试论数学争论的科学价值，本文主要内容关键词为：试论论文,数学论文,价值论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在近期看到的一篇文章中，作者将拒绝接受新的数（如无理数、负数、复数等）的数学家称为“保守势力”、“偏执”、“狭隘”，而将“数”的历史发展过程描述为“新旧两派势力的殊死较量”的过程，是具有“开拓精神”的数学家与“保守势力作顽强斗争”的过程。这种近乎荒谬的观点充分说明了我国科学思想教育的薄弱导致公民的科学素养的缺失。本文意在通过科学史上的一些案例说明科学争论对科学发展是阻碍还是促进？如果局限到数学学科，也就是：数学争论的科学价值是什么？
一、“接受新事物”不是衡量“进步”与“保守”的标准
首先，“反对派”不都是“保守派”。如莱布尼茨对复数、庞加莱对集合论的态度都是鲜明的例证。莱布尼茨是创立微积分的数学大师之一，其进步性、创新性是不容怀疑的，但他对虚数的描述却是“虚数是神灵与惊奇的避难所。它几乎是又存在又不存在的两栖物”；庞加莱是康托的集合论的激烈反对者，他曾经说过：“以后的各代人将把集合论看作一场疾病，……”，可庞加莱不仅是伟大的数学家，而且是伟大的哲学家，其科学哲学思想对后世的科学方法论的发展有着非常积极的影响。风靡19世纪的复变函数论的基础建立在复数之上，但作为复变函数论的主要创立者之一的法国伟大的数学家柯西一直不承认复数，他坚决不同意把复数当作数，并在其《分析教程》中强调：“将这些表达式作为一个整体是毫无意义的。”
事实上，对于虚数，很多一流数学家都是不承认的，如果说他们在数学研究时还在运用的话，也只是一种“形式”表示而已，是数学家的好奇的游戏，从内心深处他们绝对不承认虚数是“数”。就是到了上个世纪，仍然有一些数学家还不肯承认虚数是“数”。对负数也是如此，比如，法国数学家许凯1484年在其《算术三篇》中曾给出了二次方程的一个负根，但坚决不承认，说它是荒谬的。1544年意大利数学家卡丹在《大术》一书中虽然承认方程可以有负根，但认为负数是“假数”，仅仅是一些记号，只有正数才是真数。
其次，“接受”是需要认知过程的。1637年，法国数学家笛卡尔在其著作《几何学》中说：“负数开平方是不可思议的”，但他后来改变了看法，正确地认识了虚数的存在，并把“虚构的根”称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，他还进一步给a+bi（a，b为实数）取名为“复数”，这个名词一直沿用至今。从邦别利用卡丹公式求解三次方程时出现
，并成功地给出了形式意义算起，200年后的1770年欧拉在其《代数指南》中还如此写道：“所有像
这样的表达式，结果都是不可能的数或者说虚假的数，因为它们表示了负数的平方根；而对于这样的数，我们可以确切地断定，它既不是一无所有，也不是大于一无所有，更不是小于一无所有，这样就只能把它们定为虚假的或者说不可能的。”“因为所有可以想象的数都或者大于0，或者小于0，或者等于0，所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的数中，从而我们必须说它们是不可能的数。这种情况使我们得到这样一种数的概念，它们就其本性来说是不可能的数，因而通常叫做虚数或者幻想中的数，因为它们只存在于想象之中”。①然而，也是这个欧拉，在其于1748年出版的著作《无穷小分析引论》一书中却又发表了下面这个著名的公式
像欧拉这样的可列入数学史上最伟大的数学家的科学巨人都对“虚数”既否定又运用，充分说明接受新事物，尤其是严重背离认知直觉、常识的新数是多么的困难。
