师生解题方法与解题错误的比较、分析，本文主要内容关键词为：师生论文,错误论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、研究的目的
国内外学者曾对学生解题错误做过大量的研究，其中纽曼(Newman)[1]针对一步计算的文字题于1977年提出把学生的解题错误按解题过程分成以下五个层次：1.阅读能力(Reading ability)；2.理解(Comprehension)；3.转化(Transformation)；4.运算技能(Process skills)；5.呈现答案(Encoding ability)。此外还有；6.动机(Motivation)；7.粗心(Careless)；8.问题表达形式(Question form)本身的原因等。其中后三个情况在前五个层次中都有可能发生，所以，列五个层次之外。而且她的研究数据显示，运算技能(26%)、动机(25%)和理解(22%)的错误所占比例较高。此后，Casey和Clements又分别对多步计算和不同年级的学生进行了研究[2]，数据显示，错误比例比较高的是动机、转化和运算技能。
IvanWatson对纽曼提出的错误层次作了一些概括和补充[3]，并把研究对象从五年级推广到低年级（二年级），她在“听”学生怎么思考的基础上，通过“看”学生怎么解题研究学生的各种解题错误，并把纽曼的五个错误层次进行了明确的界定，她认为“阅读能力方面的错误”主要指学生认错字、词，以及相关的符号；“理解方面的错误”包括一般的理解，以及对题目中特殊术语及符号的理解；“转化方面的错误”是指学生选择数学方法或步骤（以获得结果）时出现问题；对于“运算错误”，Watson认为主要有以下几种类型：(1)胡乱回答；(2)运算顺序的错误，如把先乘后加的做成先加后乘了；(3)运算方法上的错误，如做加法时没有把数位对齐；(4)计算结果上的错误；(5)没有解答。“呈现答案时的错误”是指学生能否指出最后结果，并按规定要求标注单位名称、写答等。
Watson的研究结果与纽曼有差别（都是一步计算），认为低年级学生最初的错误主要是阅读和理解(65%)。产生这些差异除了测试内容上的不同（一步文字题与一步计算题），年龄上的差异（六年级与二年级），还有测试方法上的差异。纽曼的方法是让测试错误的学生再做一遍，把第一次错了而第二次正确的归结为动机或粗心方面的错误，而Watson是学生第一次做时就“当场”发现，所以关于动机与粗心方面的错误就比较少。虽然解题错误的原因是多种多样的，但Watson认为纽曼的错误分析法适用于各个年龄段，对教师分析学生错误、改进教学有重要的现实意义。
我国有戴再平从解题结果分析学生的错误类型[4]，黄兴丰、程龙海对初中几何解题错误的测试和分析[5]，李善良与徐文彬对数学概念学习中的错误进行的分析[6-7]。但至今尚未发现对师生的解题方法与解题错误进行比较和研究。笔者认为抽样调查教师和学生的解题方法与解题错误，并对学生的错误进行质和量多角度的分析，对教师与学生——作为教这些知识的人与学这些知识的人在解题方法与解题错误上进行比较研究，不仅能帮助教师更深入地了解学生、改进教学，还能帮助教师认识自我，提高反思能力，促进教师的专业成长。
二、研究方法与研究对象
限于客观条件，本研究采用抽样问卷调查与访谈相结合的方法，我们选择了数与代数、统计与概率这两个课程内容中酌两道数学题[8]（附件一），选择了某省较好小学的六年级（第一学期末）学生作为调查对象，首先请老师推荐全年级段最好的三个学生（甲1、甲2、甲3），然后选择全年级段较好一个班的全体学生共56人，除已选定的甲2、甲3（甲1是另一个班的学生）外，又随机抽样了该班数学成绩排名在20～30名的学生3名（乙1，乙2，乙3），数学成绩排名在40～50名的学生3名（丙1，丙2，丙3），直接进行面试与面谈（附件二），其余的48名学生统一参加纸笔测试，时间都是30分钟，有效试卷回收率100%。
