（华北电力大学，北京 昌平区 102206）
摘要：发电机采用二阶模型时，转子摇摆运动方程是一个关于功角 的二阶常系数非齐次非线性微分方程，工程上常用改进欧拉法对其进行迭代求取相轨迹数值解。针对改进欧拉法迭代精度与效率矛盾的情况，提出了利用函数拟合关键区间的方法，通过R方校验，确定了最优拟合解析式，并提出了基于LU分解法的拟合函数系数的实用计算方法。
关键词：转子运动方程、相轨迹、拟合优度、LU分解法
1绪论
在利用相轨迹凹凸性特征进行暂态功角稳定评估时，往往需要涉及相轨迹的计算和求解。求取功角相轨迹的实质就是解发电机的转子运动方程，传统计算相轨迹的方法多采用改进欧拉法进行迭代求解，受限于迭代法的精度、速度、效率局限，实时计算的效果不够理想。
本文通过对功角相轨迹的形式进行数学分析，发现功角相轨迹的图形形式可以较好的用初等函数形式拟合，通过数值分析，得到了最适合拟合的函数表达式，并根据函数表达式特点，提出了用于计算函数表达式参数的实用计算方法。
2拟合函数形式的确定
2.1改进欧拉法求数值解
(2-1)
对于简单电力系统中，在考虑系统阻尼的情况下，发电机转子运动方程为含有两个一阶微分方程的方程组 （2-1），只要对其同时进行求解计算即可。用改进欧拉法[1]计算简单系统功角相轨迹的数值解结果如图1。其中A点代表起始点，B点对应的是平衡点，C点对应的是不稳定平衡点，D点是设置的功角阈值对应的转速最大点。考虑在应用功角相轨迹进行系统稳定性判定时应用的是平衡点过后，即B点以后的特性，因此本文只对B点以后的曲线进行分析。
图1功角相轨迹图
2.2最优拟合函数确定
利用改进欧拉法在求取到功角相轨迹后，得到功角相轨迹的数值解形式，根据2.1中分析，不考虑A-B段情况下，考虑对B-C-D段进行数值拟合处理，利用数值信息确定最佳拟合函数形式。分别尝试B-C、C-D、B-C-D的拟合。利用数值分析工具SPSS进行线性、对数、倒数模式、二次曲线模型、三次曲线模型、复核模型、次方、S、成长模式、指数模式的拟合。
根据相关文献，模型摘要中的 
是决定系数[2]，表示拟合函数的变动中可以由自变量的变动来解释的比例，它是回归线对各观测点拟合紧密程度的测度。在对B-C段、C-D段、B-C-D段拟合中，均为三次曲线模型的效果最佳，由此确定三次曲线模型为B-C-D段拟合的最佳拟合表达式。
（2-2）
3拟合函数的实用计算
三次曲线拟合是较为合适的一种求取近似功角相轨迹的方法，但在此模型下，仍需要计算四个点，再利用4个点解线性方程组求取表达式系数
。为进一步增加该方法的计算效率，结合曲线、拟合表达式特点，提出了一种基于三角分解法的实用计算。
3.1三角分解法
LU分解是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。其中L是下三角矩阵，即主对角线上的元素全部都是0的矩阵。U是上三角矩阵，即主对角线下的元素全部都是0的矩阵。
得到了矩阵的LU分解之后，可通过计算下三角矩阵L的逆矩阵L-1、上三角矩阵U的逆矩阵U-1及他们两个的乘积就能得到原始矩阵A的逆矩阵A-1。如公式(3-1)：
(3-1)
虽然LU分解是高斯消元法的一种表现形式,但是相对于高斯消元法,LU分解更易于实现并行化,因为LU算法能够根据分块矩阵的原理将原始矩阵进行递归的分解,从而实现矩阵的并行求逆算法,因此本文选择了LU分解法作为矩阵求逆算法的基本算法理论。
3.2最优拟合函数计算
由2.2分析，B、C两点可以根据其处于平衡状态求得其横坐标，D点横纵坐标都已知。由于近似拟合的解析解是三次函数，因此还需要在B-C-D曲线上求得一点，才能确定最终的三次曲线表达式，可以利用欧拉法迭代一次求得第四个点，下面分析假设该点为E。
B、C、D、E四点坐标为 
利用三角分解法（LU分解）[4]快速求取待定系数，确定稳定域的近似解
令： 
则有：
(3-6)
则有：
(3-7)
根据上三角矩阵、下三角矩阵的性质，可快速的计算出系数向量k。
4结语
本文针对发电机转子运动方程为非线性、非齐次方程，没有解析解、求数值解迭代复杂的情况下，提出了利用三次曲线拟合关键区间的方法，在满足判定稳定性需要的前提下，提出了一种简化了的曲线关键区间的实用计算方法。
采用实用计算法进行计算，只需计算4个点便可求出功角相轨迹的拟合曲线，减少了计算量，为实时判断奠定了一定的基础。
参考文献
[1]赵冰,杜道平.基于改进欧拉法的电力系统暂态稳定分析[J].硅谷,2013(11):85-85.
[2]胥雪炎,李补喜.不同被解释变量选择对决定系数R^2的影响研究[J].太原科技大学学报,2007,28(5):363-365.
[3]赵祥宇.基于Spark平台的大矩阵LU分解及求逆算法的研究与实现[D].北京交通大学,2016.
[4]张永杰,孙秦.大型稀疏线性方程组符号LU分解法[J].计算机工程与应用,2007,43(28):29-30.
作者简介：李黛睿（1997年8月—），女，湖北省襄阳人，华北电力大学电气工程及其自动化专业本科生。
论文作者:李黛睿
论文发表刊物:《知识-力量》2018年8月上
论文发表时间:2018/7/23
标签：矩阵论文; 轨迹论文; 函数论文; 曲线论文; 解法论文; 数值论文; 系数论文; 《知识-力量》2018年8月上论文;