第三，坚持与反对新事物并不都是传统与创新之间的斗争。比如，康托与克罗内克之间关于“实无穷”的论争，尽管大多数人认为是克罗内克对康托的“迫害”，但曾研究过这场争端的两位社会学家兰达尔·柯林斯和萨尔·内斯蒂沃提出了这样的观点：“克罗内克与康托的斗争……不是传统与创新的数学意识之间的冲突，而是新范式之间的竞争。克罗内克不是数学上的传统主义者，为了反对当时的无穷与无理数、超越数和超限数等观念，他被迫在一个激进的新基础上构建一门新数学。正如康托为形式主义运动的先驱一样，克罗内克的成果预示着20世纪直觉学派的诞生。两个学派都希望数学变得更严密，但在如何达到这个要求上，他们有很深的分歧。”②
第四，“新”与“真理”并不能画等号。如物理学中的“以太观”，从笛卡尔提出开始，这个新事物就得到了绝大多数科学家的承认，自牛顿始，直到20世纪初，绝大多数物理学家对此都深信不疑。不过，并不因为大家都承认的就是真理，随着人们对客观世界的认识的深入，最终还是抛弃了并不存在的“以太”。
二、拒绝接受新事物事出有因
认知水平、数学与哲学观念是数学家对新的数学理论拒绝接受的主要原因。
一是一种新理论超越了时代，即使同时代最伟大的人物也不能理解。比如伽罗瓦的“群论”思想，泊松和拉克鲁瓦对伽罗瓦提交给学院的论文所写的鉴定报告是：“我们已经尽力来理解伽罗瓦先生的证明（一个方程存在公式解的条件）。但他的推理既不够清晰，也展开得不足以使我们能够判断其正确性，所以这份报告我们无法给出一种看法。”而《无法解出的方程（天才与对称）》一书的作者马里奥·列维奥认为：评判人认为“他们会在手稿中找到一条基于系数的简单准则，这个准则会直接告诉我们，任何特别的方程是否有解（可由一个公式解出），但出乎意料，他们找到了一个全新的概念——‘群论’和方程存在公式的解的条件。不过，这在1831年是太过于创新了，所以没有被接受。”③
二是新理论与人们的已有认知或直觉之间存在巨大反差，造成接受时的认知困难。非欧几何从产生到被公认经历近100年的时间。1826年罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会议上宣读了自己关于非欧几何的研究成果，立即遭到传统数学家的激烈反对。系学术委员会委托数学家西蒙诺夫、古普费尔等组成鉴定小组，并要求写出书面评语，但鉴定小组一直采取拖延策略，后来把论文原稿都搞丢了。1832年，根据罗巴切夫斯基的要求，彼德堡科学院委托当时的数学权威奥斯特罗格拉得斯基院士写出审查意见。其鉴定书这样写道：“作者旨在写出一部人不能理解的著作。……这部著作谬误连篇，叙述混乱，因此不值得科学院注意。”1826年亚·鲍耶将自己关于非欧几何的论文送到母校维也纳工程学院的老师艾克维尔教授审查，后来这位教授也把鲍耶的论文弄丢了。1832年，经他再三请求，在他父亲的数学著作《试验》的尾部作为附录发表了他的研究成果。高斯知道了鲍耶的成果，但不肯予以肯定。在老朋友高斯的影响下，鲍耶的父亲坚决反对其继续这项研究，从而使其心灰意冷，不多久即在忧虑和痛苦中结束了生命。
三是新理论与已有知识的性质矛盾，在认知迁移上形成困难。如大思想家帕斯卡认为：从0中减去4，纯粹是胡说八道。他在《思想录》里说到：“我了解那些不能明白为什么从零中取出4后还剩零的人。”帕斯卡的密友，数学家阿尔诺举出下面的例子说明负数的“荒谬”：若承认
而-1＜1，那么较小数与较大数的比怎能等于较大数与较小数的比呢？对此，伟大的数学巨人莱布尼茨也认为这个责难有道理，因为这种计算形式是正确的。19世纪英国著名数学家德·摩根在《论数学的研究与困难》中也举了说明负数不是数的例子。到了20世纪，欧洲数学界仍然有人反对负数，这个争论达500年之久。
