Knight不确定条件下的模糊二叉树期权定价模型，本文主要内容关键词为：期权论文,条件下论文,不确定论文,模型论文,模糊论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
主流的资产定价理论，总是以“经济行为人能够对不确定自然状态做出确切概率估计”作为前提假定。事实上，面对充满了不确定因素的金融市场，这个假定是有局限性的。Knight(1921)[1]将投资者能够准确地加以观察、分析和预见的那部分不确定性视为风险，余者称为“真正”的不确定性。其后的研究者常常将“真正”的不确定性称为“Knight不确定性(Knightian uncertainty)”或“不明确性(ambiguity)”，并在模型研究中将风险限定为概率分布唯一存在的、在数量上可确定的、封闭和完备的那种不确定性，而设定Knight不确定性为不具有这些性质的、易受“潜在意外”和新事物影响而经常变化的不确定性。
传统的期权定价模型，包括Black-Scholes定价公式、随机利率模型、随机波动模型等，都假设概率测度是唯一存在的，并采用随机性来刻画定价问题的不确定性。由于利息过程[2]和红利过程[3]等都面临Knight不确定性，在利用上述模型和方法对期权进行定价时，这些Knight不确定性因素无法利用随机概率理论来描述。
实际上期权的价格受到众多因素的影响，其中既含客观因素也有主观因素。在市场含有Knight不确定因素的环境下，影响期权价格小的因素不仅仅具有随机性的特点，而且还存在着模糊的性质[4,5]。因而实际定价问题中的风险和Knight不确定性可以分解为随机性和模糊性两个部分，二者不能互相替代。我们可以用概率理论来表示概率测度唯一存在的不确定性。而对不能用单一概率测度描述的Knight不确定性问题，概率理论已经无法解决，而Zadeh的模糊理论提供了有用的工具，可以用模糊理论来解决在资产定价中由不明确信息以及主观概率的不唯一性所带来的难题。带有隶属函数的模糊集的概念是在1965年由Zadeh第一次提出的，这个理论至今已被广泛地应用并发展。为了计量一个模糊事件，Zadeh(1978)提出可能性测度[6]，并形成了可能性理论。
正是考虑到金融市场上存在随机和模糊的不确定性因素，许多研究者都在考虑对经典的期权定价理论进行改进。
Cherubini(1997)[7]采用模糊测度表示市场中信息的Knight不确定性，用次可加的预期效用函数来表现当事人对Knight不确定性的厌恶，从某一连续分布出发采用取上、下界的方法进行资产定价，并用此法模糊化了传统的基于B-S公式的公司债券价格。
Yoshida在文献[8]中用模糊目标来进行模糊期望的定义给出了欧式期权的模糊定价公式以及对冲策略，在文献[9]中Yoshida用二叉树的方法对美式看跌期权给出了离散模糊定价模型，在文献[10]中Yoshida引进主观的模糊测度计算—模糊均值估计，给出了美式看跌期权的另一种定价方法。在这三篇文章中，Yoshida采用对称的三角形模糊数形式，并假设模糊程度与股票价格成比例。
Wu(2004,2006)[11,12]运用了模糊数学的理论对经典的B-S公式进行了修正，得到的定价公式不用假设股票价格的模糊形式是对称的，而且模糊程度可以与股票价格无关。
韩立岩、郑承利(2005)[13]采用基于非可加测度的模糊期权定价方法对市政债券发债规模控制进行了实证研究；韩立岩、周娟(2007)[14]用一个λ—模糊测度来表征Knight不确定环境下的经济人代表的信念，用基于λ—模糊测度的Choquet积分表示其偏好，基于Cochrane的定价公式导出欧式无红利股票期权的定价公式，所得期权价格是一个区间而不是某个特定数值。
