《周易》的数学之光，本文主要内容关键词为：周易论文,之光论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、华夏各部谱牒制度的多元进位法
摩尔根在《古代社会》中详细揭示了古印第安人、古澳大利亚人、古希腊人和古罗马人的氏族社会组织，给出了一个个有严密数字系统的氏族谱牒。《圣经·旧约·民数记》等章节，也以极为精确的数字记录了古希伯莱人的氏族谱牒和军队编制。王钟翰主编的《中国民族史》同样以更为精确的数字记录了我国少数民族的谱牒世系。而源远流长的华夏先民们，他们精确的谱牒世系记录在哪里呢？凭着民族学、考古学和先秦文献学的导引，我们终于在人类历史的“科罗拉多大峡谷”谷底，找到了标识和记录华夏先民各部族谱牒制度的“天书”——发掘出土的陶器、骨器、玉器、漆器、龟甲、蚌壳等文物上面的刻画符号和图案纹饰。请看下列简表
表一：
进位法
特点
标识文物
民俗沿革
一进制
一一数之
西安半坡遗址陶片上三角数字塔
嫡系子孙
二进制
二二数之
河姆渡骨梳上“双凤朝阳”图长（中少）男（女）
三进制
三三数之
陕西西乡何家湾三人组人面纹骨管
三公九卿
四进制
四四数之
半坡遗址四鹿纹彩陶盆
四岳《周礼》四官
五进制
五五数之
青海大通上孙家寨5人一组舞蹈盆
公侯伯子男
六进制
六六数之
大汶口墓地透雕花瓣纹6孔象牙筒
六兽六律六亲
七进制
七七数之
大汶口灵山族玉壁七涡纹
七庙制度
八进制
八八数之
半坡人面网纹盆口沿刻画
八元八恺八旗
九进制
九九数之
陕西黄龙西山双鱼“米”字或九州、九鼎
“井”字纹罐
十进制
十十数之
常州民进寺墩良渚文化焚10 夏、商帝系
璧敛葬墓
十一进制 十一十一数之 巢湖薛家岗文化11个鸟纹鸟 韩信点兵（5、6、
形壶
7）11人一列
十二进制 十二十二数之 大汶口墓地M132墓主握12
十二姓、十二律
枚獐牙
十三进制 十三十三数之 青海西宁宗日遗址13人一组 王在门内祭闰年
舞蹈盆
由上列简表可得以下几点启示：一、华夏各部族仰韶时代的谱牒制度是多元化的，即从一进制、二进制直到十三进制等。随着社会组织的不断扩大，部落联盟和方国中兼容了两种以上谱牒编制并形成了新的统一的更高级别的谱牒制度。二、各种谱牒标识符号和图案纹饰是极其丰富多彩的。首先是用数目直接表示的三角形圆点、人面纹骨管、舞蹈盆、笄簪上的凹槽或刻画等；其次是各种仿生的动物、花草，如鸟形壶、灵山玉璧、庙底沟漩花盆等；再就是通过拟形级数、筮法等数学方式产生的几何图形，如神奇正方形、五角形、亚字形、“□”形、“×”形等。三、不同进制的谱牒世系，作为“户口”和“军册”逐渐被编制在卜龟和蚌饰卦画内，作为随身佩戴的印信。正是这种编制过程，使得谱牒、不定方程组和筮法很自然地结下不解之缘。
二、筮法——二进制与多元进位制的换算
《说文解字》：“筮，易卦用蓍也，从竹巫”，段注云：“从竹者，蓍如筭（读算），筭以竹为之；从巫者，事近于巫也。”也就是说，筮是巫师们用竹筹进行的特定数字运算。它有两个作用：第一、根据现实社会的谱牒类型，通过数字换算，化繁为简，归纳新的谱牒制度及其标识；第二，用计算所得符号（谱牒标识）来表示历法，所谓“揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰”，说明筮法与历法密不可分。
《易系辞上·第九》：“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰”。这就是占筮过程中“一变四营”程式。49策，四四数之，可得一等差数列1，5，9，13、17、21、25、29、33、37、41、45、49，这恰好是1至13进位制第五项的基数，表二的第5纵行，即五服血亲的终始代。巫师们仅用49策，四四数之，即可以四进制代替所有1—12 种进制的谱牒类型。这是多么绝妙的一个创造！