教师的调查对象是两个自然班，其中一个班（以下简称教师A班）是该省小学数学教研员、教师进修学校与师范院校研究小学数学的老师、部分小学数学骨干教师，另一个班（以下简称教师B班）是该省的初中数学教研员、教师进修学校与师范院校研究中学数学的老师、部分初中数学骨干教师，参与调查教师分别为54人和32人，有效试卷回收率分别是74.1%和78.1%，教师解答这两题的时间虽然要求是30分钟，但实际均未超过20分钟。
三、调查结果分析
（一）第一题的解题方法与解题错误情况分析
1.表一：第一题解题情况统计表。
注1：方法一是指用方程解答，方法二是用列表的方法，方法三是算术方法解答，其他方法主要是用比和比例的知识解答，以及只有答案没有过程两种情况。
注2：本题对面试的学生没有给予任何解法上的提示。
注3：为了比较上的方便，教师有多种解法的以第一种解法计入。
2.分析。
(1)从表一中可知，教师解题正确率明显高于学生，且解题方法，特别是教师B班，与学生有明显的差异，其中，学生笔试用方程解答正确的只有1人，占小学笔试解答正确总人数的(1/16=)6.25%，面试的学生曾有一人尝试用方程解，但马上放弃了，所以最终不管对错，都没有一人用方程解，而教师用方程解答正确的分别占解答正确总人数的(26/37=)70.3%和(21/23=)91.3%，说明教师喜欢用方程解法，且正确率较高，学生虽然在五年级已开始学习方程解法，但基本上都习惯于用算术解法，且解答此题普遍感到比较困难。
(2)从面试情况分析学生解题的思路与错误的层次。
①阅读技能：9个学生都表示能认识每个字、词和符号，并能流畅地读题。
②理解：9个学生都知道20分的邮票比35分的邮票多，而且是多8张，4.90元是买20分邮票与35分邮票一共所付的钱。
③转化：9个学生都表示过去没有做过这样的题，其中1个学生（丙2）选择了总数／每份数的解题方法（计算20+35=55，490÷55=），后来发现计算结果不是整数，知道不对，就“转化”为：490-160=330。另8个学生说，看到此题首先想到的是把它“转化”为“鸡兔同笼”问题，所以先假设都是20分或35分的邮票，后来发现不知道一共有多少张邮票（“转化”受阻），其中甲3开始用方程解：“设总数为x张，20分的是x/2+8，35分是x/2-8…”，显然，这是从语词表征“转化”为符号表征[9]时发生的错误，在进入“运算技能”阶段时，发现计算结果不是整数，又回到“转化”阶段，改用列表的方法解。乙1直接采用列表的方法，即从相差8张来思考，开始列表，其他6个学生与丙2一样，考虑把多的钱先减掉(490-20×8)，剩下的钱怎么处理是较好学生与基础较差学生的分界线。甲1、甲2、乙2、乙3很快列出了算式：330/(20+35)，三个基础较差的学生（丙1、丙2、丙3）更多的是漫无目的地加、减、乘、除，希望能找到整数（9个学生都知道答案应该是整数）。
④运算技能：2个用列表法解的学生（甲3、乙1）都担心这样的方法老师会不认同，在面试老师鼓励下才把解答过程从草稿移到答题纸上，并且没有发现在列表过程中出现“运算技能”错误。三个差生在运算上花了很多时间，结果丙1通过4.9÷2=2.45元=245分，245÷35=7，得到一个整数，就认为找到了答案，丙2因为要接着解第二题，即使答案是小数(330÷2=165,165÷20=8.25)，也没有再继续思考，就直接“呈现答案”。丙3很快就放弃了。其余4个学生都完成了计算的过程，且计算正确。
⑤呈现答案：8个学生，都找到了答案，都把他们认为是正确的答案写了下来，都注意到了写答和单位名称，丙3因已放弃解答该题，所以没有“呈现答案”。
