基于PCK结构框架的数学课例分析程序与特征，本文主要内容关键词为：框架论文,特征论文,结构论文,数学论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
根据笔者近年来的观课与调研经验，数学教学主要存在两个问题.一是目标与内容不分，忽视培养学生的数学能力.很多教师被教材、教辅所左右，备课时主要考虑内容安排与设计学习活动，[1]很少考虑以这些内容为载体实现什么目标.二是忽视学段衔接，疏于知识的结构化与系统化. 由于习惯、眼光等原因，在教师观课、评课时很少涉及上述问题.[2]习惯性问题不好解决.理论引领更新观念、同伴互助听评课、自我反思，是一些解决思路，但也存在一些问题.听来的理论可能做不出来，同伴互助可能囿于同水平反复，自我反思不好操作，可能找不到问题实质.PCK（pedagogical content knowledge）是学科教学知识或教学内容知识的简称，PCK结构框架操作性强，能较好地解决这些问题.[3]笔者通过观察教师在课堂上如何教学，如何解决教学问题，构造了一个PCK结构框架，[4]包括教学目标、内容组织、学生理解、效果评估、教学策略五种相互联系的成分.把它作为评课、观课、备课、反思的定向思维框架，能帮助教师发现与提出课堂教学问题，激活教师的相关经验，支持教师分析、渐进解决这些问题.基于PCK结构框架的数学课例分析与研究活动，能够提高教学的有效性，改变教师的教学信念. 一、基于PCK结构框架的课例分析程序 使用PCK结构框架分析数学课例的程序与观评课有所不同.主要差异为：一是以PCK结构框架为分析框架，二是要写出课堂实录或节录，三是分析效果及时验证.具体程序如下. （一）课题的选择 课题要选择教师感兴趣的.可选择以下课型：教师感到难上的课，像高中必修二“平面”一课；新近进入到教材的课题，像“几何概型”“正态分布”等课；教师感到不好把握的衔接类课，像高中“函数的概念”，初中“一元一次方程解法”等；主要内容的起始课，像初中“合并同类项”.以下将以“平面”为例说明分析程序.“平面”一课中的三个公理是讨论立体几何位置关系的开端，体现了公理化方法的特征，如怎样选择一组公理作为位置关系及其判定的演绎起点.“平面”一课中几何知识的局部组织经验，不仅有利于学生长久记忆该课内容，还能为后续数学知识的系统化奠定一个指导框架. （二）分析前的准备 观课教师先概要备课，对自己怎么上这节课有个大概思路.再查找一些这节课的典型教学设计，对这节课一般怎么上有所了解.“平面”一课中三个公理的常规教法就是教师在例子协助下给出公理. （三）观课 课堂观察并录像，或观看早已录好的录像带.然后把录像转录成文字，也可以是主要教学环节节录.课堂实录可以方便快速多次分析.而录像带的定位、回放效率不高，包含太多干扰信息.不经过课堂观察或观看录像带，只看课堂实录缺少现场体验，效果不好. （四）运用PCK结构框架进行课例分析 内容组织主要分析内容的来龙去脉、不同水平或层次、组织框架、教学定位及关键环节.学生理解主要分析新知与相关旧知、学生自发方法、学生误解、难点及学生学习能力限度之间的关系.教学目标主要分析该课最有价值的知识与能力是什么，学生能够带得走的是什么.效果评估主要分析训练与评价的有效性.教学策略主要分析教学任务与教学目标的一致性及教学策略的有效性.以下具体说明如何分析. “平面”第一次上课描述.第一次课主要分为五个环节.首先是引入环节.教师出示问题1：平面几何研究什么？两个学生答非所问，教师只好自答.接着提问：立体几何研究什么？学生仿照回答.第二环节教师系统讲授平面概念.教师指出平面像直线一样，是从生活中抽象出来的不加定义的概念，介绍了平面的特征、表示，仔细示范了平面的画法.第三环节讲授公理一.教师首先介绍公理化方法，指出公理化方法是从一些原始概念和一些不加证明的原始命题（公理）出发，运用逻辑推理，推导出其他命题和定理的方法.接着教师引导学生举例探讨“直线l与平面α至少有几个公共点，直线l就在平面α内”.