表二：
1、2、3、45
6、7、8……
1、3、5、79
11、13、15……
1、4、7、10
13
16、19、22……
1、5、9、13
17
21、25、29……
1、6、11、16
21
26、31、36……
1、7、13、19
25
31、37、43……
1、8、15、22
29
36、43、50……
1、9、17、25
33
41、49、57……
1、10、19、28
37
46、55、64……
1、11、21、31
41
51、61、71……
1、12、23、34
45
56、67、78……
1、13、25、37
49
61、73、85……
………… …… …………………
1、26、51、76
101
126、151、176……
三变而成爻（“十有八变而成卦”）：“一变之余策，不五则九，五以一其四而为奇，九以两其四而为耦，奇者三而耦者一；二变所余之策，不四则八，四以一其四而为奇，八以两其四而为耦，奇耦各四分之二；三变余策与二变同。”“三变”的过程实质上就是利用余数和归纳法将四进制换算成“奇”、“耦”二进制的运算。
根据“三变”所得余策的“奇”、“耦”概率，画爻于版：三奇为口（老阳），两奇一耦为一一（少阴），两耦一奇为——（少阳），三耦为×（老阴）。又根据过揲之策36、32、28、24，序以九、八、七、六级数。以上四种几何图形符号既具有序数特点，又含有阴阳数量的标度，因而被巧妙地用于历法的精确编制。
值得注意的是，筮法所得余数13、17、21、25又可看做是13＋3a数列，17＋4b数列，21＋5c数列，25＋6d数列（见表二）。若求其公共谱牒进制，就可按“剩余定理”将其列为一个不定方程组来求解：
附图
然而华夏先民们在当时极有可能是采用简易的数列法来推算的。
先看满足①和②的N：
满足条件①的N可看做是首项为16、公差为3的等差数列，即16、19、22、25、28、31、34、37、40、43……
满足条件②的N可看做是首项21，公差为4的等差数列，即21、25、29、33、37、41、45……
所以，满足①和②的N为首项25，公差为12的等差数列，即N＝12n＋13⑤
再看满足③、④的N：
满足条件③的N的首项为26，公差为5的等差数列，即26、31、36、41、46、51、56、61、66……
满足条件④的N为首项为31，公差为6的等差数列，即31、37、43、49、55、61、67……
所以，满足③和④的N为首项为31，公差为30的等差数列，即N＝30n＋1⑥
同理，满足⑤的依次是25、37、49、61、73、85、97、109、121、133……
满足⑥的N依次是31、61、91、121、151……
所以，满足⑤和⑥的N为N＝60n＋1，即“四象”的公共解是一个公差为60的等差数列，它是比旬日历、星期历、月相历、时候历更精确更直观的历法单位——60甲子。在多元进位制与二进制的换算——筮法出现后，这种60进位制的产生，当是势所必然。根据筮法所设求的不定方程组即为世界上最早的“剩余定理”，我们姑且称之为“巫咸定理”。
三、60甲子与天球坐标系
干支表最早出现在商代牛骨上，一般认为它起源于夏代。但《世本·作篇》却说：“黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区氏占星气，伶伦造律吕，大挠作甲子，隶首作算数，容成综此六术，著调历。”又说，“巫咸作筮”《史记·五帝本纪》说：“（黄帝）获宝鼎，迎日推策。”这就是说，黄帝（仰韶文化）时代，就已经出现了筮法和60甲子。由于在黄帝时代的文物上没有发现类似商代牛骨上的文字记载，所以60甲子的起源也就成了一桩疑案。
