关于人教版教材中“因数与倍数”教学的困惑与思考，本文主要内容关键词为：因数论文,倍数论文,人教版论文,困惑论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
人教版数学教材中“因数与倍数”单元主要涉及“倍数与因数”“2、5、3的倍数的特征”“质数和合数”三个小节的教学内容。这一单元是传统内容，似乎应该是教师驾轻就熟的，然而由于实验教材的变化较大，教师在教学时出现了很多困惑。本文拟从解读教材入手，提出若干教学实施建议，以供广大教师参考。
一、教材变化引发的教学困惑
这一单元的教学，无论是编排思路、呈现方式、例题练习，还是目标要求，较之于原教材均有较大改变。由此引发的教学困惑是：
①课时减少，是否会影响学生知识的掌握、技能的形成、能力的发展？
②不出现“整除”“互质数”概念，是否会出现教学尴尬？
③技能要求降低，会对后续学习产生影响吗？
④“最大公因数、最小公倍数”教学后移，导致知识难以衔接怎么办？
二、思考与建议
面对这些困惑，会有两种极端的做法。一种认为教材是专家编写的，完全照搬教材思路即可；另一种则认为，不管教材怎么变，按老教材老教法教就不会出现偏差。笔者以为，用“接纳、布白、完善、拓展”的思路，不失为“因数与倍数”单元教材处理的好策略。
1.接纳——尊重教材，回归本质
尊重教材、接纳教材是我们教材研读的基本理念。深入研读教材，理清编排意图，才能将教材提供的教学思路转化为自己的教学策略。
(1)尊重教材，不随意增加概念
以因数与倍数的教学为例，因为学生已经积累了丰富的区分整除和有余数除法的经验，对整除的含义能够清晰地理解，不出现“整除”的定义并不会影响对其他概念的理解。
［案例］“因数与倍数”教学片段
①拼组长方形，引出乘法算式。
a。布置活动要求。
师：请同学们拿出信封，里面有12个小正方形，请你们用这12个小正方形摆成不同的长方形，再用乘法算式表示你摆的图形。
b.学生摆长方形，写乘法算式。
c.汇报。
算式是：12×1=12或1×12=12。
②结合算式，引出因数和倍数的概念。
师：同学们用12个正方形摆出了三个长方形。先看第一个，用12个小正方形可以摆2行，每行6个，算式是2×6＝12，6×2＝12。我们就可以说2和6是12的因数；12是2的倍数，也是6的倍数。（板书：2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数）今天这节课我们就学习“因数和倍数”。（出示课题）
师：第二个长方形，摆了3行，每行4个。同学们，你们能像这样来说说吗？
生：3和4是12的因数，12是3的倍数，也是4的倍数。
师：继续观察第三种情况，全班一起说一说。
师：现在知道12的因数有哪些呢？
生：2、6、3、4、1、12。（师板书）
③呈现变式，加深理解。
用刚才的话说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
出示：5×6=30;72÷9=8;0.5×4=2;a×b=c（a、b、c均为不等于0的整数）。
［分析］
这一案例中，倍数与因数的概念是在自然数（一般不包括0）的乘法算式上教学的。通过三道乘法算式，学生明白了倍数关系和因数关系。
尤其值得我们学习的是，此案例中，教师通过一组变式题的辨析，加深了因数与倍数意义的理解。通过“72÷9=8”，让学生在除法算式中理解被除数是除数和商的倍数，除数和商都是被除数的因数；通过“0.5×4=2”让学生明白乘法算式中的三个数都必须是整数：通过“a×b=c”，进行抽象概括，使概念的建立从特殊走向一般，从具体走向抽象。这样，通过这一组算式的辨析，大大扩大了倍数与因数概念的背景，学生对倍数关系和因数关系的认识得到进一步深入，弥补了不出现“整除”概念带来的弊端。
(2)尊重教材，不随意拔高要求
降低技能要求，不出现用短除法“分解质因数”、用短除法求最大公因数、最小公倍数等教学思路，笔者以为都是正确的，意在重质因数、公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数等概念意义的本质理解。以往的教学，很多学生虽能熟练地用短除法求得结果，对于什么是最大公因数，为什么这样除，不知其然，更不知其所以然。至于用枚举方法费时费力，其原因是由于教师往往按照教学惯性，超越教材难度，出一些数据较大的分数加减法，致使学生陷入困境。事实上，如果遵照教材要求，只需掌握较简单的分数加减法即可，因此，并不存在影响后续学习的问题。
当然，如果基于意义理解，着眼于质数合数的意义，掌握分解质因数的方法，也是一种较好的思路。在质数合数的意义教学之后，引导学生将30写成几个质数相乘的形式，对于质数意义的理解是十分有利的，此时，适时提炼为“分解质因数”。这样的教学处理依然是倡导的，而不是让学生机械地操练短除法。
2.布白——提供空间，探索互动
毋庸置疑，实验教材较之于老教材，例题和练习的思考性大大增加。