把得出的结论称为公理一.随后教师刻意强调公理一的图形表示、符号表示，强调公理一用来判断直线是否在平面内.第四环节是讲授公理二与公理三.教师举例让学生认识到不在同一直线上的三点确定一个平面，把这个结论记为公理二，然后指出两个注意要点，特别强调公理二是来确定平面的.教师接着举例让学生认识到公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，强调了公理三的图形表示、符号表示及三个作用.接着学生练习几个图形的符号表示.第五环节是小结与作业，教师强调公理化方法与抽象思维. 下面用PCK结构框架分析上述课例. 1.内容组织.“平面”这节课是学生第一次学习公理与公理化方法.公理化方法的关键是如何从知识间的逻辑关系中选取不加定义的基本概念和公理作为逻辑起点，然后应用逻辑规则，定义其他概念，演绎其他命题.这节课的三个公理，来自直线平面间的位置关系及其判定，之后用它们来推导平面直线间其他位置关系的判定定理.公理化方法还会应用到数学的各个分支及理论物理等学科中.这节课的内容应该分为三个层次：（1）空间中的平面、直线有哪些位置关系；（2）这些位置关系的逻辑关系是怎样的；（3）对这些位置关系及其判定系统化，应该如何选择逻辑起点.这节课的教学应定位在以下两点：（1）三个公理的内容、注意要点、表示与作用；（2）了解公理化方法如何组织内容知识.关键环节应该是为什么要把这三个命题作为公理.上述教学过程主要定位在（1），没有体现三个公理的来龙去脉及公理化方法的应用过程. 2.学生理解.学生理解位置关系的知识基础是平面图形中点、直线间的位置关系，经验基础是长方体中直线平面间的位置关系.学生选择逻辑起点推导其他命题的经验基础是初中构思几何证明的经验.学生第一次碰到公理，不会自发想到公理化方法的必要性，不会想到这三个公理的主要作用是作为直线平面间位置关系及其判定的逻辑起点.学生能够理解直线平面间位置关系的逻辑关系，有能力了解用公理化方法组织这些位置关系及其判定的过程. 3.教学目标.公理化方法的教育价值在于发展学生推理能力.学生借助这种推理能力才能长久地记住所学内容.教学目标应该是在了解空间点、线、面的位置关系，以及这些位置关系的逻辑关系基础上，理解三个公理的作用，了解公理化方法，掌握这三个公理.上述课例基本没有实现主要目标.教师举例引出一个公理，学生当时知道了这三个公理，没有把它们与直线平面间的位置关系联系起来形成知识结构，过一段时间就忘了.课堂没有展示用公理化方法组织线面间位置关系的过程，学生不知道为什么选择这三个命题作为公理，不能准确理解这三个公理的作用（事实上执教教师也不理解）及公理化方法的价值. 4.效果评估.该课只有一组符号表示的题目.这组题能够夯实学生的应试基础知识，但偏离该课的应有主要教学目标. 5.教学策略.（1）教学任务偏离主要教学目标.该课是位置关系的起始课，主要教学任务应该能够交代清楚该章内容的来龙去脉，帮助学生整体感知该课内容.上述课例仅有细节性任务，如环节三举例探讨“直线l与平面α至少有几个公共点，直线l就在平面α内”，缺乏能够整合这些细节的整体框架性任务.（2）有些教学活动有效性有问题.如引入环节的问题“平面几何研究什么”和环节三“什么是公理化方法”.这些问题超越了学生的理解能力，学生没法通过听定义来学会，只能通过例子慢慢体会.（3）改进建议：立体图形中的线面间位置关系，需要有一概览介绍，该概览同时能沟通平面几何的位置关系.要让学生体会到组织这些位置关系逻辑体系的必要性，让学生在观察公理化方法的运用过程中体验公理化方法. （五）分析结果可行性检验 根据（四）中的分析结果，重新备课上课评课，检验分析结果，尤其是教学改进建议的可行性，积累课例分析与研究体验. 以下是“平面”第二次上课描述. 第二次课也分为五个环节.第一是导入环节.教师要求学生类比平面图形中点、直线间的位置关系，参照长方体模型，猜测空间中直线、平面间的位置关系.