1978年发掘的曾侯乙墓中有一个重大发现，即陪葬的漆木箱表面画着一幅天文图象：中间为北斗星，四面为28宿和青龙、白虎、朱雀、玄武（没入地平线下）四象。1988年第11期《文物》又发表了一个震惊世界的消息：河南濮阳西水坡遗址45号墓及其周围相关墓坑，发掘出距今6000多年的“天文图”，“图”的中央是一副人骨架，其东面和西面是用贝壳拼塑的龙和虎，北面用死者的一节胫骨和贝壳摆成的三角形构成北斗星，南面是相关的另外一座童子墓。经专家和学者考证，确定为仰韶文化时期的天文“四象”及历法图。这两幅天文图，“四象”相同，构成该“四象”的28个星群都是位置不变的恒量，故可断定，仰韶时代的华夏先民们业已建立了四象28宿的坐标系，用以确定日、月的运行周期。与郯子之祖凤鸟氏一样，占星之族臾区氏各部各司天职而分祭其中一个星宿，于是就产生了28宿历日法与星宿分野说。
“巫咸作筮”。巫咸是谁？说法不一。有说是黄帝时巫师，有说是尧时巫师，还有说是殷的巫师。弄清这一点，非常重要。我们认为，应该以第一种说法，即司马迁的“迎日推策说”为是。理由有三：第一《国语·晋语》说，黄帝有子25宗12姓，其中有咸姓。咸、葴、鍼为古今字。“咸”字12个义项，皆与筮法及其影响有密切关系；葴字除多一“马蓝草”义项外，与“咸”音义完全相同。所以巫咸即巫葴，即以马蓝草为族徽、以蓍草为葴（针椎）策进行筹算的祭司部落。第二，仰韶文化彩绘符号中已出现□（老阳）、×（老阴）ㄧ（少阳）、↑（少阴）等卜筮“四象”符号。第三，大量出现半坡人面网纹盆口沿八卦格式。这些陶盆若盛满清水，就可以夜鉴星宿，成为一个个简易“浑天仪”呢！
“大桡作甲子”。从“天文图”可知，黄帝时代龙、虎等十二地支的概念已完全确立。在几千乃至上万年的渔猎畜牧活动中，先民们早已熟知许多动物活动的生物钟以及对昼夜相对长度有特殊反应（如鱼的回游等）的光周期现象，因而能够排出它们一昼夜某种活动的先后顺序；在长期的采集种植实践中，先们民对一年内草木稼禾的甲乙丙丁戊已庚辛壬癸十个生长发育阶段更是司空见惯。干支两种序数相结合以适应筮法60进位历日的需要便是很自然的事。尽管当时文字尚未成熟，但不能说甲子制度就不能以语言和别的形式存在，黄帝十二姓中不是就有“己”、“酉”二姓吗？
根据结绳纪事的传统和卜龟纪世系的经验，黄帝天鼋氏大概就最先巧妙地利用卜龟来排列60甲子：用背甲纳天干，用腹甲纳地支，腹背配合，六甲六旬。各旬之内或腹甲依次“二孤”（灼钻）：戌亥、申酉、午未、辰巳、寅卯、子丑；或腹甲依次“二虚”（不灼钻）；辰巳、寅卯、子丑、戌亥、申酉、午未，或灼或空，具可序六甲之先后，别双系之世系。只要“身怀六甲”，便知两个月内历日次第，世系组织和历法精度因此更加严密。从“夸父逐日”的艰苦探索，到“羿射九日”旬历的衰亡，大约经历了1000多年，文字甲子才最终代替了神秘的卜龟圆点钻孔，难怪期间有一个广泛学习而传告的帝喾时代呢！60甲子历日法为尧舜夏商时代科学置闰奠定了坚实的基础。
四、老子级数与0.618及拟形四角数
东方智慧巨人老子在地他的著作中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴以抱阳，冲气以为和。”作为道家鼻祖，这段话的意思应该是说，自然界造就了男和女，男（——）、女（——）结合为父母，生出长男（女）、中男（女）少男（女）女儿卦，女儿卦（单卦）又生出重卦孙女儿卦，孙女儿卦又生出 11520过揲之策。代表氏族谱牒和四时物候的卦爻筮策无一不是阴阳对立的统一体。老子只用了一数学层阶级数，就高度概括地说明了唯物辩证法的基本原理，真可谓言至简而意至赅矣！
