解题教学：从易到难，逐步突破，本文主要内容关键词为：易到难论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
循序渐进指学习工作等按照一定的步骤逐渐深入或提高.按照循序渐进的原则进行教学时，应该做到由浅入深、由易到难，由简到繁，逐渐前进、发展.由易到难也是解题教学中基本的学习活动方式.下面，笔者以简单计数问题为例，谈谈由易到难逐步突破学习难点的感悟. 一、从学生的角度分析，梳理学习的难点 我们知道，分类是将整体问题转化为几个部分来解决的方法.在教学中，我们都会郑重的强调：应用分类方法解决问题时，首先要搞清题意，明确要完成的是怎样的一件事.其次确定一个合适的分类标准，将完成的这件事的方法进行分类，并对每一类中的方法计数.然后由加法原理计算总方法数.但是，这些看起来很容易理解的内容，学生却感到说起来容易做起来难.难点在哪里呢？通过与学生交流、对作业进行分析，我们梳理出学习难点，主要是：①分析题意如何分类，入手难；②甄别使用方法，拓展应用难；③防错订正，自纠难.教学中，设计学生易于接受、合乎学生认知水平的问题情境，找准学习的难点是关键.对学生学习来说是从易到难，而对教师来说就是要从难点处为着眼点建构容易的、简单的问题入手，从而分化、降低、转移问题难点，逐步突破学习的难点，达到能力提升. 二、从学生感觉到简单的问题，构建模型化解难点 波利亚认为，解题只能通过模仿和实践来学到它.简单模仿解题是一个通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似的过程.当学生对模仿对象缺乏深刻认识时，变式应用解题就难以实现了.在课堂教学及一些资料中，对简单计数问题我们往往是从完成事件的内容去化分类型的.例如，有数字问题、点的个数或直线条数的问题、相邻与不相邻的问题、选派（或分配）、分工问题、样品抽取问题等，这对培养学生分类解决问题的能力起到了积极作用，但它缺乏针对一般性计数问题分析题意找谁去分类难点的突破.于是，我们设想：把以内容分类型的简单计数问题，改变思考的角度，重新从分析题意找谁去分类入手去化类别掌握分类方法，构建解题模仿对象，构建模型化解难点. 类型1：找准主角元素去分类. 完成事件中的各元素具有多元性，并且一些元素受完成事件条件的制约，元素之间是会有差异的.特点是某些具有特殊身份或特殊的属性，它往往是解决问题关键，以它为主角元素去分类，可以顺利解决问题.反之，便会阻碍问题的解决. 例1 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，求组成的五位数是5的倍数有多少个？ 分析：题中有6个元素，由条件5的倍数知，个位上只能放置数字0或5.0和5与其他元素是有差异的，考虑五位数中最高位上不能是0，0与5也有特殊身份的区别.此时可称0为主角元素，于是找到了0是主角元素，按0作不作个位来分类：
类型2：选择元素位置去分类. 几何背景中点的个数、直线条数的问题、或邻与不邻的问题，可以考虑从元素及其所占的位置分析，就定位的各种情形去分类.
