几何直观：内涵分析与教学建议，本文主要内容关键词为：直观论文,几何论文,内涵论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”，数学教学要“重视直观，处理好直观与抽象的关系”.经过多年的教学实践，对几何直观教学有些许感悟，今作梳理，希望能对同仁有所启示.
一、几何直观的内涵分析
几何直观是以图形和直观符号为活动要件，以直观化的信息加工过程为形态的一种认知方式，它能给数学探究提供有益、有趣的启示，在数学活动中常常起着关键作用.学生形成和使用几何直观是有水平和层次差异的.
（一）第一层次：建立和形成敏捷而准确的几何直觉——感觉与图形相随
在这一层次，几何直观能力表现在开始形成和使用数学概念、法则、问题的几何表征或图表的过程，呈现出以下特征：
1.能借助图形思考问题，形成感知.几何是数学对图形世界的概括.几何的对象、关系和变换抽象于现实世界，对应着直观模型，如角、线段、三角形、平行、面积、对称等；几何符号往往带有直观特征，如ABCD，AB⊥CD，ABC等；几何概念的内化形式往往是表象的、图形化的，可以在头脑中对其进行旋转、切割、拼合、拓展，从而能绕过抽象的分析技巧来理解图形的意义与结构，如要说明两个不同位置的三角形全等，可以在头脑中通过翻折、旋转、平移及它们的组合变换，把两个图形叠合到一起，感受边与角的对应关系.
2.能根据需要画出图形，辅助思考.作图是建立直观形象的思维支柱.即能根据几何或自然语言想象并画出图形，通过视觉或操作图形构成的要素（线与角），感知图形的结构、位置关系、数量关系与几何特征，形成印象，进行分类，这样可以使头脑内的形象与外在可感觉到的物体建立起有力的连接.直观推理是几何直观的精髓，其基本要素是直观判断.我国古代数学家赵爽便是采用构造双图的方法，“看出”了勾股定理.几何直观虽然以直接观察为基础得到结论，但并不是无意识的，它在视觉结构中的见解和推理思考一样可靠.
3.能结合实际完善图形，发现思路.在视觉与分析的基础上，反思、抽象、调整并逐渐完善成包含众多要素及其结构关系的几何模型，这种模型往往是深度“压缩”的结果，能在应用时通过其中的部分成分快速触发其他成分，分离或完善出相关模型，从而整体地发现、分析与思考问题.通常，任何一个图形都是由几个基本的子图形组成的.解题的关键，是依赖视觉直观把其中关键的子结构区分出来.观察图形和分离子结构时，不需要明显的知识（定义、定理），其中包含了视觉、理解和推理.视觉导致了观察方向和重心的变化.
比如，在相似形的学习中，经常遇到图1所示的两个基本图形（结合其形状特征分别命名为“A形图”和“8形图”），用来解决如下的“线段之比”问题：
如下页图2所示，△ABC中，AD︰DC=1︰3，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，求BF︰FC的值.
观察图形特征，由于BF：FC是同一直线上的两线段之比，可考虑过A、B、C、D、E、F这些点作平行线，完善上述基本图形，从而使问题顺利获解.主要方法有三：
这里，几何直观的视觉选择与推理功不可没——方法1完善并分离出两个“8形图”，方法2完善并分离出两个“A形图”，方法3完善并分离出一个“8形图”和一个“A形图”.
又如下面这道2013年江西省南昌市的数学中考题：
某数学活动小组在作三角形拓展图形与研究时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图11所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是（
）；
①AF=AG=
AB②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB.
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图12所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程.
●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图13所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△DME的形状.
解决该题的常规思路自然是按部就班，依次完成题目设问，且通常是分别对MD和ME的数量关系和位置关系予以说明.这里不妨换一个角度，从视觉上看，探究“MD和ME的数量和位置关系”相当于探究“△DME的形状”，而看上去△DME像是“等腰直角三角形”，若能证出“∠MDE=∠MED=45°”，则问题得以突破.具体过程如下：
取AB、AC的中点F、G，连结DF、FM、EG、GM、DE.由于∠FDA=∠GEA=45°，于是转为证明∠ADE=∠FDM，∠AED=∠GEM.设AB=2a，AC=2b，易得MG=DF=a，MF=EG=b，AD=
a，AE=b，于是
又易证∠DAE=270°-∠BAC=（180°-∠BAC）+90°=∠AFM+∠AFD=∠DFM，于是△DAE∽△DFM，故∠ADE=∠FDM.同理可证∠AED=∠GEM.到此，思路被打通，第（1）问自然得证.
将上述思路迁移到图13中，易知∠FDA=∠GEA=45°，于是转为证明∠ADE=∠FDM，∠AED=∠GEM.仍设AB=2a，AC=2b，可得MG=DF=a，MF=EG=b，AD=a，AE=b，于是又易证∠DAE=（∠DAB+∠EAC）-∠BAC=90°-∠BAC=90°-∠BFM=∠DFM，于是△DAE∽△DFM，故∠ADE=∠FDM.同理可证∠AED=∠GEM.思路再次被打通.
