利用定积分概念解题的几个注意点，本文主要内容关键词为：几个论文,积分论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从定积分概念的构建、生成及抽象过程可知，定积分既是高中数学中的重要知识，又是一种功能强大的解题工具.利用定积分概念高屋建瓴地审视问题，居高临下地解决一些利用初等方法难以解决的问题，显得特别有效.本文通过几个具体的例子来阐述利用定积分概念解题过程中的几个注意点，抛砖引玉，不当之处，恳请批评指正. 一、从定积分概念生成过程可知定积分内部元素是积式
（A）
是递减数列，且各项值均小于1 （B）
是递减数列，且各项值均大于1 （C）
是递增数列，且各项值均小于1 （D）
是递增数列，且各项值均大于1 学生根本不懂题目意思，无从入手.
显然，当n增大时，分割越来越细.当n→∞时，
无限接近曲边三角形的面积. 因此，数列
是递减数列，故选择B. 【评注】教师要认真对待教材中的每个概念，尤其是新授概念，务求将概念中所涉及的外形及内部结构、图象等显著特征呈现在学生面前，以便学生在第一时间形成表象特征.定积分是利用小矩形的面积去逼近曲边三角形的面积，而矩形的面积正是长与宽的积，即积式. 二、从定积分概念的发展进程可知定积分的外部结构就是一种特定形式的和式
三、从定积分概念形成的结果可知定积分本质就是和式极限
【评注】由定积分概念的形成过程和结构不难发现，其本质就是一种特定形式的和式极限，为此需要将“和式”进行适当变形与凑配，以便与教材中实施定积分的四个步骤相吻合. 四、从定积分概念确定分割时如何选取恰当的区间
这样不等式左边每一项看作宽均为1，高为
的矩形面积. 因此，左边可以视为函数f（x）=
在区间[0，n]上分割的面积和. 对于右边来说
. 作出函数f（x）=
的图象，并将[0，n]这个区间n等分，即得到n个小区间：[0，1]，[1，2]，[2，3]，…，[n-1，n]. 显然上述高
是每个小区间的右端点处的函数值. 由图易得此时这些小矩形的面积之和大于曲边三角形的面积，故原不等式获证. 【评注】对于给定的具体问题，应用定积分时，其区间并非一成不变，而是要依据实际问题具体分析，选取恰当的区间，减少运算量，使问题获得快速简捷的解答. 五、定积分概念生成过程中的“分割”并非一定“均等分割”
这是2003年江苏省高考理科压轴题.当年高考阅卷后统计数据显示第（3）问几乎没有学生能完整给出解答，这也是当年媒体、网络渲染江苏省高考试题难度极大的原因之一.事实上，定积分定义中的“分割”并非一定“均等分割”.倘若教师在讲授定积分概念时没有向学生明确指出，学生又怎能悟出呢？如果学生明确这一点，加上第（3）问的外形结构明显兼容“积式”与“和式”，那么基本功底扎实的学生完全可以采取以下方法求解.
【评注】教材为了运算的方便简捷，更为了便于师生实施具体操作，从前到后所采用的“分割”确实都是“均等分割”，即这些小矩形的宽度一样.事实上，定积分定义中的“分割”并非一定“均等分割”，这一点教师务必明确向学生指出. 六、借助定积分概念生成过程中的“逼近”来解决与“和式”相关的不等式
故所证不等式成立.
七、利用定各人与面积天然密切的关系解题
（2）对于一般的三次函数
，请给出类似于（1）中的②的正确命题，并予以证明. 作为当年的高考理科压轴题，全省几乎没有学生完整解决.命题专家在所给标准答案中直接给出结论：y=g（x）的对称中心为
.高考结束后，不要说学生，其实绝大部分教师对命题专家给出的结论都感到茫然！但是，只要合理利用定积分与面积之间天然的联系，不难得到下面的定理、性质，问题也就迎刃而解了. 定理：若函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象关于直线x=m对称，则函数y=f（x）关于点（m，k）对称
.
因此，y=f（x）关于点（m，k）对称. 取
为函数定义域内任意一点，得到
（注：与
取值无关）. 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数存在对称轴，因此依据上述定理不难得到以下性质.
性质2：三次函数
的对称中心必在其函数图象上，且y=f（x）的对称中心的横坐标与y=f'（x）的顶点的横坐标相同. 由此可见，上述定理、性质1、性质2正是命题专家直接给出结论的原因所在！ 【评注】学以致用，正是新一轮课改的精髓之一.定积分不仅是重要的数学知识，更是一种强有力的工具.学习积分（包括定积分与不定积分）的目的之一就是借助定积分的工具性作用来灵活、高效地解决问题. 八、依托定积分来创造性地解决问题
解析：对于第（3）问，绝大部分学生都是利用第（1）、（2）问的结论来论证，推理复杂、难度较大.倘若依托定积分来构思函数，可以得到让人赏心悦目的妙解.
【评注】利用定积分创造性解决问题的关键在于构造恰当的函数（如上述例3、例4、例6、例7、例9），优化学生思维品质，培养学生创新意识，激发学生创造能力，这正是新课改的精髓所在.学生的创造能力不是凭空产生的，更不是喊喊口号得到的，而是要落实到具体的行动，这个行动就是我们教师要吃透课改精神，尊重教学规律，潜心研究教材，重视概念教学，充分展示概念生成过程，悟透概念的内涵与外延，强调方法与应用.教师要形成常态性总结，反思自己的教学，尤其是概念教学.打造魅力数学课堂，优化学生的思维品质，激发学生的创新意识及创造能力，这是数学概念教学及数学教育的终极目标.正如我国著名数学家李邦河院士指出：“数学从根本上是玩概念的，技巧不足道矣.”由此说明，数学概念在数学教学中占有绝对重要的地位.
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