学生顺利得出这些位置关系：线在面上、线不在面上；面面重合、相交、平行.第二是讲授公理一.教师要求学生回顾初中证明“等边对等角”的过程，思考如何构建上述位置关系判定的逻辑体系.学生意识到需要确定逻辑起点，然后由作为逻辑起点的命题，推导出其他位置关系及其判定.教师指出，这种方法就是公理化方法，作为逻辑起点的命题，一般是大家公认的、不证自明的，这样的命题称为公理.接着教师启发学生由“两点确定一条直线”，来举例探讨“直线l与平面α至少有几个公共点，直线l就在平面α内”.把得出的结论称为公理一.教师随后演示公理一的文字表示、图形表示、符号表示，并用“工人判断黑板是否平整的方法”为例展示公理一的实际应用.第三是讲授公理二.教师引导学生认识到“判断两平面重合”可以转化为“如何确定一个平面”，并类比“两点确定一条直线”，猜想确定平面的方法.再以“门”为例，让学生理解“不在同一直线上的三点”这一条件.教师把所得结论称为公理二，并以三脚架为例说明公理二的实际应用.接着教师引导学生判断一些命题的对错，这些命题是公理二的一些等价和不等价命题.第四是讲授公理三.教师引导学生类比“两直线相交有一公共点”，猜测两平面相交的特征，把所得结论称为公理三.学生举例说明公理三，教师示范公理三的图形表示、符号表示，并指出公理三也可用于判断三点共线.第五是小结与作业.教师总结这节课的主要内容及其关系，强调这节课的学习过程与学习方法，指出立体几何的研究问题大多是通过类比平面几何提出的，类比推广是一种有效的研究方法. 用PCK框架分析第二次课. 1.内容组织.从空间直线平面间的位置关系出发，选择三个基本命题作为公理，构建位置关系及其判定的逻辑体系.内容组织的条理清楚，逻辑连贯，符合数学的认识论，便于学生理解这些位置关系体系，形成认知结构.教学定位、关键环节把握准确. 2.学生理解.从平面几何点、直线间的位置关系和长方体模型着手引入课题，理解起点准确.用“等边对等角”的证明过程启示思路，学生易于想到需要组织位置关系的逻辑体系，体会这三个公理的作用及公理化方法的必要性. 3.教学目标.学生知道了空间直线平面间位置关系及其逻辑体系，基本掌握了三个公理的内容，观察了公理化方法的应用过程，体会了立体几何发现问题的方法，初步了解了公理化方法. 4.效果评估.学生主要练习了利用公理二证明有关命题.这些题目基本反映了这节课的主要方法——选择逻辑起点组织证明链条. 5.教学策略.教学任务与目标一致.整体采用类比的教学途径，基本符合数学的思维方式与学生的思维特点. （六）研究拓展 教师把这次课例分析与研究中的经验应用到相关课题中去.在应用过程中，教师会逐步改变对教学的认识，重塑备课过程、教学过程，形成理论与经验相结合的教学眼光. 在（四）（五）两个环节，教师最初需要专家示范、指导，如提供范例、有关知识库、指点方向、诊断分析.教师有了一定体验后，专家的指导逐渐退出，教师尝试在分析策略支撑下逐渐掌握分析程序. 二、基于PCK结构框架的课例分析特征 （一）学生的学习是分析焦点 首先，关注分析教学目标的合理性，尤其是长期目标（如能力目标、情感态度目标）的分解落实.它倡导综合内容分析、学生分析、教育信念等因素考虑教学目标，以系列范例、知识库、分析策略支持教师分析长期目标.这与传统教学侧重知识、传统评课关注教师教学能力不同.其次，关注分析教学任务与教学目标的一致性与有效性.它强调教学任务必须指向教学目标，强调教学任务的效果、效率和吸引力.再次，关注分析练习、评价与教学目标的一致性与有效性.例题、练习是帮助学生掌握数学知识形成数学能力的主渠道之一.练习效度是影响练习功能的主要因素.[5]它强调练习必须指向目标，梯度要合理，讲解要易懂，指导要到位，反馈要及时，矫正要充分.它开发一系列编题策略支持教师提高练习分析能力.最后，关注分析教学策略的有效性.它强调教学策略要提供整体视野，能有效激活旧知，帮助学生比较整合相关知识，形成前后一致、逻辑连贯的认知结构.它强调教学策略能设计从简单到复杂的问题链条，帮助学生理解问题结构、分解问题.