附图
需要指出的是，老子的层阶级数还包括另外两种表现形式。第一种就是多元进位与十进位相结合的“祖宗周祭法”，如右图。“别子为祖，继别为宗”，我们用图中的·点代表嫡子，用O点代表别子，用A、B、C、D、E……代表世系的各层阶。于是有A·＋B·＝C·
B·＋C·＝D·
C·＋D·＝E·……
同样，B[，0]＋C[，0]＝D[，0]，
C[，0]＋D[，0]＝E[，0]……
故A总＋B总＝C总，B总＋C总＝D总，
C总＋D总＝E总……………………
各级世系层层嬗递，宗庙制度中也就相应产生层层立庙和毁庙的周祭法典。根据这种“周祭法典”，则有1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21，13＋21＝34，21＋34＝55，即第九代有55个部族。《易系辞上》说：“天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”这就是“怀姓九族”或“斐波那契”数列的源头。
不难看出，这种“祖宗周祭”或“怀姓九族”数列有一个特点，即从第三项起，每一项都等于前两项之和。它有一个重要性质，即相邻两项的比值，越靠后其值越接近0.618黄金律，符合树木年分支规律和达尔文生殖繁衍呈几何级数的学说。因而华夏先民们就利用花木分枝的规律巧序世系，作为图腾标志或族徽加以祭祀。《山海经》中记载的许多神木，《礼记·礼运》中关于“晋时恒山大树自拔，根下有璧七十，圭七十三”的记载，三星堆出土的祭祀神树，庙底沟等仰韶文化陶器上的漩花叶纹，就都是这种“神木周祭”的证据。它是比筮法更为古老的一种谱牒制度。更重要的是对0.618的认识，先民们早就由感性上升到了理性，即用“三分损一”和“三分益一”的黄金律制造出了世界上最早的骨笛、笙管、钟鼓等乐器。可见，把这种数列称做“斐波那契数列”是很不妥当的，而应正名为“中华神木数列”或“中华古乐三一律”！
老子级数还有一种极为重要、极为生动的表现形式，即树木分枝的0.618法为“道”，生等差百茎蓍草为“一”，由百茎蓍草“一”生拟形四角数为“二”，又由拟形四角数（神奇正方形）生四角垛“三”，依次生生不息，乃至千万。
《尚书大传》说：“蓍之为言耆也，百年一本生百茎。”《史记·龟策列传》也说：“蓍百茎共一根。”《说文》说：“蓍，蒿属，易以为数。”《中国植物图鉴》说是“多年生草木”。它的中央主茎一年分一枝可序一世代，百年百茎可序百代，百代百官。与中央主枝同龄的所有当年枝总数与所有上年枝总数的比值皆为0.618，百代皆然，可用“周祭图”及其公式推算。然而华夏先民们另辟蹊径，将中央主茎一百节（分枝）按二进制分为天干十大区，每区就必然递增两代分枝总数或两个“官长”，这样就可神奇地将一个100项等比数列转化为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，等差数列。由这个等差数列又可以生成拟形四角数1[2]、2[2]、3[2]、4[2]、5[2]、6[2]、7[2]、8[2]、9[2]、10[2]。这些个边长递增的“神奇正方形”，6000年前就已经被画在祭祀陶器上、龙纹族徽上、“护身”符玉上，根本原因就是它既代表谱牒族属，又代表族属分布所封的土地面积，是各级官长的印信或权力象征。远古布族封地的制度我们从《诗·大雅·绵》古公璮父迁歧的史迹中可窥其一斑。根据拟形数的定义，由四角数（神奇正方形）又可生成四角垛1、5、14、30、55、91、140、204、285、385，其通项公式为S＝n（n＋1）（2n＋1）。 这是更为高级复杂几何图形化的老子级数，上粗下细的“玉琮王”就是四角垛的形象造型。
