数学实验与反证法，本文主要内容关键词为：反证法论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
为了检验某种科学理论或假设，实验方法在自然与社会各个领域广泛应用.在大量的物理与化学实验中，它具有实物的可操作性.而在数学中“实验是在想象中做的，是设想着做的，是在思想中进行的实验，谓之思想实验”[1].
我们学过许多知识，观察过丰富的实际现象，进行过大量具体操作.这些观察和操作的经验和感受，已深深地“内化”，在我们的脑海之中，当我们研究问题时，就把研究的对象与这些内化经验及已有知识结合起来，在头脑中形成理想化的图景；然后再设想某些要研究的因素或参数发生变化，并依据已有的知识预料指标达到的结果.可见，这种思想实验乃是在头脑中进行的抽象实验.
数学实验是思想实验，是抽象实验，更多的是具有不可操作性，这里列举几个大家熟知的例子.
（1）2[k]的故事。一位国王同象棋大师下棋，为了奖励这位大师，国王答应大师：“要什么给什么，金银财宝多的是”.大师指着64格的棋盘说“在第一格放一粒麦子，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的是前一格的2倍，……，直到最后一格.”国王觉得大师没有把握集敛财富的机会，什么东西都比这几粒麦子值钱，大师还是笑着请国王依允，国王只好答应.
（2）一张报纸，对折50次，会有多厚？用它作云梯能达到哪？珠穆朗玛峰还是月球？
（3）在地球赤道止绕一钢圈，（把赤道当作一个理想的圆，这个钢圈就是这个圆），可以算出这钢圈约长2πRkm（R≈6370km），这时钢圈紧贴赤道不留间隙.假若再增1m的长度，问在钢圈与赤道间能否伸过人的拳头.
以上3例都无法去操作实验.但作为思想实验，我们可以求出这些问题的解答.
整数的数，数千亿吨.这无论对谁，都是个天文数字，国王在谋士的提醒下惊呆了.
（2）分析：报纸对折实验操作时一般达10次就进行不下去了，这事实上也是个思想实验，作为一个数学问题是可将实验进行下去的.
解：设报纸厚度α=0.1mm.则第k次对折的纸层的厚度为2[k]αmm，第50次对折的纸层厚度为2[50]αmm.
数，而几亿km，大于地球到月球距离.
（3）分析：前2例还有稍许操作性的话，这题就无半点实际操作的意义，是一个纯思想观念的问题，赤道也不是一个光滑的圆，赤道上有山峰有深谷，不说一拳头，一个人钻过去又何妨.但作为数学实验，是有其价值的.
解：设赤道周长c=2πR，当c增加1m时，
由上式可知R[，o]在R的基础上增加约16cm，这16cm的间隙是够一个拳头钻过了.这似乎是一个不可想象的事实，赤道长变化1m可以忽略不计，而带来的变化如此惊人.这就是数学实验的奥妙与美.
数学实验在不可操作的证明中体现了思想实验的优势.
在反证法的运用中还有更精妙的地方.
反证法就是数学实验的另一个场景，反证法证明中我们第一步做出的假设就是一个无法操作，或者说不可能实现的实验，这种实验只能在我们的思想中进行.如证“两条直线平行于第三条直线，则这两直线平行”，我们假设这两条直线相交，这就是一个不可能存在的事实，这个实验同样具有不可操作性（因为事实上不相交），而在思想上，在数学实验中，这两直线相交了，这个实验就这样按我们所掌握的两直线平行的经验进行下去了，但是与“直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”的知识相矛盾，这里平行公理是成立的，从而使问题得以解决.
这样的数学实验在反证法中屡见不鲜，或者说反证法离不开数学实验.
而学生在使用反证法时往往出现的逻辑论证上的错误，这里从理论上对反证法的理伦依据进行探讨.
1 从真值表看反证法
表中x，y为基本命题，不防称x为条件，y为结论，x、y的蕴含式“x→y”即“如果x则y”是一个复合命题，亦看到x到y的推理过程.
表中第一行（1，1，1）说明只要前提正确推理形式正确，就必然推出正确的结论.
第二行（1，0，0）由正确的前提得错误的结论，必然是因为推理过程的错误.
第三、四行（0，1，1）、（0，0，1）可理解为错误的前提经正确的推理所得结论或对或错.反证法作出的假设在原命题是（1，1，1）型时，假设必假，这时我们要证新命题的x值为0，因此反证法只对（1，1，1）型命题转化为（0，1，1）型时才可用.
2 从形式逻辑角度认识
从文[2]我们知道：在两个判断中，若一个为真，则另一个必为假；若一个为假，则另一个必为真.这样的两个判断具有矛盾关系（或对抗性关系）.
在两个判断中，若一个为真，则另一个必为假；若一个为假，则另一个真假不能肯定，这样的两个判断具有反对关系（或对照关系）.
反证法中如果提出的反设与结论构成反对关系的判断，那么虽然证明了反设不成立，但原来结论成立与否仍然不能肯定，这落入（0，0，1）型，而否定反设只是手段，肯定结论才是目的.反证法从这里下手是错误的.
3 从逻辑代数角度来认识
在此反证法可这样叙述：
如果把否定的原结论（即
）纳入到原条件（即P）中，使两者共同作为条件，由此经研究推理得新结论.新的条件与新的结论构成新命题为假命题时，在原条件为真的情形下，又原命题必为真命题，故原结论得证，凡用这种证明方法进行论证，我们就称之为反证法.
参考文[3]表述为：同理：若p，q和r为命题，则
以上从3个方面我们看到：
真值表说明反证法证明适用于条件、结论及推理都真的命题，它不适合于假命题，以免落入以伪证伪.形式逻辑告诉我们，反证法的切入点要格外小心，不要落入反对关系的陷阱中，首先要检验假设与原结论是否构成矛盾关系，逻辑代数则明示了这一点，即在新命题的证明中，原命题与新命题证明的等价性.
下面举例说明第一点，即反证法的适用范围.
如：如果正系数二次方程
与正系数b＞0矛盾.所以α=0.
显然α=0时，原方程为bx+c=0，该方程不但没有两个不等的实根，一个正实根也没有.这里因为原命题不是（1，1，1）型命题，条件假，不能用反证法证明该类命题.这时数学实验被引入歧途.再反思数学实验，它是我们把具体实验抽象化，它的设计和操作就是对具体实验设计和操作的模拟，因此这种实验必须有一个具体实验操作的原型.
这种实验所应用的理论分析和计算方法来自于具体操作的经验和有关的数学知识.如果要检验的是具体结果，那么计算的方法或公式就应是已知并成立的，反之，这种思想实验就只能是猜想.