证券组合的临界线决策*，本文主要内容关键词为：组合论文,临界论文,证券论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
在现代证券投资活动中，大多数投资者已不再选择单一证券进行投资，而是投资于多种证券。这样做的目的是为了分散投资风险并取得较理想的投资收益。一般说来，如果投资资本较小，往往选择2～3种证券进行投资。如果投资资本较大，比如机构投资者，那么选择3 种以上的证券（一般是10～15种）进行投资就较为合适。一旦选定了所投证券，接下来应该确定每种证券的权重，使组合的证券投资能在已知风险条件下，获得最大的预期收益，或者在已知预期收益水平下，使投资风险达到最小。为此，Markowitz建立并用Lagrange 乘子法求解了如下的数学模型〔1〕：
┌R[,p]＝x[,1]R[,1]+x[,2]R[,2]+…+x[,n]R[,n] （1）
│σ[2][,p]＝[x[,1]，x[,2]，…，x[,n]]E[x[,1]，x[,2]，…，x[,n]][r] （2）
└x[,1]+x[,2]+…+x[,n]＝1 （3）
其中，R[,p]表示证券组合后的预期收益率，R[,i]表示第i 种证券的预期收益率；σ[2][,p]表示证券组合的方差，σ[,p] 是其标准差，用来度量证券组合的风险；E表示n种证券的协方差矩阵，用来度量各个证券之间的相关程度及其风险；x[,i]是第i种证券在证券组合中的权重。在文献[2]和[3]中，我们针对n＝3的情况，给出了上述模型的一种简便求解法——临界线方法。
3 种证券组合的临界线是x[,1]—x[,2]平面上的一条直线， 它是等预期收益率线与等方差椭圆的正切点轨迹（图1中的直线NY）。
图1 临界线
如果3种证券的预期收益率为R[,1]，R[,2]，R[,3]，它们的协方差矩阵为：
┌σ[,11] σ[,12] σ[,13]┐
E＝│σ[,12] σ[,22] σ[,23]│
└σ[,13] σ[,23] σ[,33]┘
则3种证券组合的临界线方程为：
┌0 1 -1┐
┌1 0 0 ┐
[R[,1]，R[,2]，R[,3]] │-1 0 1│ E│0 1 0 │
└1 -1 0┘
└-1 -1 1 ┘
┌x[,1]┐
│x[,2]│＝0（4）
└1┘
由临界线方程，对于一个给定的预期收益率，联立（1）、（4），可在临界线上找到证券组合的最优权重。对于投资者所能承受的风险，联立（2）、（4），可求出最优权重，使证券组合的预期收益最高。
本文在此基础上讨论多种证券组合的临界线。
2 临界线方程
设n种证券的预期收益率是R[,1]，R[,2]，…R[,n]；这n 种证券的协方差矩阵为：
证券组合的权重为x[,1]，x[,2]，…，x[,n]＝1－x[,1]－x[,2]－…－x[,n-1]。
由Markowitz模型，n种证券组合的预期收益率R[,p]和方差σ[2][,p]可由下式表示：
R[,P]＝x[,1]R[,1]+x[,2]R[,2]+…+x[n-1]R[n-1]+（1－x[,1]－x[,2]－…－x[n-1]）R[,n]
（5）
σ[2][,p]＝x[2][,1]σ[,11]+x[2][,2]σ[,22]+…+x[2][,n-1]σ[,n-1 n-1]+（1－x[,1]－x[,2]－…－x[,n-1]）[2]σ[,nn]+2x[,1]x[,2]σ[,12]+2x[,1]x[,3]σ[,13]+…2x[,1]x[,n-1] σ[,1n-1]+2x[,1]（1－x[,1]－x[,2]－…－x[,n-1]）σ[,1n] +2x[,2]x[,3]σ[,23]+…+2x[,2]x[,n-1]σ[,2n-1]+2x[2]（1－x[,1]－x[,2]－…－x[,n-1]）σ[,2n]+…+2x[,n-1]（1－x[,1]－x[,2] －…－x[,n-1] ）σ[,n-1n]
（6）
因为，协方差矩阵E是正定矩阵，所以在（x[,1]，x[,2]，…，x[,n-1]）空间中，（6）代表等方差超椭球，对于不同的σ[2][,p]，可得到一族同心超椭球，中心记为MVP， 表示在所有可能的证券组合中风险最小的证券组合权数。在（x[,1]，x[,2]，…，x[,n-1] ）空间中，（5）代表等预期收益率超平面。因而，n种证券组合的最优权重应是等预期收益率超平面（5）与等方差超椭球（6）的正切点。把这些正切点连接起来，就得到一条直线，它就是n种证券组合的临界线。
