高中数学教师的学科知识与学科教学知识研究——以导数知识为例，本文主要内容关键词为：知识论文,导数论文,为例论文,学科论文,学科教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
教育教学领域的研究表明，与新手教师相比，专家教师的一个明显特征在于拥有大量的本领域的专业知识.教师知识（teacher knowledge）在很大程度上影响着教师的课堂教学决策与行为，进而影响着学生的学习（Ball，Grossman，Hoyle，John，Shulman）.与其他的专业相比，教学的特殊性在于其教育对象是发展中的人，在师生的互动中，教师的根本任务在于促进学生身体与心智的发展.教学活动的性质决定了教师知识的特殊性，表现在教师不仅仅自己首先要掌握特定的学科知识，同时要考虑学生与学习的特点，把自己掌握的知识转化为学生可以理解的解释（pedagogical explanation），促进学生的发展（Ball，Bass，Ma，Shulman）.
尽管Shulman、Bromme等不同研究者所提出的教师知识类型有所不同，但是有两类知识是基本相同的：学科知识、学科教学知识.虽然此二者并非教师知识的全部，但它们无疑是教师知识的核心.以下是对这两类知识的概念界定：
教师的学科知识（Subject Matter Knowledge，简称SMK）：意指教师在教某个特定学科时所具有的个人化理解与看法.一方面包括教师对某一学科本质的看法；另一方面包括对学科中一系列事实、概念、原理及其组织的理解.
学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）：教师将特定的学科内容与教学法的知识融合为这样一种理解：即按照学习者的能力与兴趣特点，将特定的主题或问题进行组织与重新表征，以教师自己独特的方式表达出来的一种知识形式.
研究者关心的是，在当前的新课程改革背景之下，高中数学教师的学科知识与学科教学知识主要受哪些因素的影响？这将对引导教师根据自身的特点去完善、发展教师知识，促进其专业发展起一定作用.可以选择教师对某些数学知识的理解来研究，比如导数.导数是微积分的核心概念，蕴含变化率思想，体现了函数局部线性形态之美，是研究初等函数的一个重要工具.因此确定如下研究问题：（1）高中数学教师的学科知识及学科教学知识的状况如何？（2）影响教师学科知识与学科教学知识的因素主要有哪些？
二、研究过程
主要运用量化研究方法，包括问卷调查、测试.关键是测验的设计与测试，为此参考了相关文献，并进入课堂听课观察，采取访谈等方法为研究方案设计的合理性奠定基础.
关于研究变量的选择，必须考虑如下变量：教师变量（年龄、教龄、学历、职称、是否教过高三、是否教过导数知识、教师实践反思与培训途径等）；学校变量（重点校、普通校、农村校）等.
研究的样本来自温州地区的高中数学教师.2007年11月进行问卷调查与初测，共调查初测了92位教师，做了部分教师的听课与访谈记录.在此基础上，对测试测验进行修订后，2008年3月正式发放问卷调查与测试，这次测试共调查了温州地区6所高中的数学教师65人，收回有效测试卷53份.测试测验共有14道题，其中7道题是测试关于导数的学科知识，另7道题测试关于导数的学科教学知识.测验编制主要参考了国外研究成果（Tufte微积分概念测试、David Tall、Ed Dubinsky实验研究、《微积分》）以及自编的试题.参加测试的部分教师被选择进一步作为子样本听课观察，共有36节课的详细听课笔记（其中两节录像课，十节录音课）及访谈记录.测试取样后，将采集到的数据全部输入计算机，用SPSS 13.0软件进行统计分析.
三、研究结果及分析
正式测试是由研究者及温州市和龙湾区教研员在下基层学校调研时，发放测试卷组织测试的，共调查了两所重点中学、两所普通中学、两所农村学校的教师，剔除有缺失的样本后，收回有效测试卷53份.报告结果如下.
1.总体测试结果
问卷调查与测试分两部分：一是教师的背景材料及与导数知识相关的信息，二是关于导数的教师学科知识与学科教学知识测试题，总分100分，其中关于导数的学科知识与学科教学知识两类知识各占50分.总体测试结果见表1、表2.
2.影响教师关于导数的学科知识与学科教学知识的因素
（1）教师学校类别
测试抽样的教师53人中，重点中学有21位、普通中学有19位、农村中学有13位.将学科知识与学科教学知识分开测试，作单因素方差分析结果如表3所示.