如此解法，极具创新味道.其中到处都是角和线段关系的转化，能够顺利打开思路完全是运用几何直观的结果.图形推理的价值由此可见一斑.
（二）第二层次：实施深入而灵活的几何探索——视觉与思维共行
到这个层次时，几何直观活动过程已经从以视觉直观水平为主上升到“图形：分析”水平，表现出以下特征：
1.能结合图形特征思考，具备良好的观察力.观察，观为看，察为思.即能通过几何图形性质，即图形的组成部分和这些组成部分之间的关系，结合图形外在结构特征，来感知（视觉：几何直观成分）和分析（思维：逻辑推理成分）图形.
2.能灵活进行合情推理，具备良好的探索力.即透过观察所得，发现图形的构造特征，在外部操作或头脑中操作的支持下，对图形进行改造、变化或重组.如发现图形是否能在一定程度上动态变化，设计图形变化过程中的特殊情形，测量、比较图形，进而猜测和归纳图形的性质，探索问题，发现结论.其特征是在视觉的基础上，进行模拟和猜想.
3.能因题制宜构造分析，具备一定的创造力.即能够在心理上操作、旋转、翻折或逆转几何对象，并能感受和想象操作过程中元素之间的数量与位置关系的变化，出现视觉的弹性与跳跃、组合与分析，既能注意把握整体，又不忽视细节，从多层面上捕捉有效信息，广泛地对比、联想，构造、完善图形，启示或产生创造性的方法.
比如下面这道2013年山东省枣庄市的数学中考题：
从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图14所示的零件，则这个零件的表面积为________.
整体观察图形，在头脑中借助“平移”，把求表面积的问题转化成求“从上、下、左、右、前、后六个方向看到的视图面积之和”的问题，极易得到这个零件的表面积为6×（2×2）=24.此时，视觉操作虽然没有显示到卷面上，但却成为解题的关键.甚至，还能将问题拓展为：只要是从毛坯的一角，挖去任意一个长方体，则其表面积均为24，不会改变.如此，几何直观的趣味性油然而生.
又如下面这道2013年山东省临沂市数学中考题：
矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC、BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点分别为E、F.（1）当PF⊥AB，PF⊥BC时，如图15，则
的值为________.（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图16，求的值.（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1∶2时，如图17，的值是否变化？证明你的结论.
观察可见，问题呈现出明显的从特例逐步推向一般的构题模式，后续的一般情形涵盖了前面的特殊情形.图15中，易证△APE≌△PCF，则转化为
=tan∠BAC=tan60°=
.图16中，过点P作AB、BC的垂线，借助“割补”手段，可转化成图15中的特例情形，易证△MPE∽△NPF，则转化为
，进而借助图15所得，可转化为
=tan60°=.同时，图15和图16的解决又为图17提供了借鉴与启示：像图16般作辅助线，再得△MPE∽△NPF,则转化为，而PM=PA·sin60°=
PA，PN=PC·cos60°=PC，故==·
=.显然，的值决定于点P的位置，而与三角尺转动角度的大小没有关系！
如此，在下笔之前，已然在头脑中完成了对图形的操作与转化，预测到继续实施程序操作成功的可能性.几何直观先行于书写中的推理与表达.
（三）第三层次：成为分析和解决问题的有效工具——抽象与形象互辅
在透过物理世界和直观经验建构几何概念，并进行澄清、补充或重组的基础上，几何直观开始能在头脑中创设并使用图形，理解几何性质，将图形与概念、定理联系起来，使问题更容易切入，甚至实现直观的洞察，达到几何术语的精确运用与符号意识的初步建立.此时，几何直观的运用已达成熟阶段，其特征表现为以下几方面：
1.有效分离基本图形，突破问题.即能根据图形及图形性质之间的关系，整体地想象与组合图形，并分离出具有特殊性质或熟悉的基本图形，探求图形的包含关系.
2.善于构造几何模型，变更命题.即能把自己的想法直观化，提取与解释图形信息，并进行视觉加工；或者用几何模型去表示抽象的数学对象、形式与结构.“视觉：图形”成分有很好的发展，能数形结合地分析问题，能发现证明的起点和方法，表现出良好的创造力.
3.全面认知图形，随机应变.即能整体认知几何对象，避免想当然地思考，在充分借助图形直观的基础上，完成逻辑推演.同时，对图形已经形成动态观察和理解的习惯，头脑中操作的是一般化图形，不再过度依赖典型范例.此时，几何的元素和结果已经不是最重要的，重要的是这些元素和结果后面隐藏的结构和关系.
比如下面这道2013年江苏省连云港市的数学中考题：
小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图18，四边形ABCD中，AD//BC，点E为边DC的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F.求证：
问题迁移：如图19，在已知锐角∠AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N.小明在将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值.请问：当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由.
实际应用：如图20，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4 km，试求△MON的面积.（精确到0.1
.参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）
拓展延伸：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（
，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值.