总之，所谓“生生不息”的老子级数，就是包括三级“周祭”、三级拟形和三级卦画的层阶级数，亦即祭祀神树、神奇正方形和八卦六爻的数学法则。它是老子哲学的基石，也是《易传》多次强调的天、地、人“三才”的本质涵义。
五、天圆地方与不定方程集成解析式
“天圆地方”是东方哲学特有的世界观、具有深刻的数学内涵。从半坡人面网纹盆刻画符号，《周易》64卦伏羲式排列，到秦半两圆形方孔钱币，一脉相承，渗透在社会生活各个阶段的各个方面。
十二进制以内谱牒，根据“大衍之数”都可以转化为“□、——、—、×”四象，进而变生出八卦和64卦。百代宗法树亦可根据百茎蓍草法、拟形四角数（神奇正方形）转化为十干（河图）或九黎（洛书）。由“河图洛书”生成的385 族四角垛嬗递一级即为384族，通过8×8×6格式又可转化为符号八卦。
“别子为祖”，为天，为圆，为璧；“继别为宗”，为地，为方，为琮。根据“祖宗周祭图”可知，外方内圆，上粗下细的“玉琮王”，即为嫡宗生别子的“玉皇”谱牒。这个十三进制的“玉皇”帝系，向下嬗变一级即可化为十二进制的“大衍之数”，然后化为外圆内方的64卦。
可见实物八卦、数字八卦和符号八卦及其外方内圆、外圆内方等等表现形式皆可通过一定的数学法则相互转换。
在河图洛书四角数中，以3[2]九格正方形对角线交点为圆心，以对角线为直径，可得一外接圆。这样对角线与“四象”所组成的“八方”之圆与九格正方形，就可以看作是一个代数式的两个近似图形，故“八、九”在筮法中被当作方和耦，画作“——”；同理，10[2]的正方形可以看作以五为半径的内切圆，或四个25格的大正方形，故“四、五”在筮法中被当作圆和奇，画作“——”。“大方近圆，小圆近方”。伏羲女娲持规矩，蚩尤八十一兄弟，二进制之根源盖出于此。
天圆表示八卦，地方表示九宫。它们或同载一物，如半坡人面网纹盆；或单独出现于龟甲蚌饰。其它如三角形、树杈状、菱形网等纹饰标记，皆可视为卜龟拌蚌的变形。八卦九宫是谱牒世系与四时星象相结合的记录，它按照阳消阴长的顺序从“朱雀”排到“玄武”。大汶口文化著名的象牙梳上雕刻的卧“8”字，即∽形， 就是这样一个八卦排序的指示符号。“九宫填数”中三数之和恒为十五就是冬夏春秋阴阳平衡互补的数字化反映，因此又叫“洛书数”。
灼龟见兆，“洛书”即现于龟甲。“兆”，在甲骨文中是个象形字，意为左右肋甲上记载的世系灼孔应列为阴阳相对的一副，绕脊甲围成“洛书”式九宫。《礼记》说“（太公）五世返葬于周，以从先人之兆”，是说通过二次葬，入祖庙神位而钻龟于庙堂。龟有大小等次，兆有左右先后与孔径粗细，所谓“先天数”和“后天数”，是后人按伏羲八卦和文王八卦排列的卦序。安徽含山出土，距今5000至4000年的玉龟八卦图，十分明确地揭示了龟与八卦密不可分的关系：玉片夹在玉龟的腹甲与背甲之间，上刻四个大箭头与八个小箭头，代表四面八方。“四面”向内刻有大圆，大圆之内有“八方”，八方向内又有小圆，小圆之内又有四面或八方，这是一个“玉皇”式八卦布局。玉片八卦的四侧边有钻孔，上四下九，左右各五，当是龟左甲序9、2（8）、7、6，右甲序4、3、8（2）、1，与脊甲合为“九五、四五”九宫之数；左右各五孔，或指边长为五的两个正方形，即余策和过揲之策各25的“大衍之数”，或指奇耦各五的“河图”八卦。总之，玉龟八卦是以龟兆序八卦表世系的，即数字八卦系统。
符号八卦大体经历了三个阶段：半坡人面网纹盆为代表的椎笄抽象符号“ㄧ↑”为第一阶段，向下大概延续到颛顼时代；姜寨葫芦瓶和庙底沟漩花盆为代表的抽象花草会意符号“÷
”，为单卦和重卦之雏形的第二阶段；公元前3000年左右的陕西蓝田泄湖遗址陶片上“
