采用多种策略促进学生几何推理论证能力的提高_等腰梯形论文

采取多元策略触发学生几何推理论证能力的提升，本文主要内容关键词为：几何论文,策略论文,能力论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      几何是初中数学的重要组成部分，而许多学生对几何都有一种望而却步的恐惧心理，认为几何是最难学的内容，他们害怕几何证明题，不会几何证明题，不愿意学习几何，这些情景笔者深有体会，相信许多老师也有同感.确实在初中数学教学中，几何对于学生来讲是一个数学学习的转折点，对于教师来讲是一个需要突破的“瓶颈”.大部分学生在接触到推理论证后，数学成绩开始下滑，并逐渐失去学习数学的动力和兴趣；大部分教师对学生在几何学习中的种种表现感到困惑和束手无策.这个问题也常常困扰着我，到底是什么地方出了问题呢？为此，笔者对学生在几何推理论证中出现的困难进行归纳汇总，并针对具体问题进行具体分析，从教师和学生两方面寻找原因并不断改进.经过几年的实践探索，结合自身的经验总结出一些提升学生几何推理论证能力的有效做法，下面主要从三方面来阐述这个问题.

      一、引导归纳比较，为学生几何推理论证能力的提升奠定基础

      新课程不但要求学生掌握数学知识，而且还要明确知识形成的过程以及知识之间的联系，以便顺利将其纳入已有的知识结构中.要让学生学得活，首先教师要教得活，铺开的面要广，经常引导学生归纳比较，可以为几何推理论证能力的提升奠定基础.

      （一）知识体系的梳理

      数学教学中，教师应该经常引导学生对知识体系进行梳理，帮助学生逐步完善几何知识结构，进而提升几何推理论证能力.比如在“梯形”复习中，可开门见山提问学生“怎样的四边形叫梯形？”在学生回答的基础上，开展一系列追问“添加一个什么条件它就变成等腰梯形？”“还有不同的添法吗？”“在什么条件下就变成直角梯形呢？”如果已知四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC你能得出什么性质？”“如果连接对角线AC，BD呢？”“这是梯形中典型的基本图形，还有很多重要的结论，比如OB=OC，你能说明吗？”“如果过点D作AC的平行线，与BC的延长线交于点E，DE与BD相等吗？”结合学生回答，同步板书符号语言表述，最终形成图1所示板书，借助“基础知识问题化”巧妙地完成了知识体系的梳理，又为梯形辅助线“平移对角线”的巩固奠定基础.当然还可以借助图2帮助学生理清概念之间的联系，也可以要求学生在每章小结时独立完成这项工作.

      

      （二）性质判定的比较

      性质判定的比较有助于学生自觉辨析，可以防混淆、防错觉，帮助学生正确地进行推理.比如，在学习平行线的性质与判定时，不能孤立地讲性质或判定，而应引导学生进行比较，归纳异同，使知识系统化.只有理解了两者在因果关系上的区别，才能更好地运用.

      （三）推理方法的归纳

      适时引导学生归纳推理的方法，对打开学生的推理思路是有益的.几何中特殊图形的判定、图形之间数量与位置关系的判定往往很多方法，譬如证明线段相等的方法有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）等腰三角形的两腰相等，三线合一；（3）角平分线性质；（4）垂直平分线性质；（5）平行四边形的对边相等，对角线互相平分；（6）矩形的对角线相等；（7）菱形的四边相等；（8）等腰梯形的两腰相等，对角线相等；（9）正方形的四边相等，对角线相等；（10）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（11）平移、轴对称、旋转变换的性质等.教学中要善于引导学生在学习新知的基础上不断归纳更新，这样学生在遇到判定线段相等的题目时就可以多一个选择，对数学思维的开拓和解题思路的形成很有好处.

      （四）重要结论的比较

      几何推理论证教学中，经常有些重要结论会引发解题思路的形成，而且这些结论的表述，包括证明结论过程中所用到的知识点和方法往往既有联系，又有区别.比如图3所示的五个图形中涉及的全等三角形、面积相等的三角形、等腰三角形、直角三角形以及中点四边形的形状都是有联系和区别的，在学习具体新知时可让学生观察图形，说说能得出哪些结论，也可让学生结合图形提出若干问题并加以解决，教师适时地加以引导比较，相信学生对这些结论和几何图形性质的掌握会更扎实，而且有利于加强发现问题和提出问题能力的培养和学生数学知识结构的进一步完善.

