基于Lorentz曲线的收入分配评价方法_收入分配论文

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［中图分类号］F812 ［文献标识码］A ［文章编号］1004-518X(2008)02-0070-07

一、引言

在收入分配问题的研究上不仅存在着实证和规范之争，更主要的是一直存在公平与效率之争。学者们越来越意识到两者的相互制约与不可孤立，随着福利经济学的兴起和发展，人们希望以一种福利评价的方式将两者有机地进行理论上的统一，以获得对社会收入分配的规范评价，由此，经济学研究的出发点被定位为社会福利最大化，即经济效率和社会公平的最大化。就是在这种经济范式下人们开始独立地构建满足其评价要求的福利函数。Arrow不可能定理的出现从数理角度证明了完备意义的社会福利函数不存在[1]，而各自独立的福利函数其经济内涵和评价结果往往大相径庭。

20世纪70年代著名的Atkinson定理为我们开辟了一条新的研究途径，他将收入分配领域广泛运用的洛伦茨(Loronz)曲线与社会的福利评价结合起来，在一个比较宽泛且经济意义显著的框架下对收入分配进行规范的评价，作用域是某一类社会福利函数而不是具体的某个社会福利函数[2]。利用洛伦茨曲线使其便于实证研究，作用域广泛使其适用性强。该定理影响巨大，在很大程度上决定了后继研究的结构和程序。在现实的收入分配研究中，洛伦茨曲线与另一种由Shorrocks在1983年提出的广义洛伦茨曲线相结合就构成了现有的两种基本分析框架[3]。在其理论基础上，研究者们进一步提出Dardanoni和Lambert定理以及Davis和Hoy定理[4][5]，它们分别通过对假设施加不同的、更为严格的限制进而提高对收入分配的比较能力。

应用洛伦茨优势准则和广义洛伦茨优势准则等社会福利比较的方法，经济学者对现实经济中的收入分配状况进行了比较广泛的研究，主要体现在三个方面：(1)某一时期不同国家之间收入分配状况的横向比较，如Kakwani通过对23个国家1970年收入分配状况进行了两两比较[6]；(2)某一个国家不同时期收入分配状况的纵向比较，如Bishop、Formby和Smith对美国1967年－1986年期间收入分配状况进行的比较[7]；(3)不同地区不同时期收入分配状况的平行比较，如Chumrusphonlert、Formby和Bishop对泰国1992年－2000年期间不同地区收入分配状况进行的隔年比较[8]。这些定理／推论在现实的经济评价中发挥了至关重要的作用。

尽管Atkinson定理和Shorrocks定理已经成为学界公认的标准理论[9]，但它们尚未被系统地写入教科书，而且目前在国内学术界，这一领域的理论与实证研究尚不能被充分地理解和有效地应用。因此，在这里引入关于收入分配评价的方法论，并做出系统的解释和论述是十分必要的。本文在Atkinson及其后续研究者的工作基础上展开研究分析，围绕着收入分配的福利评价问题，对相关的定理与推论进行理论阐述和具体应用分析，并具体针对定理的失灵状况作为修正补充。

二、收入分配评价的定理及推论

在阐述定理之前，我们还是首先给出某些定义，并做出必要的假设：

定义1：

这里我们隐含了这样的假设：收入分配的社会福利可以用严格凹的收入效用函数(U(x))计算出的平均效用(W)来衡量。这样的假设表面上定义笼统、形式狭隘，是不能令人满意的，但就其本质而言，我们认为的本质就是满足两个原则：(1)收入递增；(2)不平等厌恶。其中第2条原则即为不平等理论中的最为基础的概念——庇古—德尔顿转移支付原则[10]。需强调：的形式绝不仅仅局限于前面的隐含要求，如Kolm和Dasgupta等人提出的辅助定理提供了四个等价条件[11][12]，由此突破了中对个人效用U(x)同质以及为U(x)的算术平均数者两条限制，使得为满足非递减的S内凹(Schur-concave)社会福利函数②[13]。

定理1（Atkinson定理）[2]：

令A和B分别表示收入均值相同()的两种收入分配，那么

Kolm和Dasgupta等人提出的辅助定理也从另一角度很好地证明了Atkinson定理[11][12]。该定理的约束条件是十分苛刻的，在现实的收入分配比较中较为罕见，那么对于绝大多数的其他情况，即收入规模不相等的收入分配，或无法判断洛伦茨曲线优势的收入分配，我们又将如何评价呢？Atkinson首先扩充了他的定理，以强化其求解能力：

推论1（Atkinson推论）：

令A和B分别表示两种收入分配，那么

分析定理1和推论1我们可以得出：对于收入规模与洛伦茨曲线优势方向不一致，以及无法对洛伦茨曲线优势作出判断的收入分配而言，Atkinson定理（推论）出现了失灵。1983年Shorrocks对Atkinson定理进行了扩展。为了理解这一扩展定理，我们必须首先明确一下定义：

