对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。
方法1：分离参数法
例1.设函数f(x)=lnx-ax,g（x）=ex-ax，其中a为实数。若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。
解：因为f`(x)= -a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥ 对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。
点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。
方法2：构造函数法
例2.已知函数f(x)=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是( )。
A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.［-2，1］D.[-2，0]
解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。
记g(x)=x2－(2+a)x=（x-）2- 。
当<0即a<－2时,g(x)的最小值为－ ，不可能满足条件。
当≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。
当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤，对x>0恒成立。
令θ(x)= ，则θ`(x)= 。设t=x+1,则t>1。
记L(t)=-lnt,则L`(t)=<0,所以L(t)在t∈(1,+∞)上为减函数。
故L(t)<L(1)=0,从而θ`(x)<0,所以θ(x)在x∈(0,+∞)上为减函数。
故当x∈(0,+∞)时,θ(x)恒大于0，所以a≤0。
综上，可知a的取值范围是[-2，0]，故选D。
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点评：本题虽然是选择题，但是对运算能力的要求较高，要想顺利完成也不容易。问题的切入点不同，构造的函数也不相同。在问题的求解过程中，如果可以分离出参数，尽量用分离参数的方法去求解，多数问题采用分离参数的方法求解会相对容易一点。
方法3：图像法
例3.若存在正数x使2x(x-a)＜1成立，则a的取值范围是( )。
A．(-∞，+∞)B.(-2，+∞)
C．(0，+∞) D．(-1，+∞)
解：不等式2x（x-a）<1可变形为x-a<（ ）x。在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=（ ）x的图像，如图。由题意，知在(0，+∞) 上，直线y=x-a有一部分在曲线y=（ ）x的下方。观察可知，有-a<1，所以a>-1，D正确。
点评：结合函数图象来求解比起用常规方法求解更为直观、简单。
方法4：等价转化法
例4.设f(x)= +xlnx，g(x)=x3-x2-3。
（1）如果存在x1、x2∈[0，2],g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M。
（2）如果对于任意的s、t∈[ ，2]都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围。
解：（1）存在x1、x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M。因为g(x)=x3-x2-3，所以g`(x）=3x2-2x=3x（x- ）。由g`(x）>0得x<0或x> ，由g`(x）<0得0<x< 。又x∈[0，2]，所以g(x)在区间[0, ]上是单调减函数,在区间[ ,2]上是单调增函数。所以g(0)=-3,g( )=－ ，g(2)=1,所以g（x）min=g( )=－ ，g（x）max=g(2)=1，故[g(x1)－g(x2)]max=g（x）max-g（x）min= ≥M。
所以满足条件的最大整数M=4。
（2）对于任意的s、t∈[ ,2],都有f(s)≥g(t)成立,等价于在区间[ ,2]上函数f（x）min≥g（x）max。由（1）可知在区间[ ,2]上，g（x）max=g(2)=1,区间[ ,2]上f(x)= +xlnx≥1恒成立,等价于a≥x-x2lnx恒成立。设h(x)=x-x2lnx,则h`(x)=1－2xlnx－x,可知h`(x)在区间[ ,2]上是单调减函数。又h`(1)=0,所以当1<x<2时h`(x)<0;当 <x<1时,h`(x)>0,所以函数h(x)=x-x2lnx在区间[ ,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减。
所以h（x）max=h(1)=1,即实数a的取值范围是[1,+∞]。
点评：如果一个问题的求解中既有存在性问题又有恒成立问题，这时需要深刻理解题意，对问题作等价转化。这里一定要注意转化的等价性、巧妙性。
在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想恒成立问题是求最大值还是最小值，这样就可以把相应的存在性问题转化为求最值问题。
论文作者:黎建国
论文发表刊物:《中小学教育》2014年7月总第175期供稿
论文发表时间:2014-5-4
标签：函数论文; 区间论文; 题意论文; 方法论文; 参数论文; 性问题论文; 实数论文; 《中小学教育》2014年7月总第175期供稿论文;