      

      实践证明，经常引导学生进行知识体系的梳理、性质判定的比较、推理方法的归纳和重要结论的比较，有利于培养学生的推理能力，促进推理思路和知识结构的形成.

      二、加强变式训练，为学生几何推理论证能力的提升提供帮助

      通过变式训练，可以培养学生思维的变通性.实践表明，学生的变通快捷、推理熟练往往是特定题组训练的结果.通过题组形式变换题目的条件、结论或图形，甚至条件结论互换，可以从不同方面说明问题的实质，提高几何推理能力，使思维适应多种变化，达到灵活变通.

      （一）条件变式

      在“梯形”复习中，等腰梯形性质的复习可设置以下变式训练：

      例1 如图4，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，若，∠B=60°，则∠A=________，∠C=________，∠D=________.

      

      变题1：如图4，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，若∠B=60°，BC=12，AB=6，求AD的长.

      变题2：如图5，在等腰梯形ABCD中，AD//BC.若对角线AC⊥BD，BC=12，AD=6，求梯形ABCD的面积.

      

      在逐个追问理由的过程中复习等腰梯形“角”方面的性质，接着添加条件BC=12，AB=6，呈现变题1.引导学生通过多种方法添加辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题解决，既复习了梯形常用辅助线“作两高”、“平移一腰”和“延长两腰”的作法，又巩固了等腰梯形“边”方面的性质.接着继续追问梯形周长和面积的求法，然后把腰长为6改成上底为6，再把∠B=60°改为对角线垂直，呈现变题2.

      采用相同的教学方法，引导学生利用“等腰直角三角形的三边关系”求面积，或利用“作两高”、“平移对角线”解决问题，也可将梯形ABCD的面积转化为等腰直角三角形的面积来求，既复习了梯形常用辅助线的作法，又巩固了等腰梯形的性质，尤其是“对角线”方面的性质.

      这样的变式训练不但有效地达到了复习的目的，而且教会了学生解决问题的方法，有助于提高几何推理论证能力.

      （二）结论变式

      在“梯形”复习中，等腰梯形判定的复习可设置以下问题：

      例2 如下页图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°.点O是线段AC上的任意一点（端点除外），过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE//AB交直线l于点E设直线l的旋转角为α.

      

      ①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形；

      ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形.

      借助几何画板动态演示，帮助学生理解问题.通过结论的变化引导学生探求条件的设置，不但可以有效复习等腰梯形和直角梯形的判定方法，而且能够提高学生分析问题、解决问题的能力，使几何推理能力无形中长进不少

      （三）图形变式

      几何推理论证教学中，要善于设置台阶式的变式训练，把看似毫无关联的几个题目“串”在一起，把知识连成片，使学生沿着知识台阶步步深入，逐步形成推理的思路，自觉探究数学的内在规律性.

      例3 如图7，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD中点.

      （1）求证：BE=DE.

      （2）试判断EF与BD的位置关系，并说明理由.

      变题：如图8，在四边形ABDC中，上题中的所有条件都满足，请问EF与BD仍然存在上述的位置关系吗？请说明理由.

      

      以自主学习为主的课堂教学中最突出的是时间紧张，要真正做到“轻负高质”，优化教学设计尤为重要.本例及变题表面上看似没有多大联系，实质上它们图形之间的联系相当密切，这就是解题的关键所在.事实上，本例还可以适当互换条件和结论，改编出新题.课堂教学需要我们设置变题训练，突出方法指导，通过多问、多思、多用等来激发学生思维的积极性和深刻性，这样不但可以节省时间，解决课堂教学时间紧缺的问题，而且可以让学生从“题海”中解脱出来，充分体会数学的内在规律性，同时又能逐步培养学生广泛联想的思维品质，训练发散性思维和应变能力，提高分析问题和解决问题的能力，为学生的持续性发展奠定良好的基础.