在面试的学生中本题没有发现因动机、粗心、问题表达形式本身的原因造成解题错误，最终解答错误的3个学生都是“转化”方面的错误。A、B两班五位解题错误的老师只有一位是“转化方面”的错误，其余四位都是“运算”错误，且是运算结果上的错误。
（二）第二题的解题情况与解题错误分析
第二题由于分2个小题测试，需分别分析和比较。
1.表二：“求一共有多少个学生”的解题情况统计表
生笔试 生面试师A班
师B班
测试人数 48
9 40 25
正确答案15人 31(64.6%) 6(66.7%)29(72.5%) 14(56.0%)
错误答案13人 7(14.6%) 3(33.3%)3(7.5%)8(32.0%)
其他答案 10(20.8%) 0 8(20.0%)
3(12.0%)
小计 17(35.4%) 3(33.3%)
11(27.5%) 11(44.0%)
注1：面试的同学虽然最终结果都是15人，但统计时为了与笔试情况一致，都以第一次解答结果为准，经面试老师提示后改正的仍列为解答错误的栏目中，学生自己发现错误并已纠正的列在解题正确的栏目中。
注2：笔试的同学和老师虽然也明显地有从13人改为15人的情况，但因没有任何人提示，所以按自己发现错误处理，即以最后结果为准，只要最终答案是15人仍列在解题正确的栏目中。
2.分析。
本题解答错误的原因很多，但以计算结果为13人居多（学生笔试14.6%，面试33.3%），教师（特别是B班）发生这个错误的比例也较高（分别为7.5%和32.0%）。在面试和教师测试后的面谈中了解到，出现13人的错误，原因在于观察分析统计图时遗漏了作业时间为零的2个学生，这是典型的“图形表征”对师生“理解”该题所带来的“困难”，最终导致解题错误。
在面试与面谈中我们还发现日常思维习惯，或日常生活经验对解题的影响。面试中，学生虽然在“阅读”和“理解”时，注意到了有2个学生的作业时间为0，但认为没有作业是不可能的事情，所以，宁愿相信生活经验，也不愿承认数据中显示的客观现实。有2个面试学生在问面试老师“作业时间有可能为0吗”，得到面试老师确认后才改正（因为是学生自己发现的，仍统计在解题正确的栏目中）。
与教师A班、B班测试后的面谈中，也有与学生同样的思考，教师在解题中还出现了个别教师按自己的主观意愿，把学生数从2、4、5、3、11改为20、40、50、30、10或200、400、500、300、100的情况。此外，在教师中还出现了对数学规范题的依赖以及思维的负迁移。因为该题中的统计图与他们接触的统计图有一些差异，差异之一是时间的连续性，该统计图中的时间是不连续的，分别为0、1、2、3、4小时；差异之二是过去的横坐标与纵坐标的起点总是相同的，而这里的0应理解为有2个学生做家庭作业所需时间为0（没有家庭作业）。即应把该题理解为：没有家庭作业、家庭作业时间为1、2、3、4小时的学生数分别为2、4、5、3、1人，但教师还是主观地“理解”为有2个学生做家庭作业所需时间为0到1小时，这样一共就只有四段(0～1,1～2,2～3,3～4)了，把对应的四个数据(4、5、3、1)相加得13，这些都属于纽曼提出的第二层次错误——“理解”的错误。而且中学里学习的更多的是直方图中的连续时间，所以，我们认为中学老师在解答该题的错误率高于小学生与小学老师（只教条形统计图）的原因可能也在于这里。该题没有发现“运算技能”与“呈现答案”时的错误。
此外，我们对测试题本身进行了反思，认为该题的错误原因可能还在于纽曼提出的第八个原因，即“问题表达形式本身的原因”。但我们查阅了相关资料[10]，发现问题本身是正确的，只是教师和学生都不习惯把直方图按这样的形式表达，才造成对问题“理解”上的错误。
3.表三：“求中位数”的解题情况统计表。