此题呈现出明显的从模型逐步推向应用的构题模式，能否在视觉和心理上发现和完成对图形的调整、完善，并化归为模型是解题的关键.图18对应的问题情境即是本题的模型，容易完成证明.图19中，当P为MN的中点时，
最小，解题思路即是化归为模型：过点P作另外一条直线EF，交OA、OB于点E、F，不妨设PE＞PF，过点M作MG//OB，交EF于点G.由“模型”知，当P为MN的中点时，=
.由于
>，所以>，即当P为MN中点时，最小.此时，图19又成为新的模型，将之迁移到图20中，可知当PM=PN时，△MON符合要求，进而结合所给数据，借助图中辅助线，利用三角形中位线性质，得△MON的面积.“拓展延伸”则应分作两种情形考虑：（1）如图21完善图形，当PM=PN时，
最小，此时
最大，结合所给数据，利用三角形中位线性质，可得其值为10.（2）如图22完善图形，当PM=PN时，
最小，此时
最大，结合所给数据，先得直线BC解析式、点T坐标、
值；结合点P坐标，利用三角形中位线性质，可得点M坐标，进而可得=8.25.故所求四边形面积的最大值为10.
这里，视觉的灵活性和敏捷性是顺利实现模型化归的前提.
二、教学建议
结合几何直观能力的形成过程和运用特点，提出以下教学建议：
（一）在内容学习方面，应借助实物或图形直观引入几何概念，帮助学生深化对几何命题的理解
首先，通过设计有效的变式练习，帮助学生形成对线、角等几何基本要素的“（位置和数量）关系感”，以及对图形空间形状和大小的感觉，这是建立几何直观、形成几何意象的基础.其次，通过动手或心智操作，借助实物或图形直观，帮助学生在视觉认知的基础上，加强图形和语言符号的联系，活化命题理解，深化命题纵横联系，形成命题网络，完善心理图式.再次，对于一些具有数、形双重身份特征的概念，更要注重揭示数和形的联系，互辅互释，双向升华，把几何直观和数式精确的特征融合到对研究对象的理解之中，促使学生能窥斑见豹，“牵一发而动全身”地展开联想和转化.
（二）在知识运用方面，应帮助学生树立运用几何直观的意识，养成借助图形推理的习惯
生动的几何推理往往关乎公式和符号后面的意义.几何直观以直觉、想象和现实经验为基础，为了描述和交流信息的需要，为了思考和形成新观念的需要，为了深入理解的需要，在头脑中，或在纸上，或利用技术工具，绘出并解释图形、图象和图表，其中必然伴随着能力的发展：通过有意设计（如利用折纸、动手操作几何对象、几何画板演示等手段），让学生经历从有意识地感受与运用、到自觉运用、再到自动化地运用几何直观理解与解决数学问题的过程，从外部操作逐渐过渡到心智操作，几何直观意识才能逐步树立起来，并内化为个体进行数学活动的一种品质或习惯（如善于借助几何图形把抽象的问题直观化）；引导学生发现图形中的结构特征，从中抽取出数量、形状、位置、变换等关系，进而产生“完善图形”的冲动，分割、补充图形，使之呈现出“标准”或“熟悉”的状态，顺利实现模型化归，变繁、难、生、隐为简、易、熟、显，体悟问题内涵；带领学生从特例、具体或简单情形的研究中获得启发和借鉴，猜想出一般结论，实现合情推理到演绎推理的自然过渡，并从多角度感知、认识和分析图形，获得自己的独特见解.
需要特别指出的是，在此过程中，要注重由几何直观引发的想当然型失误.比如，对于下面的这道题：
求证：所有的三角形都是等腰三角形.
且看证明过程：如图23，图23△ABC是任意三角形.作∠A的平分线AO与BC的中垂线OH（垂足为H）相交于点O；过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N；连结OB、OC.易知∠OAM=∠OAN，∠OMA=∠ONA=90°，OM=ON，则△OAM≌△OAN，于是有AM=AN；由OH为BC的中垂线，得OB=OC，结合OM=ON，可得Rt△OMB≌Rt△ONC，则MB=NC；继而可得AM+MB=AN+NC，即AB=AC.
看似毫无漏洞的证明过程，却得出了一个荒谬的结论.问题到底出在哪儿？实际上，如果作图准确的话，点O应在△ABC外！这提醒我们，借助几何直观解决问题，要避免想当然的视觉判断，切忌随意地构造本不存在的图形.
（三）从教学评价方面看，应改进评价方法，实施多元评价
设计问题，要图文并茂、形（形象）神（抽象）兼备，加强对视觉操作成分的考查.比如，可增加对问题的观察与分析过程的考查：哪些是看（依赖几何直观）出来的？哪些是分析（依赖逻辑推演）出来的？用到哪些图形调整与变换的策略（如把试卷转动一个角度，或翻过来看试卷的背面，以找到容易观察或熟悉的角度）？又如，给予操作工具或物体（如剪刀、纸片、正方体块等），允许进行裁剪、拼接、垒砌等实际动手操作活动，或运用信息技术手段（如几何画板等），来理解和解决问题.这些，能给学生带来互动性和动态性的体验，动员非智力因素的参与，享受数学活动的愉悦感和成就感.