由微分几何理论可知，（5）在点（x[,1]，x[,2]，…，x[,n-1]）处的法向为：
（R[,1]－R[,n]，R[,2]－R[,n]，…R[,n－1]－R[,n]，）（6）在点（x[,1]，x[,2]，…，x[,n-1]）处的法向是：（（σ[,11]+σ[,nn]－2σ[,1n]）x[,1]+…+（σ[,1k]+σ[,nn] －σ[,1n]－σ[,kn]）x[,k]+…+（σ[,1n-1]+σ[,nn]－σ[1n]－ σ[n-1n]）x[,n-1]+σ[,1n]－σ[,nn]，（σ[,12]+σ[,nn]－σ[ ,1n]－σ[,2n]）x[,1]+…+（σ[,2k]+σ[,nn]－σ[,2n]－σ[,kn]）x[,k]+…+（σ[,2n-1]+σ[,nn]－σ[,2n]－σ[,n-1n]）x[,n-1]+σ[,2n]－σ[,nn]，
…………………………………………………………………………………
（σ[,1k]+σ[,nn]－σ[,1n]－σ[,km]）x[,1] +…+（σ[,kk] +σ[,nn]－2σ[,km]）x[,k]+…+(σ[,km-1]+σ[,nn]－σ[,kn]－σ[,n-1n]）x[,n-1]+σ[,km]－σ[,nn]，
…………………………………………………………………………………
（σ[,1n-1]+σ[,nn]－σ[,1n]－σ[,n-n1]）x[,1]+…+（σ[,kn-1]+σ[,nn]－σ[,kn]－σ[,n-1n]）x[,k]+…+（σ[,n-1n-1]+σ[,nn]－2σ[,n-1n]）x[,n-1]+σ[,n-1n]－σ[,nn]）如果定义P[,1]＝（1，0，0，…，-1），P[,2]＝（0，1，0，…，-1），…，P[,i]＝（0，0，…，1，0，…，-1），P[,n-1]＝（0，…，0，1，-1），Q＝
则由临界线定义，得临界线方程为：
P[,1]EQX[r] P[,2]EQX[T] P[,i]EQX[T]
───────＝ ───────＝…＝──────＝…＝
R[,1]－R[,n] R[,2]－R[,n]R[,i]－R[,n]
P[,n-1]－EQX[T]
──────────
（7）
R[,n-1]－R[,N]
由（7）可得到n－2个线性方程构成的线性方程组
┌a[,11]x[,1]＋a[,12]x[,2]＋…＋a[,1n-1]x[,n-1]＝b[,1]
│ a[,21]x[,1]＋a[,22]x[,2]＋…＋a[,2n-1]x[,n-1]＝b[,2]
│ …………………………………………………………（8）
└ a[,n-21]x[,1]＋a[,n-22]x[,2]＋…＋a[,n-2n-1]x[,n-1]
＝b[,n-2]
其中
σ[,ii]＋σ[,nn]－2σ[,in]
a[,ii]＝─────────────－
R[,i]－R[,n]
σ[,in-1]＋σ[,nn]－σ[,in]－σ[,n-1n]
────────────────────────
R[,n-1]－R[,n]
σ[,ij]＋σ[,nn]－σ[,in]－σ[,jn]
a[,ii]＝─────────────────－
R[,i]－R[,n]
σ[,jn-1]＋σ[,nn]－σ[,jn]－σ[,n-1n]
────────────────────
R[,n-1]－R[,n]
σ[,in]－σ[,nn]
σ[,n-1n]－σ[,nn]
b[,i]＝－───────────＋───────────
R[,i]－R[,n] R[,n-1]－R[,n]
（i＝1，2，…，n－2；j＝1,2，…，n－1）
于是，对于投资者的不同的预期收益率R[,p]，联立（5）和（8）， 可在临界线上求得使风险最小的最优投资组合权重。这时，只需用线性方程组的消元解法即可完成。
因为线性方程组（8）的秩是n－2，所以它的基础解系的个数为1，即x[,1]，…，x[,n-2]都可由x[,n-1]表示（利用消元法可得）。 因而，对于投资者所能承受的风险，联立（6）和（8），可求得投资组合的最优权重，使预期收益率最高。而这却是Lagrange乘子法所不能解决的。
3 结束语
本文给出了证券组合的临界线的数学表达式，使得Markowitz 模型针对不同的预期收益率和预期风险都能得到最优解。这个研究成果无需矩阵的求逆运算，便于计算机的实现。它对于指导组合证券投资活动具有重要的理论和现实意义。
在本文中，我们只讨论了允许卖空的情形，对于限制卖空的情形，我们将另文研究。