杨玉英[1]2002年在《有限维代数的结构常数与群代数上的模的诱导和扩充》文中提出本文引入有限维代数及余代数的结构常数及由结构常数构成的立方阵的概念：设α_1，α_2…，α_n是某n维代数 A(余代数 C)的一组基，且α_iα_j=(sum from k-1 to n)μ_(ij)~kα_k(△(α_k)=(sum from ij)μ_(ij)~k(α_i α_j)) 则称μ_(ij)~k为代数 A(余代数C)的结构常数；由这些结构常数可构成一n×n×n立方阵．在这基础上类似定义李代数，李超代数及(Γ-分次)ε李代数的结构常数．因而我们获得一种新的方法来刻划和研究有限维代数，余代数，双代数，Hopf代数及李代数及广义李代数等．同时，给出了某立方阵[N]为代数A(余代数C)关于其特殊基的立方阵的充要条件(定理2.1.2、定理2.2.2)．某n阶立方阵[N]为某n维代数(余代数)关于其任一基的立方阵的充要条件是[N]等价于满足一定条件的立方阵．由以上讨论，得一个主要结果：域K上的n维代数，余代数的同构类及满足一定条件的n阶立方阵的等价类间存在一一对应；一个立方阵[N]为某n维数代数关于其某基的立方阵，当且仅当[N]为某n维余代数关于其某基的立方阵；一个立方阵是某代数(余代数)关于某基的立方阵，则此立方阵也是其对偶代数(余代数)关于其对偶基的立方阵(定理2.2.6)．文中，我们还分别获得用结构常数及其构成的立方阵表述的一个线性空间成为双代数，Hopf代数，李代数，李超代数，(Γ—分次)ε李代数的充要条件(定理2.3.1，定理2.3.2，定理2.4.2，定理2.4.3，定理2.4.4)． 最后我们讨论了绝对不可分θ[H]—模的诱导模的不可分直和项的个数和绝对不可约F[H]—模的扩充存在的充分条件(定理3.1.6、定理3.2.1)．
黎允楠[2]2013年在《量子拟shuffle代数与q-拟对称函数》文中提出文章的主要研究对象是量子拟shuffle代数.本博士论文分为叁个部分：第一部分给出多参数量子群的量子拟对称代数实现,这是一种公理化的构造方式.第二部分考虑一类特殊的量子拟shuffle代数,q-拟对称函数代数.特别地,我们研究了奇拟对称函数代数的组合性质.第叁部分详尽刻画了一个tame表示型阶化Hopf代数(?)-1(2)的不可分解模结构以及其张量积分解结构,从而确定其表示环(Green环),以及相应的Jacobson根(radical)另外,我们考察了(?)-1(2)的两个Hopf2-上圈扭形变代数的Green环,以此观察Hopf2-上圈扭形变(Hopf代数理论研究中的热点之一)对Hopf代数结构带来的本质不同.这叁部分的逻辑关联如下：第一二部分都是关于量子拟对称性的研究,后者在辫子更特殊的情形下展开讨论并给出组合上的应用(相信将来会在表示论中得到进一步的应用).第二叁部分可以看作是对两种代数结构在“q=-1现象””(或称“超情形”)时的研究.在第一章中,我们要考虑量子群实现这一核心问题,其中开创性的工作有Ringel [74]的Hall代数实现,Rosso[75]的量子shuffle代数的公理化实现,以及Bridgeland [9]借组Hall代数的整体实现等.为此,我们首先一般性地介绍量子拟shuffle代数的概念,尤其是要深入了解量子拟shuffle乘积.然后参考Fang-Rosso关于单参数整体量子群实现的工作[25],利用量子拟shuffle代数的玻色化,量子拟对称代数,公理化实现多参数量子群(非单位根情形).这种实现方式还有一个优点,就是能进一步实现量子群的可积不可约表示.其中,对于相应的Hopf代数同态的单性,Fang-Rosso原来的证明是存在明显漏洞的.这里我们借助Chin-Musson关于量子群余根基滤过的工作给出新的证明.在第二章中,我们将考虑q-拟对称函数代数.作为辫子Hopf代数,它的辫子特殊地取为着色辫子.在正文中我们称这类辫子Hopf代数为q-Hopf代数.借助于辫子Hopf代数方面的知识,我们研究了q-拟对称函数代数的若干组合性质.譬如q-拟对称函数成为q-对称函数的判别准则,这在寻找奇Schur函数时至关重要.我们希望从q-拟对称函数的角度出发来研究q-对称函数,为此,我们将在第叁章中定义两类着名的组合Hopf代数的q形变,它们分别是Malvenuto-Reutenauer代数和Poirier-Reutenauer代数.