它开发一系列范例与相关知识库支持教师提高教学策略分析能力. （二）渐进解决课堂教学问题 首先，它的目的是解决教学问题.教师具有内在动机与自我定向.[6]教师本来就察觉到教学存在问题，在PCK结构框架与一些范例、相关知识库、分析策略的启发下，教师又会发现一些平时不曾留意的问题.在重新备课再次上课环节，又会发现一些意料之外的生成问题.教师持续从中选择、分析、解决（或部分解决）问题.这与传统听评课侧重展示教学能力、新教法的目的不同. 其次，教师在理论指导下，重新解释经验来解决问题.教学问题的解决需要多个概念、原理与大量经验的共同作用.[7]课例的情境、指导范例、PCK结构框架、相关知识库、分析策略能够指引教师提取相似课例，激活默会经验，重新解释相关经验来尝试解决问题.这与传统听评课仅靠经验的同水平反复不同，也与脱离经验的理论引领不同. 再次，它评估教学策略的有效性，提高策略的灵活性.改进后的教学设计与早先设计目的不同、观点不同、策略不同.教师通过教学确认其有用性，增加对问题的多方面理解，体会策略在不同课例中的细微变化，增强策略的灵活性.这与传统评课的教学改进建议无实施、无体验、无反思、无优化不同. 最后，它培养问题意识，提倡扩展应用.PCK结构框架提供了不同视角，教师易于发现不曾留意的问题.某次课例分析的成功会激励教师尝试改进同类课，二次上课中发现的问题会激励教师在后续的教学中解决，形成解决问题的扩展循环. （三）操作性强的参与式教师教育方式 1.教师参与动机强，体验多.首先，面对困扰的教学问题，教师参与动机强.学生学习过程优化、效果好，又进一步强化教师的参与动机.其次，教师自主发现与提出问题，创造性分析、解决问题，及时体验深刻，案例推理与教学设计经验积累多.教师的体验逐步积累，会转变教学观念，改进教学方法.这是一种实践先行的教师教育模式，教师的学习处于探究学习、问题学习、项目学习的连续体上，与传统接受式教师教育不同. 2.学习过程操作性强.第一，专家示范分析过程，每一步推理决策及证据都清楚说明，教师可模仿学习.第二，教师套用分析程序，入手易.第三，PCK结构框架定向教师的思维，思路清晰，聚焦性强.第四，指导范例为教师提供新视野，帮助教师跳出惯性思维，发展新图式.第五，专家指导教师分析课例，引导教师关注某些方面，指出教师忽略的问题，建议教师用其他观点思考，提供指导课例与知识库启发教师，反馈矫正教师的分析，与教师讨论他们的假设，建议一些分析策略与教学策略.第六，通过分析策略等支架调控教师的思路.这与参与式教师教育重体验，缺乏操作性不同，填补了专业引领与教学实践间的鸿沟. 3.学习效率高.首先，问题处于教师最近发展区.问题由教师确定，教师自认为有把握解决.问题若超越教师的能力范围，分析策略会提示教师调整问题，确保问题处于最近发展区.其次，提供认知工具支持学习过程.如PCK结构框架引导教师运用多种观点思考教学、质疑教学习惯、设计有效教学策略，分析程序保障分析过程系统全面，分析策略定向、调控教师思路，指导范例提供新图式，知识库提供扩展知识.最后，提供及时反馈，帮助教师矫正分析. 4.注重培养教师的批判性思维能力与创新能力.PCK框架指引教师跳出思维定式，从五个视点来思考一个视点难于把握的教学，发现不曾注意的问题，质疑自己无批判拥有的教学观念.指导范例提供新视野，指导教师创新教学，帮助教师在能力边缘工作. 【编辑手记】教师对于听评课这类教研活动比较感兴趣，但是，正如本文所说，教师在观课、评课时往往只考虑内容安排与学习活动的设计，很少考虑教学内容的教育价值和整体的知识结构.而且同伴互助囿于同水平反复，可能找不到问题实质.因此，对于课例的研究不能简单重复以往的老办法，而应该适当引入科学的研究方法.本文以PCK框架进行课例分析是值得借鉴的一种研究方法.标签：数学论文; 教学策略论文; 命题逻辑论文; 逻辑分析法论文; 逻辑结构论文; 教学过程论文; 组织策略论文; 公理系统论文; 关系逻辑论文; 逻辑能力论文; 逻辑框架论文;