云南省红河州弥勒市一中 652300
摘 要：在近年的高考试题中，导数的应用一直是常考、常热、常难的内容。特别在这类函数问题的解决中，经常会遇到诸如指数函数、对数函数等比较复杂的函数与较为简单的函数（如一次函数、二次函数等）的和或商等，在某个不等式恒成立的情况下，求参数范围的问题。对这类问题的解决，也有不同的方法和技巧，在解决的过程中好的方法和技巧会使解题变得简单易行。本文就探讨函数问题中分离参数求参数范围的策略。
关键词：函数问题 参数范围 策略
对于函数问题中求参数范围问题的解决，大体有以下三种方法：分离常数法或分离参数法、分离函数法、利用函数的单调性、极值及其最值的方法。下边仅对分离常数（参数）法进行说明。
一、在给定区间上，含参数的不等式恒成立或有解的条件依据
例1：（2010年，福建师大附中20）已知函数f(x)=xlnx。（1）求函数f(x)的最小值。（2）若对所有的x≥1都有f(x)≥ax-1，求实数a的取值范围。
解：该题的解决采用的是直接分离常数（1）略。
（2）依题意，得f(x)≥ax-1在x∈[1,+∞）上恒成立。即a≤lnx+ 对于x∈[1,+∞）恒成立，令g(x)=lnx+ ,则g′(x) = - = (1- )。
当x≥1时，因为g′(x) = (1- )≥0，所以g(x)在x∈[1,+∞）内是增函数。
所以g(x)min=g（1）=1，所以a∈(-∞，1]。
例2：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，满足f(0)=f(1)=0，且f(x)的最小值是- 。（1）求f(x)的解析式。（2）对任意正数x，恒有f(x)+f( )≥(x+ )lnm，求实数m的取值范围。
解：本例的第二问是对含参数的式子lnm进行分离。
（1）略， f(x)=x2+x。
（2）由（1）知，f(x)+f( )=x2-x+ - =(x+ )2-2-(x+ )，
不等式f(x)+f( )≥(x+ )lnm①，可化为(x+ )2-2-(x+ )≥(x+ )lnm。
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因为x>0所以x+ ≥2（当且仅当x=1时取“=”），设x+ =t(t≥2)，不等式①可化为t2-2-t≥t·lnm,lnm≤t- -1②对于t≥2恒成立。
因为t- -1在t∈[2,+∞）内是增函数，所以t- -1的最小值为2- -1=0。
所以lnm≤0所以0＜m≤1。
对于分离参数这种解题方法，如果a>f(x)，或a<f(x)，在f(x)没有最小值和最大值的情况下，解题就变得更难。
二、利用分离参数方法的优势和劣势
例3：（2006全国1，21）已知函数f(x)=e-ax，（1）设a>0，讨论y=f(x)的单调性；（2）若对任意的x∈(0,1)，恒有f(x)>1，求a的范围。
解：本题可以采用两种方法：导数应用法和分离常数法。
法1：f(x)的定义域(-∞，1)∪（1，+∞）。对f`(x)求导得f′(x)= e-ax。
①当a=2时，f′(x)= e-2x，f′(x)在(-∞,0),(0,1)和（1，+∞）上均大于0，所以f(x)在(-∞，1),（1，+∞）上为增函数。
②当0<a<2时，f′(x)>0，f(x)在(-∞，1),（1，+∞）上为增函数。
③当a>2时，0<<1，可得f(x)在(-∞,- ),( ,1),(1,+∞)上为增函数，f(x)在(- , )上为减函数。
法2：因为对任意的x∈(0,1)，恒有f(x)>1，即e-ax>1，且>0，
所以e-ax>,lne-ax>ln，所以a< = ，令h(x)= ，h′(x)=,
令g(x)＝－ln,g′(x)= >0，则g(x)在x∈(0,1)上是增函数，则g(x)>g(0)=0，h′(x)>0，所以h(x)在x∈(0,1) 上是增函数limh(x)=2，所以，当且仅当a∈(-∞,2]时，任意的x∈(0,1)恒有f(x)>1。
分离参数方法的应用避免了对函数的单调性的讨论及其分类讨论，但是对学生的计算能力、求函数导数能力要求极高，并且还需要老师对极限的内容有所补充。
三、对以上方法的应用和巩固
例4：已知函数f(x)＝ lnx，若对于任意的x∈(0,1)。恒有f(x)＜-2，求实数a的取值范围。
解：当a=0时，该函数无意义。
当a＜0时，x∈(0,1),1+x＞0，则1-x>0，lnx<0，f(x)>0，此时f(x)＜-2与之矛盾。当a>0时，由f(x)= lnx<-2，得-2a>lnx（分离出常数a）。
令g(x)=lnx，则g′(x)= ，令h(x)=2lnx+，则h′(x)=- <0，∴h(x)在x∈(0,1)内是减函数，∴h(x)>h(1)=0，∴g′(x)>0，则g(x)在x∈(0,1)内单调递增，g(x)>g(1)，又∵limg(x)=lim＝-2，∴-2a≥-2, ∴a≤1,∴0<a≤1。
参考文献
[1]吴成强《例谈一种分离函数技巧的应用》上旬.中学数学教学参考，2013，（9），25-27。
[2]首都师范大学出版社《三年高考两年模拟》.2011版。
论文作者:豆婷
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第333期
论文发表时间:2018/9/17
标签：函数论文; 参数论文; 方法论文; 常数论文; 不等式论文; 导数论文; 调性论文; 《中小学教育》2018年第333期论文;