      三、渗透转化思想，为学生几何推理论证能力的提升指明方向

      在几何推理论证教学中，需要经常渗透转化思想，使学生养成一种学习习惯——当我遇到新问题时，我要想办法把它转化为我会的问题来解决，当我遇到复杂问题时，我要想办法把它转化为基本问题来解决，只有这样才能慢慢提高学生的几何推理能力.

      几何教学中把不会的问题转化为会的问题来解决的例子有很多，常见的有多边形问题可以转化为三角形问题，梯形问题可以转化为三角形和平行四边形问题，不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积求解等等.比如，在“梯形”复习中，文中例1的变题1引导学生添加图9前三幅图形的辅助线，变题2引导学生添加第四幅图形的辅助线，达到了将问题转化为三角形和平行四边形问题解决的目的，真正实现变陌生为熟悉.

      

      几何教学中把复杂问题转化为基本问题来解决的例子也有很多，常见的基本问题是基本图形，如果学生能在教师引导下逐步归纳并熟练掌握基本图形，那么今后遇到难题他们就能轻松地从复杂图形中分离出基本图形，使复杂问题简单化.文中例1变题2的等腰梯形中蕴含着图10所示的多个基本图形：2对含公共边和1对含对顶角的全等三角形，以及1对含对顶角的相似等腰三角形.学生如能熟练掌握这些基本图形，等腰梯形问题都可迎刃而解.下页图11列举了几何中常见的八个基本图形及名称，典型的基本图形还有很多，需要老师在平时教学中不断引导学生归纳，根据外形、特征、由来等命名，在例习题教学中逐步渗透基本图形思想，注重训练与发展学生的“几何观察力”，积累学习经验.下面再举一个复杂问题简单化的实例.

      

      

      例4 已知：如图12，

中，四个内角平分线分别交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形.

      解决本题的关键是证明直角.教学中要以学生的学习为出发点，多追问几个“为什么”——“为什么会想到这样做”“你是怎么想到的”等，在思维火花碰撞的过程中课堂上会呈现很多精彩的解法.比如，学生对图13所示的基本图形熟悉的话，利用角平分线的定义、平行线的性质和直角三角形的判定就可以马上证出一个直角，再用相同的方法证出第二、三个直角或证明四边形EFGH是平行四边形就可以解决问题；学生对图14所示的两个基本图形熟悉的话，利用“平行线，角平分，形等腰”可以快速找到一个等腰三角形，再利用等腰三角形的性质就可证出一个直角，问题也能解决.

      

      从可持续发展的角度来看，学生仅学会从复杂图形中分离出基本图形还是不够的，“授人以鱼，不如授之以渔”，教师在传授知识的同时，还要引导学生学会在综合性，问题中构造熟悉的基本图形，教会学生数学方法，让其有终身受用的“渔”.下面以“梯形”复习中拓展延伸举例说明.

      

      本题是一道集反比例函数、三角函数、相似三角形、直角梯形、直角三角形等知识于一体的综合题，常规分析思路如图16所示.根据解题经验——直角坐标系中常添的辅助线是过象限内的点作坐标轴垂线，结合本题图形特征不难构造出“总统图形”.这个基本图形学生应该非常熟悉——

      

      由∠AOB=Rt∠可得△ACO∽△ODB，反过来由△ACO∽△ODB可得∠AOB=Rt∠.这样一来，还能联系反比例函数图象的几何意义，之后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出AO与BO的比，从而得出答案.

      转化思想确实是数学学习的一种重要思想，让转化思想扎进每一个学生的心中能使学生在解题过程中站得更高、看得更清晰、想得更绝妙，真正地实现学习的有效转化，提高学生解决问题的能力.

      总之，只要不断地尝试，就会有不断地进步，就有可能创造奇迹！以上三点策略看似普通，但却非常实在，不但可以教会学生学好几何推理论证的方法，提升学生的几何学习力，而且能使学生的推理论证更具逻辑性和条理性，为学生的可持续发展打下牢固的基础.当然，未来的教学之路还很长，笔者将执著而坚定地前行，继续致力于几何教学中学生推理论证能力的培养研究，期待不断实现数学教学质量的新突破.

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