本文提出期权定价的模糊二叉树模型，假定股票价格波动为模糊数，采用概率期望和通过可能性测度得出的模糊期望分别刻画随机性和模糊性。由于难以得出波动的准确估计，在本文中我们用可能性测度来描述波动的不确定性，采用抛物型模糊数抛物型模糊数刻画股票价格的上升过程及下降过程，并得到风险中性概率和欧式看涨期权价格为一个赋权区间。在使用中国权证数据进行的实证中，采用二次规划方法确定模型参数，并对模糊期权价格进行去模糊化，与传统的二叉树模型进行实证比较后发现，应用模糊二叉树模型能得出更精确的市场价格预测。此外，应用模糊二叉树模型，投资者可以选择自己可接受的置信度，得到一个模糊价格区间，以此指导投资策略。本方组织如下：第二节介绍抛物型模糊数，并采用抛物型模糊数来描述股票价格过程的Knight不确定性；第三节推导风险中性概率，并分析其主要性质；第四节我们采用风险中性定价方法在单期二叉树框架架下对期权进行定价；第五节我们将上述结果扩展到多期二叉树的情况下；第六节介绍去模糊化方法及用以确定模型参数的二次规划方法；第七节采用中国金融市场上的权证数据进行实证研究；第八节是总结及展望。
2 L-R型模糊数及抛物型模糊数
一个模糊数M称为L-R型模糊数，如果其隶属函数为：
下面介绍一类特殊的L-R模糊数——抛物型模糊数，其隶属函数如下：
其隶属函数的图形如下：
从上图可以看出当0＜n＜1时，左右枝膨胀，当n=1时，左右枝为直线，此时为梯形模糊数，当n＞1时，左右枝收缩。
假设在时间t=1股票价格从起始值S分别以概率p和1-p随机移动到两个新值
中的某一个。传统二叉树模型（Cox等，1979）假设
，其中σ为标的资产的波动率。有许多方法用以估计股票价格的波动率，例如采用历史数据或采用隐含波动率方法。由于股价波动率的估计中存在大量的不确定性，一个更合理的的方法是假设波动率σ为一个赋权区间，区间中不同的波动率的可靠程度并不相同，从而u和d也是赋权区间，在本文中我们直接假设u和d为抛物型模糊数。
三角模糊数及梯形模糊数是抛物型模型数的特殊形式，如前所述，当n=1，b≠c时抛物线型模糊数转化为梯形模糊数，而当n=1，b=c时，抛物线型模糊数转化为三角模糊数，此外抛物型模糊数的左右枝可以具有不同的函数形式，使用抛物型模糊数可以降低模型参数选择时的主观性，提高模型稳健性，在实际应用中，采用最优化方法来确定模型参数。
3 模糊风险中性概率
本节我们在u及d为抛物型模糊数的假设下推导风险中性概率，我们发现它也是一个模糊数。我们进行如下假设：
a)所有投资者拥有相同的信念
b)市场无摩擦、无卖空限制、资产无限可分
c)所有的投资者是价格接受者
d)利率为正
e)设
，从而不存在套利机会
f)市场是完全的
由传统的风险中性概率定价方法可得
与传统的二叉树模型不同，我们得到的是风险中性概率的区间，而不是一个点估计。这样得出的风险中性概率是一个模糊数。在此基础上，我们求出的期权价格也将是一个模糊数。模糊的风险中性概率有如下性质：
4 期权定价
在这一节中，我们用上一节推导出的模糊风险中性概率在单期二叉树模型的框架下对期权进行定价，其结论可以扩展到多期二叉树模型中去。
将此结论一般化，得t时刻的看涨期权的模糊价格：
看跌期权的模糊价格可以通过类似的方法导出。
6 去模糊化及模型参数的确定
用上述方法求解出的期权价格为一个区间，使用去模糊化方法将期权价格区间转化为一个确定数(crisp value)。去模糊化后的期权价格虽然与标准二叉树模糊同样为确定数，但是包含了模糊的股票价格过程的所有信息。此外我们能够得到期权价格的模糊程度的度量——模糊度，从而获知Knight不确定性的大小。本文采用的去模糊化方法的思路是找到一个与模糊数的距离最小的实数，定义模糊数C与实数x之间的距离为：
7 基于中国权证数据实证分析
在本节中我们采用阿胶权证的数据对模糊二叉树模型的可行性进行实证分析。
山东东阿阿胶股份有限公司发行的阿胶EJC1权证于2008年7月18日起在深交所上市交易，该权证是欧式备兑权证，至今未进行行权价格和行权比例的调整，所以可将阿胶EJC1权证看做是欧式期权。
计算出东阿阿胶股票的日收益率的年化波动率为57.03%。采用阿胶EJC1权证从2008年7月18上市日至2008年9月25日这44天的数据，采用前述的二次规划方法(6.4)计算得模糊波动率σ=(0.5412,0.5535,0.5803,0.6398)。
在对参数