四是数学家的观念系统与新理论不可调和时的自然结果。比如德国数学家克罗内克等对希尔伯特存在性证明的反对：德国数学家希尔伯特运用存在性证明的思想解决了著名的“果尔丹问题”，而这种“新”的思想方法与数学家果尔丹的“构造性”观念毫不相容，克罗内克与果尔丹持相同的数学证明观，于是他们对希尔伯特的证明拒不承认，大声疾呼：这不是数学，这是神学！对虚数的态度也是如此，有不少数学家（比如笛卡尔）拒绝接受虚数并不是因为其破坏了已有的运算法则，而是因为它们与已有的数学观念不相容。④
当然，也可能存在第五种情况：纯粹的政治迫害。比如对爱因斯坦相对论的攻击就完全是纳粹威逼下（当然也有部分是志愿的）德国物理学家们违心的举动。⑤这并不是科学史的主流。
三、“反对派”对科学发展也有促进作用
集合论、微积分的基础的完善就是在不断的反对、质疑过程中完成的。卡尔·B·波耶在《微积分概念发展史》中这样评价：“贝克莱对牛顿命题的批评从数学的角度来说也很有道理，而且他批评牛顿无穷小概念是自相矛盾也相当中肯”。即使其对流数、初生增量和趋近于零的增量、作为初生增量的瞬、最初比和最终比、无穷小、趋近于零的三角形的最终形式等的反驳“的确是指错了目标”，波耶也认为“需要这样的批判”。即使是贝克莱主教，他也接受了卡瓦列利的不可分量的概念。这说明，就当时人们的认知能力而言，贝克莱的“理念”还是比较先进的（当然其攻击“微积分”也有“公报私仇”的因素，即其与牛顿的密友埃德蒙·哈雷存在个人恩怨）。贝克莱在其《分析学家——对一位不信神的数学家的劝告》（这里的“不信神的数学家”是指埃德蒙·哈雷）一书中既没有否定新方法的实用性，也没有否认所得到的结果的正确性。他宣称：他反对的不是作为艺术家和计算家的数学家，而是作为“一个从事科学研究和论证”的人。也就是说，他所指责是当时微积分的理论基础，并且其所言并无不妥。贝克莱的《分析学家》被誉为“标志着大不列颠数学思想史上的一个转折点”，这说明英国人的科学素养和科学氛围确实适宜科学的发展。尽管不久贝克莱就退出了争论，但这场争论对微积分的健康发展还是起到促进作用。⑥
虚数的发展史反映了共同的特点：面对人们对虚数的“合法性”质疑，数学家们根据当时的数学传统，力图构造其对应的几何或物理模型。正是这种努力，使得笛卡尔、沃利斯、韦塞尔和高斯等数学家进行了深入的研究与探索，最后构造了“高斯复平面”，使“虚”变“实”。尤其是当复数模型被运用于众多物理问题，特别是相对论的时候，对复数的认可才得以最终确认。
事实证明：科学需要“反对派”。
四、“质疑”是最基本的科学素养，是科学发展的动力
质疑是数学研究的基本思想方法。事实上，作为一个科学探索者，必须具有批判性思维的习惯。试想：如果伽利略像当时的所有人一样，其思想完全被亚里士多德的观念所束缚（这在当时应该是一种巨大的精神障碍），那他就不可能完成如此重要、如此具有独创性的科学发现。无怪乎，著名科学哲学家贝弗里奇在其名著《科学研究的艺术》中这样评价：“今天，诸如行星系基本事实这类连儿童也很容易掌握的事物，在人们的思想还受到亚里士多德观念限制的时候，确实需要超群出众的天才进行智力活动的伟绩壮举才能想象出来。”著名科学哲学家伊姆雷·拉卡托斯在其《证明与反驳——数学发展的逻辑》⑦一书中以关于“多面体的欧拉公式”的不断改进为例，说明了科学家进行科学研究的基本思维过程和思想方法。这本书生动地说明了证明、反驳在数学发现过程中的重要价值。
质疑是“新”思想产生的源泉，最能说明这一科学史实的大概就是非欧几何了。可以这么说：没有怀疑便没有非欧几何。首先，非欧几何发现的历史是从怀疑欧几里得第五公设开始的（公元前300年左右），然后就是对第五公设的论证的艰难历程。大量的尝试的失败又使数学家们（鲍耶、罗巴彻夫斯基等）产生了怀疑：既然第五公设难以从其他公理、公设推出，那么，第五公设不成立会出现什么情况呢？从而得到了一种全新的数学系统，一种内容并无逻辑矛盾的新几何学，于是，非欧几何诞生了。