分析：已知条件中共有十个点，如果任取三个点（除了直线上的六个点）在一条直线上，那么所得直线会最多吗？可以试着画一画，就会得出“所得到直线最多”就是要求任意取到的三点都不共线（除了直线上的六个点）.其中十个点分别在两处位置上，另一处是直线上的六个点，特点是六个元素地位是等同的，并共线；另一处是四个点在圆上，特点是四个元素地位等同的，且四点不共线.于是，我们可以从元素所占的位置任取两点连成直线去分类，可分为：（1）已知直线上与圆上各取一点连线的直线有
条；（2）圆上任取两点所得的直线有
条；（3）已知直线为1条，则直线最多有
条. 类型3：针对某元素作用去分类. 选派（或分配）、分工等类型的问题中，特点是某些元素具有多重身份或属性，针对这些元素的作用、用途的归属使用与否去分类. 例3 某国际旅行社招聘了10名翻译人员，其中4人会说韩国语，4人会说日语，2人既会说韩国语又会说日语，现打算从10人中选4人作韩国语翻译，4人作日语翻译，分别带团赴韩日观光，则不同的选派翻译的方法有________种（用数字作答）. 分析：题设中有十个元素，元素特点是：4个元素有“会韩国语”的属性，4个元素有“会日语”的属性，2个是“既会说韩国语又会说日语”的属性，按条件从10人中选4人作韩国语翻译，4人作日语翻译，针对元素的不同属性、作用去分类： 方法1：针对既会说韩国语又会说日语的2人是否选派分类： （1）2人都不选派，有
（种）； （2）2人都选派（都去韩、都去日、一人去韩一人去日），有
（种）； （3）只选派一人去（一人去韩或去日），有
（种）. 方法2：以派2名既会说韩国语又会说日语的人去翻译韩国语的人数作为标准分类，进行讨论：
故共有61种选派的方法. 按元素的多重属性、用途去分类时，要仔细斟酌，挑选好针对谁去分类，以便达到优化解题的目的，可以看出方法2较为简洁. 类型4：按关键词的含义去分类. 有些计数问题特点是含有至少、至多、有且仅有、都不是、不都是等限制词语，准确理解这些关键词的含义，分清事件的类别，从而正确分类实现问题解决. 例4 假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）.
分析：已知的200个元素中197件有相同的属性（正品），3件有相同的属性（次品），题目的特点是：要完成的事件中含有“至少有2件次品”的限制词语，于是可以针对“至少有两件次品”去分类，有两种可能：第一类：2件次品，3件合格品，有
种；第二类：3件次品，2件合格品，有
种. 由分类加法计数原理得抽法种数为（
+
）种，所以选B. 由上述几例说明，找谁去分类的难点突破口在题意分析中.学生存在问题是：①在题意分析阶段缺乏从分析里找谁去分类的意识，没有达到化解分类难点的训练目的；②解题后缺乏找谁去分类的理性化再思考，难于形成分类方法的模型.基于这些原因，构建解题模仿对象，分类别掌握分类方法去化解分类难点就显得非常必要了.为以后解决的问题积累有用的东西，我们从上面的案例中总结找谁去分类的方法，构建类型：由题意分析—找谁分类—提炼方法—应用方法解题的学习方式，想必是解决分类难点的有效途径. 三、从应用类型模型，破解学习难点 上面从分析题意找谁去分类入手，构建起来几个类型计数问题的解题模仿对象.但是，哪一把问题锁该用哪一把钥匙呢？这就要针对具体问题确定使用哪种分类方法了，其中甄别使用方法拓展应用是难点.有意识的变式训练是解决这一难点的有效办法.从问题分析中确定使用哪种分类方法是由模仿解题到创新解题的飞跃阶段，于是我们设计识别、联想、试解的解题实践程序去化解甄别使用方法拓展应用的难点： ①识别：分析题意，认识该题目与类型题的异同. ②联想：使用类型题的分类方法. ③试解：整理形成解题的方法. 例5 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）. （A）10 （B）11 （C）12 （D）15 识别：该题与例1对比，相同点是数字的排列.差别是该题只有0和1的数字、允许重复的四个位置排列，例1是无重复数字的几位数排列，所问的（未知）有差异；该题与例4对比，相同点是含有关键词（至多）.差别是该题有条件的数字排列问题，例4是样品抽取问题.该题与例2、例3感觉联系不大. 联想：考虑条件与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数，联想用主角元素去分类，或用按关键词的含义去分类. （1）类比例1方法不可解，但我们可以先求出不同排列表示不同信息的总数是种，然后再去掉不符合与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.它有两种情况：①与信息0110各个位置都相同时仅有1种；②与信息0110有三个对应位置相同：