的估计中，样本长度m的选取是一个难题，m的增加有助于估计精度的提高，但由于过于遥远的历史数据对波动的估计意义不大，所以m也不宜过大。建议采用折中的办法，选取m为30-90之间。我们分别在m=30，m=60，m=90时对进行估计，见下页表1。我们发现随着S的增加，没有显著性的
表1 σ参数计算结果
无风险利率按网胶权证存续时期的一年期存款利率4.14%进行计算，可得无风险日收益率r为0.016%。可以看出，在不同的m下，无套利假设始终成立：
二叉树期数（取奇数还是偶数）的选择对定价结果有较大的影响，因此，我们在实证中分别计算奇数期数和偶数期数的期权价格，再取平均。在本文中我们分别以9期和10期模糊二叉树模型计算权证的理论价格，再取平均。应用传统二叉树模型计算时采用相同的方法。
计算出阿胶EJC1权证从2008年7月18上市日至2008年9月25日的模糊价格，并对其进行去模糊化。在图1中，将此时间段的阿胶EJC1权证的实际市场价格、模糊二叉树模型计算出来的理论价格（去模糊化后）以及传统二叉树模型理论价格进行比较，发现传统二叉树模型理论价格与实际市场价格的平均误差为0.71元，而模糊二叉树模型理论价格与实际市场价格的平均误差低于前者，为0.49元。图2为实际市场价格与模糊期权价格α=0截集图，从2008年7月18日至2008年9月25日共计49个样本数据中，在44天(91%)中权证的市场价格落在模糊价格区间内，只有5天有所偏离。说明权证的市场价格能被模糊价格区间估计。当我们增大α，模糊价格区间长度缩短，而落在模糊价格区间以外的天数增多。例如，当α=0.5，落在模糊价格区间以外的数增回到 到11天。
图1 市场价格、传统二叉树模型理论价格、模糊二叉树模型理论价格
注：图中粗实线为权证的市场价格，细实线为传统二叉树模型理论价格，虚线为去模型化后的模糊二叉树模型理论价格。
图2 市场价格与模糊期权价格区间
注：图中上图中粗实线为权证的市场价格，两条虚线分别为模型期权价格区间的上下限(α=0)。
α由投资者根据自己的风险承受能力及风险厌恶程度自行选择。选择较低的α将得到更宽的期权价格区间，建议风险承受能力较高、风险厌恶系数较低的投资者选择较高的α，而对于更为保守的投资者，建议选择较低的α。
图3为阿胶EJC1权证在2008年8月12日这天的模糊期权价格的
截集。随着α值的增大，模糊期权价格的截集逐步收缩。当α=0，期权价格的截集
；当α=0.8，期权价格的截集
。
图3 期权价格截集
应用模糊模型，投资者可以选择自己可接受的隶属度α，得到一个模糊价格区间。该区间可作为该投资者对未来权证价格的预测，指导投资策略。若实际价格大于上界，说明权证被高估，投资者应该卖出权证，若实际价格低于下界，说明权证被低估，投资者应该买入权证。
8 结语
金融市场上存在着Knight不确定性，股票价格无法用单一概率测度进行估计，因此在期权定价的二叉树模型中，股票价格的上升及下降因子存在一定的模糊性。本文将模糊理论引入传统二叉树模型，将股价波动看成是模糊数，建立了基于抛物型模糊数的模糊二叉树期权定价模型，取得了如下的研究结果：(1)提供了一个对股价过程的Knight不确定性进行直观描述的理论模型，标准的二叉树模型只是本文的一个特例（对应于股价过程不具有Knight不确定性的情形）。(2)在二叉树模型中引入抛物型模糊数。抛物型模糊数能更好地捕捉股价过程的不确定性，三角模糊数和梯形模糊数只是其特例。③推导出模糊期权价格赋权区间，方便于投资者结合模糊价格区间及主观判断进行投资决策。(4)采用去模糊化方法推导出去模糊化的期权价格，能对期权市场价格进行较为精确的预测。(5)此外我们能够得到期权价格的模糊程度的度量——模糊度，从而获知Knight不确定性的大小。
本文的模糊二叉树模型特别适用于标的过程具有高度Knight不确定性条件下的期权定价。作为进一步研究的内容，我们可以考虑如下两个方向：(1)对不确定环境下的美式期权进行模糊定价，研究最优停时问题，导出模糊最优执行时间。②假设股价为模糊随机变量，采用模糊随机过程理论将离散的模糊二叉树模型扩展成连续的模糊Black-Scholes定价模型。
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