作为副产品,我们将一个关于Hopf代数交叉积分解的定理推广到了辫子的情形.另外,我们还得到一系列q-Hopf代数的关系图.在第四章中,特别考虑q为-1,即Hopf超代数的情形.通过PR-代数的q形变可以自然得到由Khovanov, Ellis和Lauda定义的奇Schur函数,以及相应的奇Littlewood-Richardson律(这有别于Ellis借助奇Schur函数叁种等价定义所得的证明,是更简洁的新证明).这样的做法启发我们进一步考虑奇拟对称函数与奇Schur函数之间的关系.在第五章中,本人将给出这部分的主要工作：拟对称Schur函数这组新的基在奇拟对称函数上的类比,它可以作为奇Schur函数在奇拟对称函数上的加细.相应地,我们给出奇拟对称Schur函数的Pieri律,以及它的对偶基,Young非交换Schur函数,的Littlewood-Richardson律.另外作为应用,我们将在第六章中借助Bergeron, Lam等关于组合Hopf代数到对偶阶化图的构造实现各类有趣的q-对偶阶化图.而在最后一章中,我们试图考虑由胡乃红定义的n秩Taft代数的Green环,最终得到秩二情形且q=-1时的完整结果.“q=-1”的情形为“小量子群”的研究提供了相对简单的代数结构,但表示论己相当复杂.一般小量子群表示论的巨大复杂度由此可见一斑.另外,为了突显Hopf2-上圈扭形变的研究价值,我们也考虑了2秩Taft代数的两个Hopf2-上圈扭代数,H4(?)H4和D(H4),的Green环,并由此得知Hopf2-上圈扭形变对于Hopf代数的Green环的影响十分显着.值得一提的是,后来通过查阅Caenepeel等人关于16维点Hopf代数分类的工作[10],得知余根基为4维Klein群代数的16维点Hopf代数有五个互异同构类,而我们所找的例子恰是其中叁个存在Hopf2-上圈扭等价的互异同构类,剩余两个并没有上圈扭等价关系.
宋瑞芳[3]2005年在《椭圆亏格及theta函数的恒等式》文中研究指明本文研究了齐性流形和toric variety的椭圆亏格,利用Witten刚性定理及Atiyah-Bott Lefschetz不动点公式导出了几类theta函数的组合恒等式.作为有限维空间上signature算子的类比,Witten考虑紧致光滑流形M的loop空间LM上的signature算子.通过在LM上形式的利用不动点公式,Witten引入M上的算子(d|^)_s,其指标在相差一个常数的意义下给出M的Landeweber-Stong椭圆亏格. Witten刚性定理指出当M为spin流形时,算子(d|^)_s具有刚性.假设M上有光滑的S~(1-)作用.由Atiyah-Bott Lefschetz不动点公式,M上椭圆算子的等变指标可以化为过该S~(1-)作用的不动点集合的求和.特别的,算子(d|^)_s的等变指标可以由经典Jacobi theta函数来表示.结合Witten刚性定理,我们可以得到theta函数的组合恒等式.本文主要考虑齐性流形的椭圆亏格.假设G为一个紧致Lie群,H为G的一个闭子群,满足rank G = rank H.设T为G和H的一个公共的极大环面,则齐性流形M = G/H上有自然的T-作用,其不动点与左陪集集合WG/WH中的元素一一对应,这里WG和WH分别为G和H的Weyl群.因此,利用G和H的根系和Weyl群,我们可以给出G/H上的不动点公式的一个很好的组合表达式.同时,Hirzebruch和Slodowy的一个令人吃惊的结果是,当G/H为spin流形时,indexg (d|^)_s恒等于G/H的signature.由此我们得到了几类非平凡的theta函数的组合恒等式.本文也考虑了如何由toric variety的组合性质来导出一些theta函数的恒等式.
参考文献：
[1]. 有限维代数的结构常数与群代数上的模的诱导和扩充[D]. 杨玉英. 湖南大学. 2002
[2]. 量子拟shuffle代数与q-拟对称函数[D]. 黎允楠. 华东师范大学. 2013
[3]. 椭圆亏格及theta函数的恒等式[D]. 宋瑞芳. 清华大学. 2005