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摘 要：最值是高中数学内容重要部分之一，下面介绍了八种求最值的方法。它们分别是配方法、利用线性规划、利用基本不等式、利用导数、利用点到直线的距离公式、利用三角公式、利用三角函数的有界性、利用换元法求最值。
关键词：高中 数学 最值
在高中数学课本里面，最值求解是比较常见的题型，也是在高考中经常出现的。最值，通常分为最大值和最小值，是变量取值时的极端值，在高中数学中，与最大值或最小值有关的题目很多，类型复杂，本文例析求解最值问题的几种方法。
第一种：配方法
对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，采用配方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方法求最值。
例：求函数y= 5+4x-x2的最值。
分析：这是二次函数在定义域范围内求最值的问题，可用配方法。
解：∵y= 5+4x-x2= -（x-2）2+9显然，y1=5+4x-x2的最大值是9，故函数y= 5+4x-x2的最大值是3，且y≥0，∴函数y= 5+4x-x2的最大值是3，最小值是0。
第二种：利用简单的线性规划求解最值问题
例：设变量x，y满足约束条件 ，则z=3x-2y的最大值为（ ）。
A.0B.2
C.4D.6
解析：不等式组表示的平面区域如右图所示，当直线z=3x-2y过点B时，在y轴上截距最小，z最大,由B（2,2）知z的最大值为4。
第三种：利用基本不等式求最值
基本不等式是不等式中重要内容，是学习高中数学的桥梁，很多章节的内容都可以与基本不等式联系，利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式适用的条件。
例：已知x>0，y>0，且 + =1，求x+y的最小值。
解：∵x>0，y>0， + =1，∴x+y=（x+y）（ + ）= + x+10≥6+10=16，当且仅当 = x时，上式等号成立，又 + =1，∴x=4，y=12时（x+y）的最小值为16。
第四种：利用导数求函数的最值
求函数的最值，最常用的方法是导数法，通过判断导数的符号来确定原函数的单调性，从而得到所求函数的最值。
例：当x∈[-4，4]时，函数f（x）=x3-3x2-9x+1的最小值和最大值分别为（ ）。
Ａ.-75，-19 Ｂ.-75，6
Ｃ.-26，6 Ｄ.-19，6
分析：求出函数f（x）在区间[-4,4]上的极大值和极小值，分别与端点值f（-4），f（x）进行比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。
解：因为f（x）=x3-3x2-9x+1，所以f`（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1），则当-4≤x<-1或3<x≤4时，f`（x）>0，函数f（x）单调递增；当-1<x<3时，f`（x）<0，函数f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-1）=6，极小值为f（3）=-26，又因为f（-4）=-75，f（4）=-19，所以函数f (x)的最大值为6，最小值为-75。故选B。
第五种：距离中的最值问题
第六种：利用三角公式求距离的最值
三角函数的求值中，通常利用正弦函数或余弦函数的有界性求三角函数的最值，而三角函数中求距离最值是三角函数中常见的问题，是高考的一个重要考点，三角函数中距离的最值问题，通常需要通过三角公式和三角函数的有界性进行求解。
例：若动直线x=a与函数y=sinx和y=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）。
A.1 B. 2 C. 3 D.2
分析：求出点M，N的坐标，得到|MN|的表达式，利用三角公式化简即可。
解：因为动直线x=a与函数y=sinx和y=cosx的图象分别交于M,N两点,则由，得yM=sina,由 ，得yN=cosa，所以|MN|=|yM-yN|=|sina-cosa|= 2|sin(a- )|≤ 2，故选B。
第七种：利用三角函数的有界性，借助不等式求最值
形如y=（a，b，c，d∈R）的三角函数，此类问题可化解为：sinx= 的形式，利用sinx∈[-1,1]解不等式，求y的取值范围。
例：求函数的最值。
解析：∵y=，∴ysinx-2y=2sinx+1，∴sinx= ，又∵-1≤sinx≤1，-1≤ ≤1，∴y∈[-3, ]，∴ymax= ，ymin=-3。
第八种：形如y=acos2x+bsinx+c三角函数的最大值
此类题型利用换元思想，引入参数，利用一元二次函数，根据a的取值，即可求解。
小结：最值问题，不仅是高中数学的典型问题，而且是高考中的热点问题，只有掌握了常见的求最值问题的方法，具备了分析问题、解决问题的能力，才能在高考中立于不败之地。
论文作者:康利昌
论文发表刊物:《素质教育》2017年10月总第251期
论文发表时间:2017/11/30
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