注：这里把结果是2、但方法不正确，列在解答错误栏目。因为这些老师和学生是根据0、1、
、3、4，求出该题的中位数是2，方法不正确。笔试中由于不知道其思考过程，所以把直接写出答案2的，列在解答正确栏目中。
4.表三分析。
本小题的正确率教师。班明显高于教师A班和小学生，我们认为，这是由于中位数的概念刚从中学下放到小学，许多小学老师和小学生，虽然接触了中位数的概念，但还不能深刻“理解”中位数的意义，在面试中学生都说老师五年级时教过，但怎么求中位数忘记了，在甲1的记忆中，“求中位数，当单数时就是中间一个数，双数时应把中间两个数加起来除以2”，他还拿“太平洋”与“太平三羊”作比喻，说明学习时他是理解中位数的概念的，不仅理解还通过上述比喻帮助同学理解，但在具体解答时由于不能确定是求哪些数据的中位数，认为此题是求时间：0、1、、3、4的中位数，致使解题错误。另有两位同学（丙2、乙2）与他有同样的想法，其中乙2更是由于第1小题中排除了做家庭作业所需时间为O的情况，所以求1、2、3、4的中位数是(2+3)/2=2.5。乙3是求人数的中位数，得1、2、
、4、5，显然他们四人对什么是中位数是“理解”的，但把用语词表征的问题：“求出做家庭作业所需时间的中位数”转化为用符号表征的问题：求“0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4的中位数”时发生了错误。另外5个同学的错误原因都是由于忘记了什么叫中位数，其中甲3是求2、4、
、3、1的中位数，显然是不知道“中位数”的概念。另2个同学（甲2、丙3）是通过求平均数的方法求中位数，丙1则凭直觉凑了一个数是3，而乙1尝试后则干脆放弃不求了，他们是因为忘记了中位数的概念。这是学生对中位数概念“理解”上的错误。可见，从面试情况分析，本小题学生的错误属于“理解”（占总面试人数的55.6%）和“转化”（占总面试人数的44.4%）的错误。但归根结底还是源于对问题的“理解”，由于没有真正“理解”中位数的概念以及求哪些数的中位数，所以，“转化”也就错了。
四、研究的结果与启示
1.教师与学生的解题方法与错误原因有差异，这与他们的知识储备与熟练程度有关，如教师更多地愿意用代数方法解题，而小学生则习惯于用算术方法解题。但师生都会从自己最熟悉的知识与经验（如小学师生从条形统计图，中学老师从直方图）出发去理解问题，而这有时会影响对问题的正确理解。
2.学生解题过程中，会不断地从“运算”过程中反思并纠正自己在“转化”中的错误，有时甚至有很多次循环，但学生（包括教师）很少会反思自己在“理解”上的错误。为此，我们在引导学生反思时，应强调从“理解”开始，除了关注学生对“语词表征”问题的理解，还应重视提高学生对“符号表征”和“视觉表征”问题的理解能力，以及“语词表征”“符号表征”“视觉表征”之间的相互“转化”。
3.对数学题的“理解”错误是解题错误的重要原因之一，且“理解”是解题的基础，而掌握相关“概念”（如由中位数概念的模糊导致解题错误）则是“理解”问题的前提，由此可见，概念教学仍应作为我们教学中的重点。
同时，从学生很少发生“运算”与“呈现答案”的错误中可知，这些学生的运算技能掌握得比较好，从中也可以推测教师在日常教学中比较重视运算技能与解题的规范性教学。
五、值得进一步研究的问题
1.生活经验会影响师生对问题的“理解”，教师坚定对数据客观性的信念，坚持让“数据说话”，能否有助于理解数学与生活经验的联系和区别，提高数学素养？
2.面试有助于发现学生的错误原因，如果教师能经常“听”学生讲解题过程，并反思自己的解题方法与错误原因，是否有助于减少学生的解题错误？而纽曼的错误分析法能否让我们的反思与纠错更具有针对性，更加有效？
上述思考由于本次研究的样本限制，只作问题提出，不作研究结论。