［案例］质数合数的教学，要求找出100以内的质数，做一个质数表。这样具有探索性、开放性的任务，为学生巩固知识，促进交流提供了很好的素材。需要我们在教学时给予学生充分的思考、交流时间。
下面是学生独立解决问题之后的反馈交流：
师：说说你们是怎样找的？
生：我是按照质数的概念一个一个地进行判断，是质数的用一种符号，是合数的用另一种符号。（展示学生作业：质数用○标示，合数用△）
生：我是将质数留下，其余都划去。（展示作业）
师：你是把质数留下，其余的数都划去。你是怎么划的呢？
生：我先把所有的偶数划去。
学生话没说完，其余纷纷举手：不对，2不能划去。
生纠正：我刚才说错了，应该把2留下，因为2是质数，其余的偶数都划去；接着把3留下，因为3是质数，其他3的倍数都划去；把5留下，其他5的倍数都划去；把7留下，其他7的倍数都划去……
生：把11留下，其他11的倍数都划去。
生：22、33、44、55、66、77、88、99前面都已经划去了。
生：不用了！
（师根据学生回答点击课件）
师：现在我们已经完成了100以内的质数表，你们有什么发现吗？
生：我发现，除了2和3，其余的质数都在第一列和三列、第七列和第九列。
生：我发现1到20有8个质数，可80到100只有3个质数，以后的质数会不会越来越少？
师：是不是有这样的规律呢，同学们下课后可以继续研究。
［分析］在质数表的制作中，布置了较为整合的任务，学生由低层次的根据概念逐个判断，到利用“2、3、5整除数的特征”巧妙划去合数，方法层次逐级提高。制作完质数表之后，又引导学生观察质数表的规律，从而培养学生观察、推理的能力。由此可以发现，整体的任务、有效的思考与交流，既着力于巩固知识（质数、合数概念的本质），又培养了学生综合运用知识的能力。
3.完善——调整补充，弥补不足
当然，教材编写时往往只是对学生做共性化的考虑，教学时，教师完全可以结合所教学生的学习情况进行个性化的处理。或更换例题，或调整顺序，或增加补充，或删减处理，使教学更符合学生的认知规律。
(1)调整顺序
根据几轮的教学实践，教师们经过实验对比，发现将最大公因数、最小公倍数提前教学是十分有利的。原因有三：首先，最大公因数、最小公倍数在分数单元教学难度加大；其次，求因数、倍数的练习中已有所渗透，学生已有了充分感知，可谓水到渠成，是否有必要后置？第三，更有利于学生认知结构的完善。
原因之一前面已有说明，不再赘述。原因之二，在求因数、倍数的练习中（见人教版五年级下册P.15练习二）学生求得36的因数、60的因数之后，只需顺势提问：这两个数公有的因数是几。“公因数”的概念可谓呼之欲出，却要按下不表，“且听下回分解”。公倍数的教学也是如此。更为重要的是，因数与倍数、公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数几组概念之间具有紧密联系。将这些概念分多个阶段教学，显然人为割裂了知识结构，并不利于知识的迁移与建构。
(2)习题完善
部分练习与例题的匹配性不强，练习时机欠妥，根据教学需要，也可进一步完善。如人教版五年级下册P21练习三第6题：
分析学生的解决思路，究竟是运用3的倍数特征解决问题，还是运用余数知识解决问题？显然，由于数据较小，运用口算“22÷3=7……1”，就可以得出“至少来2人才能正好分完”的结论，3的倍数特征在解决此问题时毫无用武之地。因此，我们可以将情境、数据进行更换。只有数据足够大时，利用3的倍数特征解决问题才更具有必要性。
同样是3的倍数特征教学，新课教学之后，“做一做”中出现“既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是多少”一题。这不失为一个综合应用知识的好练习，但是，教学时机的把握显然欠妥。学生探究特征之后，基本技能尚未形成，知识能力并不具备解决此综合性强的问题，建议在练习课中作为综合练习进行。这也引导我们在教材研读与使用时，要关注习题与例题的匹配性，分清习题的层次。
4.拓展——丰富目标，发展思维
在达成基本目标的同时，如何丰富教学目标？如何发展学生的思维？如何对后续学习有一定的渗透？这依然是“因数与倍数”单元需要思考的问题。
以“因数与倍数”教学为例。在掌握倍数概念及求一个数的倍数的方法之后，我们可以设计如下练习。
在下表中，把4的倍数涂上颜色。
从表中可知，9的倍数都是( )的倍数。
完成以上任务之后，引导学生进行学习反思：完成以上两题，你有什么发现？根据你的理解，写一写10的倍数，发现：10的倍数都是( )的倍数。从而引导发现：一个数的倍数都是其因数的倍数，即：a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。
显然，这一教学环节既是求一个数的倍数方法的巩固，又让学生经历观察推理、归纳概括、从特殊到一般的过程，意在培养学生抽象概括的能力。这样，不仅突破了单纯的知识技能目标，而且在发展学生思维方面有所作为。
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