定义2（广义洛伦茨曲线）：

显然，广义洛伦茨曲线的值等价于p=0到p=1的人均收入增加值。利用广义洛伦茨曲线，Shorrocks提出了收入分配中另一重要定理——Shorrocks定理。

定理2（Shorrocks定理）[3]：

令A和B分别表示两种收入分配，那么

Shorrocks定理表明：广义洛伦茨曲线正是公众接收福利的充分必要条件的标准，Kakwani给出了该定理的全新的、独立的证明，并在解决Atkinson定理（推论）失灵问题的同时，研究了广义洛伦茨曲线优势的覆盖率，他在对23个国家1970年实际GDP分配的248种两两比较后发现[14]：

Atkinson定理（推论）仅能解决第1类情况，而Shorrocks定理能够解决第2类和第3类的所有情况，Shorrocks定理的提出大大提高了分析和评价收入分配的能力。Atkinson和Shorrocks的结论并没有解决第4类情况，尽管Kakwani研究发现，实证分析中广义洛伦茨曲线相交的情况要少于洛伦茨曲线相交的情况，但他的样本中该情况包含了大量令人感兴趣的收入分配的两两比较。Lambert在这方面进行了更为深入的研究，通过对社会福利函数施加约束条件，提出新的福利判定定理，从而增强评价收入分配的能力[9]。

假设2：

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在利用平均收入来表示社会福利的范式下，指定收入效用函数的三阶导数为正，实质上是Kolm原则[15]，即递减的转移支付原则。而社会福利的表示W2本质上就是在W1的基础是施加递减的转移支付原则的限制条件，它满足：收入递增、转移支付原则和递减的转移支付原则。这里强调，对于曲线相交模式的限制是新定理有效的一个必要的条件，同时，出于规范方法论的经济学涵义的考虑，我们认为还有必要预先引入罗尔斯法则和一个引理⑤：

定义3（罗尔斯法则）[16]：

罗尔斯法则下收入分配A优于收入分配B，当且仅当A中的最低收入高于B中的，或两者相同但A中发生的频率较低时，记为：

罗尔斯法则事实上是社会选择理论中的一种极端情况（最大不平等厌恶），它反映出在无限趋近于原点位置上具有收入优势的收入分配是可取的，而不考虑其他分布位置。

引理1：

罗尔斯法则与引理1事实上给出了一种罗尔斯主义社会偏好与广义洛伦茨曲线间的等价命题，无限趋近于原点位置上具有广义洛伦茨曲线优势的收入分配，它在罗尔斯法则下是可取的。它为广义洛伦茨曲线解释福利经济学涵义的同时，更直观地约束了相交的广义洛伦茨曲线原点到第一交点的开区间内的优势情况，即A、B在(0，1)内相交，且，那么在原点到第一交点的开区间内＞，从上方与相交。

定理3（Dardanoni和Lambert定理）[9]：

假定收入分配A与收入分配B的广义洛伦茨曲线相交于一点⑥，且。

定理3.1：

其中，(-（)称为均值－方差条件。

定理3中表示收入分配的方差，z表示两种收入分配中的最大收入层次的收入，ε表示社会福利函数W中包含的不平等厌恶。对于定理的详细论证可以参见Lambert的著作[9]，这里我们仅根据收入分配评价的需求做出解释。定理3的基本条件是A与B的GL相交于一点，对于我们可以直观地理解为A从上方与B相交，A在原点附近具有优势，即A是能更好地改善最低收入层次的收入分配，它使罗尔斯法则更优。定理3.1是一个等价表达式，但我们着重强调其判别基础——方差条件，定理3.2是一个蕴含式，均值－方差条件是其评价的基础。两个条件都是从缩小收入差距出发的，但在定理3.2中对W的不平等厌恶的最小值施加了限制，即该结论仅对不平等厌恶大于等于限制条件的W有效，其他情况（典型的，如功利主义福利函数）则失灵。Lambert对这一问题以及不平等厌恶作了深入的分析⑦。事实上反过来看，差距值[-]越大，则从W[,2]中排除的函数类型就越少，而且对A的福利评价就越高。

按照Shorrocks和Foster的观点，实践中洛伦茨曲线多交点的可能性远小于单交点的可能性[17]。进而Lambert指出，相交的广义洛伦茨曲线仅有单个交点的情况是最为常见的[9]。那么定理3的提出又使我们的分析能力大幅提高，更重要的是，它使很多感兴趣的评价成为可能。

