x）是由不在α中而在β中出现的字组成的子句，即α含于β中。
类似可证（2），（3）成立。
二、简单合取的互素句
定义4 设F逻辑函数f＝a[,1]，a[,2]…a[,m]，若a[,i] 不含于a[,j]（i≠j,1≤i，j≤m）则称f为简单合取式。
这就是简单合取式。
定义5 设α，β均是简单合取式中的子句， 若存在异于α的子句γ使：
α≥γ及α·β＝γ·β恒成立，则称α与β并不互素。
否则，称α与β互素。
定理4
设α和β均是简单合取式的子句若存在子句γ使
γ＜α且α·β＝γ·β 则γ与β互素。
证：设γ＜α且α·β＝γ·β对一切x恒成立，但γ与β不互素，由定义5知，存在γ′使γ′≤γ，（γ′≠γ）且γ·β＝γ′·β
于是α·β＝γ·β＝γ′·β （2）
其中α＞γ≥γ′。 由定理3知：α中至少有一字不在γ中出现，且这个字在γ′中也不出现。
那么当α＜β时，γ′≤γ＜α＜β（3）
由（2）式得：α＝γ＝γ′（4）
显然（3）式与（4）式矛盾。
所以，γ与β必定互素。
定理5 设α是简单合取式的单句，则α与其它各子句互素。
证：假设在简单合取式中，存在一子句β使α与β并不互素，由定义5知，存在异于α的子句γ，使得
α≥γ （5）
且 α·β＝γ·β
（6）
恒成立，由定理4知γ与β互素，即γ不含于β。
因为α是单句，由（5）式即知γ亦为单句，因此必存在x[,0]∈[0,1][n]使
γ（x[,0]）＝1 于是有a（x[,0]）＝1。
但不一定有β（x[,0]）＝1，这与（6）式矛盾， 因此β不存在，即α与其它各子句互素。
三、F逻辑函数的最简式
在杨化标、高英仪编著的《模糊数学原理及应用》一书中，对析取范式的最简式给出了比较详尽的定义以及化简定理和化简的方法，对于合取范式的化简，只需把合取范式（或一般的F 逻辑函数式）展开化为析取范式然后去掉所有可删去的字与可删去的项，便可得到最简式
例4 求F逻辑函数
收稿日期1999-03-29