从表3发现：学校类别对学科知识、学科教学知识及总分影响非常显著，概率P值接近于0，显著性水平α为0.05，P＜0.05.为了更清楚地将3类学校教师知识进行比较，计算3类学校教师知识的平均成绩并加以比较（如图1），发现差异明显.
（2）教师年龄
将教师的年龄分成3个维度，2表示年龄在[20，30）之间；3表示年龄在[30，40）之间；4表示年龄在[40，50）之间.作单因素方差分析，结果如表4.
表4中数据显示：教师年龄对学科教学知识影响显著（P=0.03＜0.05），但对学科知识与总分影响不显著.进一步两两比较年龄对学科教学知识的影响，发现年龄在[20，30）及[30，40）之间的教师与年龄在[40，50）的教师之间的差异显著.将不同年龄段教师学科教学知识平均分计算出来加以比较，如图2所示.
图2不同年龄段的教师学科教学知识平均成绩比较从图2可以看出：随着年龄的增长，教师的学科教学知识在实践中不断积累，教学经验也愈加丰富.但是教师的学科知识并非随着年龄增长呈上升趋势，而是在30～40岁之间有所下降，年龄在40～50岁之间的教师学科知识的个体差异显著，专家教师学科知识的测试成绩远远高于非专家教师，这说明专家教师与非专家教师对数学本质理解的深刻程度有明显差异.总体上看，依据心理学中的遗忘规律，随着年龄的增加与导数相关的学科知识的储备逐渐减少.
（3）教师职称
在所测试的教师中有19人具有二级职称，23人是一级职称，还有11位高级职称教师.作教师职称对两类知识及总分的单因素方差分析，结果如表5.
从表5可见：教师职称对学科教学知识影响显著（P=0.02＜0.05），但对学科知识与总分影响不显著.
（4）阅读专业书籍并反思教学的程度
将教师按照阅读专业书籍并反思教学程度的不同分为5个层次，观测两类知识与总分情况，作方差分析（如表6）.
从表6可以发现：阅读与反思教学程度不同对教师的学科教学知识影响显著，P=0.02＜0.05；对总分的影响更显著，P=0.01＜0.05；但对学科知识的影响不显著.这说明教师在实践中的个人努力与反思程度的不同对导数知识的影响显著，勤于阅读与反思的教师通过努力增长的知识以学科教学知识为主.
（5）是否教过高三
以教师是否教过高三为标准，考察不同教师的学科知识与学科教学知识及总分的情况，作独立样本t检验，结果发现是否教过高三对教师的学科知识有显著影响，两总体均值的检验t=-2.35，对应的双尾概率P=0.03＜0.05.但是是否教过高三对教师的学科教学知识影响不显著.一般来说，教过高三的教师对高中数学知识的结构会形成更加丰富的知识网络，这往往会帮助教师发展学科知识.
3.其他结果
在调查与测试中，惊奇地发现一些其他结果.
（1）教师对导数概念与变化率思想的深层理解不足
在初测中发现有两题错误率极高.例如试题一：如图，A为固定的一盏路灯，MN为垂直于x轴的木杆，NP为该木杆在路灯下的黑影，若木杆沿x轴正方向均匀垂直地向前移动，则P点所作的运动是（ ）
A.匀速 B.减速 C.增速 D.先减后增速
例一的测试目的是导数知识应用于实际问题，与函数结合考察变化率的思想，但是错误率竟然高达87.5%.
又如试题二：设
，则f（x）在x=1处的（ ）.
A.左、右导数都存在
B.左导数存在，但右导数不存在
C.左导数不存在，但右导数存在
D.左、右导数都不存在
例二的测试目的是导数的定义，在分段函数的分界点处是否存在导数，以及对左右导数的理解与把握，测试结果有75%的教师答题错误.很多教师选择了A选项，但正确的是B选项.
这说明教师对导数的定义的深层理解仍很欠缺，关于左右导数的概念理解不全面.
（2）是否教过高三对教师的识图辨析和绘图表征能力影响显著
基于初测的结果，考虑到导数概念表征形式的复杂，在正式测试的测验设计中加强了对导数概念的符号特征、图形特征的测试.测验中突出了对导数概念本质认识的测试，考察有关导数知识的识图辨析、绘图表征能力.