种.所以符合条件的信息个数有：
=11种. （2）类比例4，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有三种情况： ①对应位置都不相同仅有1种. ②对应位置仅有一个相同，有
=4种. ③对应位置仅有两个相同，有
=6种. 所以共有1+4+6=11种. 所以选B. 可以看出：在问题识别分析确定使用哪种分类方法中，首先要分析它是个什么样类型的计数问题，看它和我们已经掌握的哪一类题目相似，关键是要分析出要解决的问题与类型题目的差异，在联想对比中确定合适的分类方法或拓宽方法应用.只要灵活、合理、准确地使用分类、分步方法，触类旁通，问题就能迎刃而解了. 四、从错解剖析，攻克学习难点 题目千姿百态，每次解决问题发现解题方法都是一个创造性的思维活动.对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构是学会解题的重要步骤.善于运用错误资源也是攻克学习难点的有效途径.事实上，自纠、防错订正只能从错解剖析训练中得到解决.这样，总结教训、积累经验，为解决新问题创造解题方法，锤炼优秀的思维品质，从而实现应用分类方法的正迁移来攻克学习难点. 例6 在3000至8000中有多少个无重复数字的奇数. 错解：分三步完成，首先排首位有5种方法，再排个位也有5种排法，最后排中间两位都有
种方法，所以共有
×5×5=1400个. 剖析：该问题中首位是奇数3、5、7与偶数4、6的选法不一样多，这种不均等的排列、组合问题，不能直接用分步计数原理，而只能是先分类再分步解答.奇数3、5、7与偶数4、6是主角元素，分两类，一类是以奇数3、5、7为首位的四位奇数，另一类是以偶数4、6为首位的四位奇数，然后去解决问题，正确答案是1232个. 感悟：选择谁是主角元素，如何才能准确找到主角元素？在解题分析中，根据题目中要解决的问题（要完成的事情），进行尝试写出一些结果，对比发现元素的不同属性.例如，例1中0是特殊身份的元素，按0作不作个位分法结果不同，例6中首位是奇数3、5、7与偶数4、6的选法不一样多，考虑若不分类，则不方便确定结果数；若分的话，这便是主角元素，由此去分类解决问题了.复杂的计数问题往往需要先分类再分步解决.这样会有效防错得出正确解答. 例7 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）. （A）360 （B）288 （C）216 （D）96 错解：（1）是男生甲排在3位男生中间，用插空法再排女生，有
种. （2）是男生甲排在3位男生左边或右边，用插空法再排女生，有
种，共有216种. 剖析：选择男生甲的位置为分类标准，还需要考虑“3位女生中有且只有两位女生相邻”条件的限制，分类后对女生先分组再用插空方法求解： （1）男生甲排在三个男生是左边，另2个男生有
种排法，甲的左边必有一组女生，女生分2组（其中一组有2人，另一组有1人）去插男生的空，有
种. （2）男生甲排在三个男生是右边，与上述一样，有
种. （3）男生甲排在三个男生是中间，有不同的排法
种. 故共有不同的排法是288种，选B. 感悟：明确讨论的对象，并在解答问题的过程中要按照题目条件要求先分组后排列，做到不重不漏解决问题. 例8 学校派5名教研员到高二年级3个班去调研学生课业负担，每班至少一人，有多少种不同的选派方法？ 错解：先从5名教研员中选派3名分到3个班，有
种，之后剩余的2名教研员选派3个班，各有3种方法，所以共有
×3×3=540种. 剖析：该方法中有很多重复的结果.针对5名教研员的归属使用，先把5人分成3组，有两类分法：①一组3人另两组各一人，有
种分法；②一组一人，另两组的2人，有
种分法； 然后，再分配到各班有
种方法. 共有
种方法. 显然，不按元素的用途的归属使用与否去分类（分组）再分配就会导致错误. 从易到难的学习是学生从表象、感性认知到理性认知逐步提升的一个过程.数学教学应该是一种慢艺术.缺乏探究的教学，必然导致缺乏思维空间的学习，正如缺乏空气，缺乏水分的植物，那会有郁郁葱葱的景色.教学中，教师要知难构易创新学生学习思考的空间，为其提供丰富多彩的学习思考机会，形成数学化的思维方式，乐学善思，实现突破学习难点.这也是激发和长久保持学生学习动力的根本所在.
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