中学入学考试数学中双动点压轴题的赏析_数学论文

中考数学双动点型压轴题赏析，本文主要内容关键词为：中考论文,数学论文,双动点型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

对2009年50份中考数学试卷的压轴题统计分析（见下表）发现运动型试题共有30题之多，占60%，其中双动点型试题有13题，竟占运动型压轴题43.3%。可见经几年来各省市命题专家的不懈探索，双动点型试题的命制已趋于完善与稳定，成为压轴题中最为重要的一种题型。分析其命制的方式及所具有的特点和研究此类试题的解题策略，是在中考中取得高分的一项重要课题。

一、纯几何问题中的双动点压轴题

例1 （2009年襄樊市）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形。

图1

(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；

(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变。设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；

(3)在(2)中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由。

简析第(1)问由△MBC是等边三角形得到△AMB≌ADMC即可；第(2)问抓住不变的元素：∠MPQ=60°保持不变、△BMP∽△CPQ永远存在，得，函数关系式为；第(3)问的问题①应充分利用BC∥AD不变，情形1为BP=AM，情形2为CP=DM（每种情形下又有两种情况），得当BP=1，或BP=3，时，以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的平行四边形共有4个；问题②则将第(2)问的一般情况特殊化，当y取最小值时，x=2，P是BC中点，有MP⊥BC，又∠MPQ=60°，故∠CPQ=30°，得∠PQC=90°。本题中的两动点既无运动方向也无运动速度，设置的目的是为了创设一个动态系统，使问题具有一定的探究性，这是最原始也是最基本的双动点问题，常常需抓住某些重要的基本图形所反映出的不变结论来命制（如本题中满足“△MBC是等边三角形、∠MPQ=600°”条件的基本图形必有△BMP∽△CPQ），但缺乏进一步探究的功能，故此类双动点问题由前几年出现的高频度逐步向近年的低频度发展。此题重点考查等边三角形、平行四边形、等腰梯形、相似三角形以及二次函数最值等知识，解决的策略是“动中取静”，找出运动中不变的元素，建立等量关系。

例2 （2009年吉林省）如图2-1（下页）所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°。从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米／秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米／秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：

(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是＿＿秒；

(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是＿＿秒；

(3)求y与x之间的函数关系式。

图2-1

图2-2

图2-3

图2-4

简析本题中的两动点分别在折线段上以不同速度运动，内角为60°的菱形（实质是等边三角形）这一背景学生较为熟悉，运动过程的分类也较易确定，但在求面积时需能熟练（难在创设条件）运用含60°的直角三角形来加以计算。第(1)问要认识到相遇点只可能在线段BC上（包括点C），可据边长和速度之间的关系不难得到在点C处相遇，时间为6秒，也可建立方程x-6+2x-6=6来解决。第(2)问解决的关键是基于对一个基本图形的认识（如图2-2，四边形ABCD是菱形，AAPQ是等边三角形），恒有CQ=BP，得到2x-12=12-x，x=8。第(3)问，由于运动过程中点P、Q所处位置具有多样性，故要分类加以处理，可归结为点Q所在位置的变化：点Q分别在AB、BC、CD上。根据点Q的速度，得到运动时

“内角为60°的菱形”这一特殊图形展开：(1)、(2)两问研究特殊情形（两动点的相遇点恰好在点C处、“四边形ABCD是菱形、△APQ是等边三角形”这一基本图形），第(3)则回到一般情况下求y与x之间的关系。在探求函数关系时，处理的策略是“找准主动点”（本题可视点Q为主动点，点P为从动点），由此点的位置确定分类标准并进行分类。

例3 （2009年河北省）如图3-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0)。

(1)当t=2时，AP=＿＿，点Q到AC的距离是＿＿；

(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请说明理由；

(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值。

简析本题中两动点分别在两线段上同时以相同速度匀速运动，其特别之处是创设了新颖的情境：点P到达点A后沿反方向返回，使两动点之间的关系更为复杂，运动的过程更难把握，需要通过分类才能明晰各种不同情况。第(1)问，求点Q到AC的距离需借助

第(3)问从“DE始终垂直平分PO”这一条件出发，只需四边形QBED中有一组对边平行即可，为此必须搞清运动的全过程（策略：可通过演示以形成直觉

此题将相似三角形的知识贯穿解题的全过程，涉及二次函数、直角梯形、勾股定理等知识。解决的关键是通晓运动的全过程，针对不同情况分类加以处理。

图3-1

图3-2

图3-3

图3-4

图3-5

图3-6

二、平面直角坐标系中的双动点压轴题

此类试题也可称为运动型的坐标几何压轴题，在运动变化的过程中既考查运算能力又考查推理能力，特别是突出对函数思想的考查。近年来此类试题已被演绎到极致，今年本类试题的题数是前一类的2倍还多。

例4 （2009年重庆綦江县）如图4-1，已知抛物线经过点A(-2,0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD。过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)。问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动。设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长。

图4-1

图4-2

从整体上来看本题对能力要求较低，由浅入深设置了单动点、双动点两个情境，在前一个情境中重点考查平行四边形、直角梯形、等腰梯形判定等知识，策略是：从图形的差异处着手寻找线段之间内在的数量或位置关系；而在后一个情境中要求考生能熟练掌握等边三角形和二次函数最值等知识以及通过割补来表示图形面积的思想，在坐标系中求图形的面积的策略为：通过割补转化为有边落在（或平行于）坐标轴上的三角形面积的和差。

例5 （2009年甘肃省兰州市）如图5-1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，点C在第一象限。动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图5-2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在(1)中当t为何值时，AOPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由。