对是否教过高三的不同教师测试识图表征能力，作独立样本t检验，结果发现：两总体均值的检验t=-2.76，对应的双尾概率P=0.01＜0.05.这表明教师是否教过高三对导数知识中的识图辨析、绘图表征能力影响显著.这也进一步说明了教过高三的教师对导数概念的不同表征形式的理解更加深刻，高三的教学实践为教师的学科知识的发展提供了有利的条件.
（3）是否学过微积分对教师解决难题能力影响显著
在测试题中有一些较难问题，发现教师解决难题的能力差异显著.得分高的教师理解到位、绘图准确，对数学思想方法运用自如，比如分类讨论、转化化归思想，能构造函数并利用导数得出正确结论.同时发现，在中学数学竞赛中学过微积分的教师解决难题明显有优势.比如，初测试题三：证明方程
在（0，1）内至少有一个实根.
此题教师的得分率很低，76.3%的教师不会做.分析教师在此题解答上的相关因素，惊奇地发现在中学竞赛中学过微积分的教师解答情况明显好于未学过的教师，作独立样本t检验，检验结果为两总体的方差F=12.29，对应的概率P=0.001，P＜0.05，两总体均值的检验t=2.12，对应的双尾概率P=0.04，P＜0.05，因此认为两总体的均值有显著差异.可以说，教师自身在中学学习微积分时的学习经验可成为教师知识的较重要的来源.
四、分析与讨论
1.高中数学教师的导数知识现状
对教师导数知识的调查测试结果总体上来看，教师对导数概念理解有不同层次的差异，区别在于对变化率思想的理解、对左右导数概念的认识；教师对微分知识感到陌生；教师解决难题的能力存在明显差异.通过测验的测试，更清楚地发现教师在学科知识与学科教学知识两类知识上存在不同层次的差异，主要体现在：
（1）学科知识方面
教师对导数概念与导数几何意义的理解；对函数与导函数的图像的认识；符号、表格形式的翻译；对二阶导数、拐点知识的理解；识图辨析、绘图表征能力等方面存在差异.
（2）学科教学知识方面
教师对学生常见错误原因的分析，点评是否正确恰当存在差异，有的教师看不出学生的错误，可见学科教学知识欠缺；教师对“切线概念”、“导数概念”的教学设计差异显著，学科教学知识好的教师教学设计及方法先进，例如，导数学科教学知识测试题五，关于椭圆
上某点处的切线方程，学科教学知识丰富的教师创设情境好，还会恰当运用隐函数等知识.
2.影响教师学科知识与学科教学知识的因素
（1）教师学校类别
不同类别学校教师对导数知识的理解水平差异显著，农村学校教师导数知识明显欠缺，重点学校教师总体水平高于其他类型学校.这与学校对教师的选择与培训有关，还与教师所教学校学生的水平相关很大.一方面，重点学校的教师一般都是经过择优录用的，数学功底较深厚，对导数的本质理解较深刻；另一方面，重点学校的整体学术氛围要好，学校重视对教师的培养，教师可以通过自我努力与同伴互助等途径提高水平.另外重点学校的学生水平较高，在教学实践中往往促使教师发展学科知识与学科教学知识，对导数相关内容的问题思考会更加深刻，知识储备也更为丰富.而农村学校由于教学条件、学生水平等因素的影响，教师的导数知识发展受到限制.
（2）教师年龄和职称
教师的年龄、职称对教师的学科教学知识影响显著，而对学科知识的影响不显著.教师职称的评定一般是具有一定教学经历与时间的教师才能进入高一级职称评定的，如高级教师是教龄10年以上，任一级教师职位5年以上的教师才能有资格晋升的.因此职称对教师知识的影响实际上与教师年龄相关.