”卦等刻画符号，当是在前两个阶段的基础上，结合姜寨为代表的大房子、小房子居室婚俗，创造出父、母、长男（女）、中男（女）、少男（女）八卦卦画及其重卦，这是符号八卦的第三阶段，即成熟阶段，大约是在帝喾时代。喾，《说文解字》说它“从学，学从教，教从爻”。爻是两“×”上下相连续的意思。“×”是古文“五”字，所以“爻”就是用卦象符号来表示十代谱牒或河图八卦。周初蚌饰卦画给我们传递了一个十分重要的信息，即这种8×8×6爻系统是以蚌饰卦画来规范传播的。因为蚌壳上的轮腺表示该蚌的遗传世系并与三角形“周祭图”形神兼具谱牒功能，所以在山顶洞人蚌壳项链和周初的蚌饰卦画之间，蓝田泄湖陶片上出现的卦画符号极有可能出现在当时的蚌饰上，以保持其悠久传统的连续性。其次，由于蚌壳是成对的，所以最能体现“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射”的阴阳对立关系。又由于少昊氏凤鸟部落24官职与帝尧蟠龙部落26纹章皆为25进制384爻的谱牒系统，并以其职官司天占星气，历日置闰，所以在帝喾时代最有可能以四蚌八判式单卦中间加一块“∽”纹玉石来表示64卦384爻。至此， 一个个不定方程的集成解析式或二进制逻辑数码就这样巧妙地藏在了项饰卦画上，记到了人们的心坎里！
六、24官职与巫筮四法
黄帝25子以德为十二姓，即以发笄（姬），庙祭（祁），占筮（葴）、生肖（酉）、五服（己）、花草（滕）、九族（壬）、旬历（荀）、衣裳（依）、舞蹈（僖）、云髻（姞）、玉佩（儇）序其世系，历其日月。大汶口王因墓地M243分三层安葬24人，M240分排安葬23人，当是“五世归葬，以从先人之兆”的庙祭盛典。少昊氏五凤五鸠五雉九扈，“三五交互，错综其数”，构成部落、胞族、氏族24官职的三级图腾系统。春夏秋冬，分至启闭，农桑手工，各有职司。有虞氏四岳六卿十二牧，与舜帝共为23君长，即“大衍求一”的“孙子定理”公共解N。此22 人戴帝舜而咸成其功，依筮法而序列九品，故“箫韶九成，百兽率舞”，以颂其德。
12姓第五代为49姓，合“大衍之数”。25子即25进制，第五代为101子， 合“蓍百茎共一根”。24官职双系制可下分为48族，第九代为385族，合河图、 洛书的四角垛数。23君长，合“孙子定理”的公共解数列。而以上四种数字运算均可用“八卦九宫”的格式加以简化。《礼记·月令》以明堂九宫十二月、天地人生态大环境，形象地阐释了黄帝以来龙凤各族24官职谱牒系统社会活动的数学模型。
这个24官职及其司天而产生的节气天时，就是占卜中的“前辞”，它代表着天圆地方、三才合一的自然系统，即所谓的“道”，是先民们长期观察和归纳的结果。占问某事即占卜中的“命辞”，它是根据“道”这个大前提和占问某事这个小前提依次在大、中、小三个层阶范围内来进行演绎推理的。“占辞”则是根据演绎推理的结果及子姓兄弟会议表决的“旅占”来进行概率统计，以分析判断拟行之事的吉凶程度。“验辞”是在实施卜问之事的实践活动中，分六步重复上述归纳、演绎和概率统计三连环思维程式。“卜中为用”，验证了的事情，又被归纳到天道这个大系统中充做数学模型的一个数据。“变卦”的实质就是在调整天时，以求得主观与客观相统一的尝试性思维活动，它与“三连环”思维合起来就是华夏先民在远古认识世界的“巫筮四法”。
24官职既是一个合成的“龙生九子”（九宫）大系统，又是“百鸟朝凤”的24个分系统。每个分系统积累的生产生活经验，又构成了各自系统的数学模型，用现代电脑网络的话说，这就叫做“打底线”。这个过程促使着社会的不断分工和科学的不断分类，如所谓的72行、360行及医学、农学、营造、百工、音乐、 美术等等。《周礼》百官、诸子百家和《史记·八书》记录了这种科学分化的结晶与成果。24官职的这种宏观与微观发展趋势，使系统论范畴愈来愈大，也愈来愈精确，于是微积分的胚芽也就在其孕育中渐渐萌动了！