质疑还有着另外一种重要的功能。贝弗里奇认为：“虽然对新发现的抗拒往往令人恼怒，甚至十分有害，但是，它却起到了缓冲的作用，防止社会为时过早地接受尚未充分证明和充分试验的设想。若无这种与生俱来的‘保守主义’，狂思乱想和江湖骗局就更猖獗泛滥。科学上为害最大的莫过于舍弃批判的态度，代之以轻信佐证不足的假说。”因此，我们不能因为质疑微积分就将其视为保守派、守旧派，因为面对贝克莱、尼文太们的质疑，牛顿、莱布尼茨们的回答连他们自己也是不满意的（如莱布尼茨对尼文太的质疑“为什么无穷量的和是有限量？既然无穷小量的和是有限量，又为什么在推理过程中又可以略去无穷小量呢？”的答复是很没有说服力的）。也正因为200年的不断质疑，微积分这门分析学科才得以成为严密的科学。这说明，科学的健康发展是需要质疑与反驳的。
五、科学发展有其内在规律
为什么科学史上累累出现对新学说的怀疑、质疑，甚至讥讽呢？伦琴发现X射线时遇到过嘲笑，贝克勒耳宣布铀盐放出射线时只有极少数的人相信……有时一个发现需几次三番作出方被接受。对此，席勒认为：“这种惰性可列为大自然的一项基本‘法则’。它的一个奇特结果是：当一个新发现经过漫长的岁月最终获得承认时，人们通常发现这个新设想早在预期之中，并具有充分的论证和详尽的细节。例如达尔文学说就可追溯到几百年前的海拉克里特和阿那克西曼德”⑧。托马斯·库恩反对“科学是一种积累知识的活动”的观点，他认为：“在科学史上的前范式时期之后，在所有同化新理论和几乎所有同化新现象的过程中，事实上都必然要求摧毁旧范式，并发生不同的科学思想学派间的彼此竞争和冲突”⑨。这些都说明科学发展有以下基本规律：一是新的科学体系的形成、发展有其历史必然性；二是不仅可能是新旧体系之间，而且可能是不同范式之间（如数学史上的逻辑主义、直觉主义与形式主义之间）的竞争，这种竞争既可能是正确的战胜谬误的，也可能是不同的范式之间的并列（如欧氏几何与非欧几何）共存。当然，科学发展还有着另一个重要的规律：它是一个逐步完善（在质疑与补救的过程中）的自然过程，比如，罗素是康托“集合论”坚定支持者，但他却提出了著名的“罗素悖论”，引起了第三次数学危机。而危机的产生并未影响数学的发展，在公理集合论产生之后，数学的基础问题还是基本解决了。
最后我们想要说明的是，尽管科学史上存在迫害甚至虐杀新科学理论的创建者的现象，但从科学革命的历史看，这不是主流，我们不能将正常的科学争论与科学迫害等同起来，也不能将正常的科学争论一概视为先进与落后的斗争，起码，对复数的是否认可不能作为区别革命还是反动的标准。正确的科学观对数学教学的理念是有影响的，对学生的正确数学观、科学观和历史观的形成也是非常重要的。
注释：
①M.克莱因著.《古今数学思想》第二册，上海科学技术出版社，1979年版第347页.
②哈尔·赫尔曼著，范伟译.《数学恩仇录》，复旦大学出版社，2009年版第167页.
③马里奥·列维奥著，王志标译.《无法解出的方程（天才与对称）》，湖南科学技术出版社,2008年版第137页.
④解恩泽等著.《数学思想方法纵横论》，科学出版社，1987年版第143页.
⑤丹尼斯·布莱思著，杨建邺等译.《爱因斯坦全传》，高等教育出版社，2008年版第434页.
⑥卡尔·B·波耶.《微积分概念发展史》，复旦大学出版社，2007年版第218～219页.
⑦伊姆雷·拉卡托斯著，方刚、兰钊译.《证明与反驳——数学发展的逻辑》，复旦大学出版社，2007年版.
⑧贝弗里奇著，陈捷译.《科学研究的艺术》，科学出版社，1983年版第114页.
⑨托马斯·库恩著，金吾伦、胡新和译.《科学革命的结构》，北京大学出版社，2003年版第88页.