依据心理学家艾宾浩斯（H.Ebbinghalls）关于遗忘进程的研究，表明影响遗忘进程的主要因素是时间，当然还有学习者的学习程度等因素.教师的导数知识并非随着年龄增长呈上升趋势，而是在30～40岁之间有所下降.因为经过近10年或10年以上的中学教育教学工作之后，教师在大学所学的微积分知识逐渐淡忘，平时积累的导数知识也是限于高中教材范围之内，解决的问题是与高考题相近的问题，很少关注现代数学的发展.但是教师的教学知识又是随着年龄的增长而逐渐丰富，教师在教学实践中善于开发课程知识、积累关于教学方法的知识经验，有助于发展教师的教学知识.少数年龄较大的专家型教师的导数知识比较丰富，究其原因，有多方面的因素，专家教师本身的数学功底好，学科知识丰富，虽然随着年龄的增长有的大学知识遗忘了，但由于当时微积分知识学习得很好，这些储存在长时记忆中的信息仍然能在适当的时候被提取激活.有的专家教师是在教学一线从事数学竞赛辅导工作中成长起来的，有的在长期的实践中积累了丰富的经验，而且自身往往勤于思考、善于钻研，对数学问题的本质理解非常深刻.新手教师的学科教学知识不如经验教师，而要从经验教师成长为专家教师仍需要在实践中不断努力.因此教师应该适时充电，与时俱进，关注新课程教育教学理念，加强学习，提高自身知识水平与数学修养.
（3）教师在实践中的努力程度
教师导数知识的发展水平还与个人在实践中的积累反思及努力程度密切相关.在研究中发现，教师在实践中的努力程度可以从以下几个方面观察：①阅读专业书籍；②努力挖掘教材、开发学习新课程知识；③学习教学法知识（如计算机知识等）；④个人教学经验总结与反思；⑤自身解题经验积累；⑥与同行、学生探讨思考问题.
对教师知识的测试结果显示，教师在实践中的努力程度对教师知识影响显著，勤于阅读与反思的教师通过努力增长的知识以学科教学知识为主.另外，教过高三的教师对高中数学知识的结构会形成更加丰富的知识网络，同时高三复习的教学实践为他们提供了解题经验的积累以及更多与同事、学生探讨问题的机会，这都有利于发展教师的学科知识.可见，培养善于学习、勤于总结反思的教师具有重要价值.教师作为专业化的人才，需要在实践中不断学习，积累经验与教训，完善自己的知识结构.
3.对教师知识与教师专业发展的思考
教师专业发展是一个长期、持续的过程.对教师两类知识的影响因素的研究表明，教师应该根据自身特点发挥专长.教师拥有的不仅是学科专业知识，还有性格特征、个人兴趣、态度情感等独特的个人魅力.这些在教学活动中也会影响学生的学习.
在测试之后的课堂观察中发现：
一类被测教师的学科知识丰富，但是语言表达及课堂教学时机的把握还不到位.教师对学科知识的隐性理解对数学解题活动来说可能是足够的，但对于教学来说显然是不够的，能够作出明晰的解释应该是教师的主要工作.因此这类教师的学科教学知识（PCK）还需要进一步提高.“教师对教育教学情境敏锐的观察和判断，对问题分析的清晰与透彻，对学生状态和心态的准确把握，对突发事件的恰当处理等教育机智均来自于实践”；形象互动理论强调教育教学行动中教师与学生之间的互动和彼此影响，教师可以借助各种形式的互动，如与专家、同行和学生就某种教学片段的共同分析、判断和总结，教学观摩等，通过在实践中的亲身体验和不断积累提高实践性知识.
另一类被测教师的学科教学知识丰富，但学科知识存在某些欠缺.教师的教学情境的创设比较吸引学生，但教师引导学生对数学问题的思考还停留在较浅的层次，进一步的拓展思考、对问题的深层剖析仍有待提高.这类教师的表达能力较好，与学生课堂交流好，但对数学问题的分析与数学本质的揭示需要教师丰厚的学科知识支撑.教师要在实践中重视阅读、学习专业知识，高三的教学经历可以帮助教师逐步形成对整个高中数学知识结构的认识，学校浓厚的学术氛围、高水平学生的疑难问题等是促进教师专业发展的外因，教师知识的提高更需要发挥主观能动性，在实践中的教学反思与努力程度起很大作用，自己的学习经验、解题心得、课外阅读等对学科知识的发展贡献较大.
在调查中还发现，课程培训对教师导数知识的发展几乎没有贡献.这反映了课程培训模式的陈旧，缺少针对性与实用性.专家教师与非专家教师的数学观、对导数本质的理解有显著差异.专家教师的学科知识丰富，能在课堂教学中引用数学史，谈古论今，充分调动学生数学思维.在对新、老课程的课堂教学观摩中不难发现，教师在实践中关于课程的知识对教师的教学理念、教学设计有影响，专家教师的学科教学知识的积累比非专家教师更加厚实.由此可见，渊博的学识、丰富的学科知识与学科教学知识支持了专家教师精彩的课堂表现.