实践中，广义洛伦茨曲线不止一次相交的情况虽不多见，但Davies和Hoy还是提供了处理此类情况的思路。概括地说，由原点开始依次根据交点对广义洛伦茨曲线进行分组，保证新分出的子群体(Sub-population)能够形成一个单点交叉的广义洛伦茨曲线段，直到不能分为止。实际是除最后一个子群体外，每个子群体可以看作是收入规模相同且单点交叉的广义洛伦茨曲线某种映射，那么就可以应用定理3逐个作出福利评价。另外，当广义洛伦茨曲线的相交次数为偶数时，最后一个子群体中具有广义洛伦茨曲线优势的收入分配在原点附近同样具有优势，即该分配具有罗尔斯优势，所以最后一个子群体不影响福利判断；而广义洛伦茨曲线的相交次数为奇数时，最后一个子群体形成一种具有罗尔斯优势但收入规模较小的情况，必须利用定理3.2独立判断。

定理4（Davies和Hoy定理）[5]：

定理4.1：如果，且与相交偶数次，那么如果A中每个子群的收入方差都小于B中的（除最后一个子群体），则对于所有W∈W[,2]，有A优于B。

定理4.2：如果，且与相交奇数次，那么如果A中每个子群的收入方差都小于B中的（除最后一个子群体），且最后一个子群体满足自身的均值－方差条件，则对于满足最小的不平等厌恶的所有W∈W[,2]，有A优于B。

到此，我们能够应用这些定理（推论）对现实的收入分配问题做出评价，图1给出了对收入分配进行福利规范的评价时所应顺序执行的分析步骤。这就是目前福利评价收入分配的方法论，我们可以简要概括这些评价的条件以及结论，并将其列于表1中。这里，我们必须着重强调对于使得这些结论有效的具体福利函数的类型的限制，如果评价者对于社会福利函数的界定超出限制的条件，那么这些评价的方法是无效的。

三、对于评价方法的补充

在现实应用中，我们最为常见的现象是广义洛伦茨曲线单点相交但定理3失灵的状况，如对于我国城镇居民收入分配的历史比较。显然，我们不希望为每种比较继续施加福利函数的限制条件，以破坏定理中福利评价的广泛性和完备性；同时，我们更不希望因定理3的失灵而使实证分析终止于目前的缺陷状态，这就需要我们确定一种有效的评价方式。

首先尝试评价两种收入分配现状与其满足均值－方差条件的最小距离。现在有两种方案进行研究：第一，扩大两者间收入规模的差距，使B＜[2]A；

第二，

警惕系数s实际上是在第二章福利假设的基础上进行的，它的建立与收入的方差和均值紧密联系，体现了公平与效率相互作用的福利评价原则。简单地讲，它告诉我们一个较大规模的收入分配与较小规模的收入分配相比在多大程度上会是一种福利的倒退。

四、结论

基于洛伦茨曲线的方法是以社会福利为视角对收入分配进行有效评价的理论最为成熟、应用最为广泛的方法。本文首先回顾了基于洛伦茨曲线的收入分配评价理论的基本定理的形成与实证应用，接着以定理化的方式对该领域内的主要定理进行了阐述，并用公式化的方法对这些定理进行了数学表达，这为我国学者在该领域的研究与教学提供了严谨的规范。文章对基于洛伦茨曲线的收入分配的社会福利评价方法予以系统的论述，结合对定理的适用范围和应用方法的详细解释和说明，并针对定理3失灵现象提出警惕系数作为补充，为收入分配福利排序的具体应用提供依据。从国内经济学界来讲，对于收入分配的福利评价无论是理论研究还是实证应用，都还没有引起足够的重视，通过本文的论述，我们希望能够对相关领域的研究提供有益的借鉴。

注释：

①如果采用连续的收入分配方式，那么，其中f(x)为收入分布密度函数。

②当然，对于该假设的理解也存在某些争议，如收入分配中洛伦茨与福利的一致性假设，Chataeuneuf和Moyes对洛伦茨曲线非一致福利与不平等问题进行了研究。

③该定理的等价形式最早见于1969年Kolm的论述中，但我们仍然习惯性地称之为“Shorrocks定理”。另外，Atkinson定理及其推论的等价阐述也可见于Kolm的同一著作中。

④如果采用连续的收入分配方式，那么，其中f(x)为收入分布密度函数。

⑤目前利用Lambert定理评价收入分配的文献中，更多的是应用语言描述限定广义洛伦茨曲线两两相交的模式，而非规范的、体现经济学意义的数理表示。对于该法则和引理的具体解释参见文献[9]。

⑥这里相交是指交点的横指标p∈(0，1)的情况，即不计算原点的必然相交及p=1时的可能相交情况。下文同。

⑦在Lambert的分析中不平等厌恶由收入的边际效用弹性的负值表示。