一种典型的三体相互作用模型_木板论文

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三个物体相互作用的典型模型是一类比较复杂的综合性动力学问题。它是一个概念性较强且物理过程较多的重要题型，它涉及静摩擦力与滑动摩擦力、力与运动、动量与能量、摩擦生热等高中物理的重要基础知识，也是近几年高考命题的热点问题，本文尝试用速度一时间图像来分析研究三个物体相互作用的典型模型。

模型一质量为2m的长木板静止地放在光滑的水平面上，如图1(a)所示，质量为m的小铅块（可视为质点）以水平速度滑上木板左端，恰能滑至木板右端与木板相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变。现将木板分成长度和质量均相等的两段(1、2)后紧挨着仍放在此水平面上，让小铅块以相同的初速度由木板1的左端开始滑动，如图1(b)所示，则以下判断中正确的是（）

图1

A.小铅块滑到木板2的右端前就与之保持相对静止

B.小铅块仍滑到木板2的右端与之保持相对静止

C.小铅块滑过木板2的右端后飞离木板

D.上面的三种情况都有可能出现。

解析图1(a)是两物体相互作用的典型模型。小铅块m在滑动摩擦力的作用下做初速度为。的匀减速直线运动，而长木板在滑动摩擦力的作用下做匀加速直线运动，当小铅块恰好滑至木板右端时与木板相对静止，即此时小铅块与长木板具有相同的速度v，由系统动量守恒定律，得，

因此。

图1(b)是三物体相互作用的典型模型。小铅块的运动可分为以下两个过程：

过程① 小铅块m在滑动摩擦力的作用下在木板1上做匀减速直线运动，而木板1在滑动摩擦力和板2的作用力的作用下做匀加速直线运动，并推动木板2一起向右运动。

过程② 当小铅块滑上木板2之后，木板1即向右做匀速运动，而小铅块仍在木板 2上做加速度不变的匀减速直线运动，木板2则在滑动摩擦力的作用下做加速度较大的匀加速直线运动，直到小铅块与木板2相对静止，此时它们的共同速度为v′。

这两种情景下小铅块与木板的速度一时间图像如图2所示。由速度一时间图像易知本题的正确选项为A。

图2

模型二如图3所示。在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（A视质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰，碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C间有摩擦力。已知A滑到C的右端未掉下。

图3

试问：从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？

解析设A、B、C的质量均为m。B、C碰撞前，A与B的共同速度为，碰撞粘在一起瞬时，B与C的共同速度为，研究B、C构成的系统，由动量守恒定律，得，

全过程A、B、C运动的 v-t图，如图4所示。

图4

因此，从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间，C所走过的距离s与C板长度L的比值为

模型三如图5所示，足够长的平板车B静止在光滑水平面上，小铁块A静止在B的左端，在B的左端足够远处有一台阶，台阶的高度比B的上表面略低，当车和它碰撞时，机械能损失可以忽略。现有一个与A相同的小铁块C从右侧飞来，刚好以的水平速度滑上B。已知 A、B、C的质量均为m=10kg，A、C与车的滑动摩擦因数均为μ=0.5（设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，），求：

图5

(1)求C与B第一次达到的共同速度为多大？

(2)C的最终速度为多大？

(3)最终C距车的右端多远？

解析 (1)C滑上B后，设A与B保持相对静止，它们的加速度为a。由牛顿第二定律，得μmg=2ma，

所以 a=0.5μg＜μg，

所以假设成立，设A、B、C的共同速度为，根据系统动量守恒定律，得

(2)当车与台阶碰撞时，A随即滑离小车，碰撞的短暂过程中C的速度几乎不变，而碰撞的过程中又没有机械能损失，所以碰撞后B一定获得向右且大小为的速度，此后B与C的相对滑动过程应用动量守恒定律，设共同速度为。因此C的最终速度为零。全过程A、B、C的速度一时间图像如图6所示。

图6

模型四如图7所示，长为L的平板车C静止在光滑水平面上。现有A、B两个小物块（可视为质点），分别从小车C的两端同时水平地滑上小车，初速度，两物块与小车间的动摩擦因数相同，三个物体的质量之比为=1:1:2。最后两物块恰好相遇而未碰撞，且与小车 C相对静止。若重力加速度为g，求：

图7

(1)两物块与小车间的动摩擦因数μ；

(2)现增大物块B的初速度，保持其他条件不变，要使物块B在物块A的速度还未反向前与A相碰，试确定物块B的初速度满足的条件。

解析 ①本题的运动过程分为以下两个过程：

过程① 滑块A、B在平板车C上滑动时，由于车C受到的A、B给它的滑动摩擦力是一对平衡力，因此车C静止不动。而滑块A、B在滑动时加速度大小相等，由于，所以滑块A的速度先减为零。此过程滑块A的运动时间为。当滑块A的速度减为零时，设滑块B的速度为，研究A、B系统，由动量守恒定律，得（设向左为正），

过程② 滑块B继续以原加速度做匀减速直线运动，而滑块A和车C在摩擦力的作用下做匀加速直线运动，直到它们达到共同的速度v，研究 A、B、C系统，由动量守恒定律，得

全过程的速度一时间图像如图8所示。

图8

(2)要使物块B在物块A的速度还未反向前与A相碰，即当A的速度减为零时，A、B相对小车 C的路程为L。设当A的速度减为零时，B的速度为，则由速度—时间图像易知。由v-t图9中的梯形面积关系，得

图9

模型五如图10所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平面上，它们的间距 s=2.88m。质量为2m、大小可忽略的物块C置于 A板的左端。C与A之间的动摩擦因数为= 0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为= 0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态。现给C施加一个水平向右，大小为的恒力F。假定木板 A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起。要使 C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？