整体建构分数意义的教学行动研究，本文主要内容关键词为：分数论文,意义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
小学阶段对于分数的学习要跨越三年级到六年级，对分数意义的理解显性地编排为两个阶段，第一阶段是分数的初步认识；第二阶段是分数的再认识（或称之为分数的意义）.学生对分数意义的理解是如何逐步加深的？如何整体设计教学促使学生更好地建构对于分数的理解？这些都是需要认真思考和实践的问题. 一、研究的缘起 关于分数的意义，实践中出现了一个“有趣”的现象：教师们往往把此仅仅定位在五年级分数单元的起始课；而且学生在这节课中几乎看不到困惑，但在后面的分数运算、分数解决实际问题时却出现了比较大的困难.初想起来，学生学习分数的意义似乎并不难，不少教师认为不就是分数的定义吗，即“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数”.但知道了这个定义，学生还是存在着不少的困惑.下面列举两例. 案例1 怎么会有假分数的存在？ 研究者曾经在学习了分数定义后询问过一些学生“你是如何理解
的”，他们一致表示不能理解为什么会有这个分数，理由是：“把整体平均分成了3份，如何能取到4份呢？一共才有3份呀？”研究者启发他们体会定义中“表示这样的”的含义，但作用不大. 案例2 分数是数吗？ 当学生完成类似“1÷3”的题目时，都会尽量使用小数来表示结果，而不愿意使用分数，即使结果为循环小数.研究者访谈了一些学生，他们的理由是“分数是一个数吗？能表示运算结果吗？”看来学生即使记住了定义，但对于定义中“表示……的数”并不关注. 许多有经验的老师都提出要想帮助学生克服这些困难，关键还是要使他们真正理解分数的意义.有关研究也表明了中国学生对分数运算等的规则较为熟悉，而对分数概念的理解还较为生疏[-2].总之，关于分数的意义学生到底要理解什么？设计什么样的系列活动能够促进学生的理解？这构成了研究所关注的问题. 二、整体把握分数的意义 有学者认为造成分数理解困难的主要原因是分数概念包括了多重意义[3].史宁中提出理解分数意义的两个基本方面[4]：“就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数.而后者是小学分数教学的重点.因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性.”Kieren的研究提出分数的5个构想（subconstructs）[5]，即部分/整体、比率、商、度量和运算，这5个构想不但彼此互相关联，而且还可以从不同的观点来解释分数的意义.Dckson、Brown和Gibson对分数的研究也有相同的看法.他们认为分数概念应该用5种形式表达[6]：部分/整体、子集/集合、在数轴上两个整数间的一点、除法运算的结果、两个量的比.研究倾向于从4个方面来完成对分数意义丰富性的认识，即比、测量、运算和商. “比”是指部分与整体的关系和两个量之间的（比的）关系.那么对于“比”方面的认识，从第一学段到第二学段有哪些进步呢？ 第一，从“数量比”到“份数比”.请看下面的例子.
“测量”指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果.例如
里面有3个
，就是用
作为单位测量3次的结果.从测量方面体会，可以大大丰富学生对分数的认识，也可以直接作用于分数加（减）法的学习中.有的观点还认为[9]：“如果要理解用数线来表征的分数的测量意义，儿童必须对给定的测量单位同时进行分割，重复和整合.对分数的测量意义的理解意味着必须把分数理解为一个‘数’，它是连续的，可无限分割的.这与儿童已有的整数概念是有质的区别的”.
“商”主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算. 以上4个方面相辅相成，共同承担着学生对于分数意义丰富性的认识.“就有理数的理解而言，不能停留于某种特定的解释，也不能将所说的各种解释看成互不相关、彼此独立的；恰恰相反，只有将有理数的各种解释（或者说，相应的心理建构）很好地联系起来才能达到真正的理解”[10]. 三、分数意义教学的整体设计 整体设计的一个重要任务是“设计出系列学习活动”[11].由上面的分析不难看出，学生对于分数意义的学习绝不仅仅停留在五年级的起始课，因此，研究整体设计了五年级的6节新授课，共同承担了对于分数意义多个方面的学习（需要说明的是，在这6节新授课期间，3所学校还根据不同学校学生的实际情况，安排了2～3节的练习课）. 1.设计系列课体现分数理解的多个方面 第一节课：分数再认识（一）.这节课的定位是进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”，这是上文提到的分数“比”方面第二学段比第一学段的一个进步. 第二节课：分数再认识（二）.侧重分数的“测量”理解.首先，从测量的角度体会分数的产生，在此基础上认识分数单位，将分数看成分数单位累积的结果，体会分数单位的作用.最后将分数单位与以前学习的长度单位进行联系，体会“单位”的意义.相对以往教学，这节课将分数单位的学习大大丰富，扩展成为了一节课. 第三节课：分饼.用分数表示分得的结果，解决例如“3张饼（或9张饼）平均分给4位小朋友，每位小朋友分到多少张饼”.在此过程中，也将了解真分数、假分数和带分数.这节课还涉及将关系与具体数量联系在一起的题目，比如“3张饼（或9张饼）平均分给4位小朋友，每位小朋友分到多少张饼？每人分得的饼占所有饼的几分之几？”.对于此问题是否应该作为五年级学生必须学习的内容，研究者持保留态度，但由于此内容经常作为考试要求，因此在这次研究中也包括了. 第四节课：分数与除法.从“运算”和“商”的角度认识分数，体会分数与除法的关系.既认识到分数可以表示运算的过程，同时又是运算的结果.在此基础上，运用分数与除法的关系进行带分数与假分数的相互转换. 第五节课：分数的基本性质.在分数基本性质的探索和验证中，运用了前面学习的对于分数理解的不同方面（或者从图中部分与整体的关系中直接看出；或者利用商不变的规律），再次加深对于分数意义“比”的理解. 第六节课：两个量之间的关系.分数的一个重要作用是刻画两个量之间的（整比例）关系，这也是解决实际问题的重要基础.而前面几节课的重点都是刻画部分与整体的关系，所以特别增加了这节课，使学生对于分数“比”的方面的理解更加全面，也丰富了学生刻画两个量之间关系的角度和方法.同时，和第五节课一样，在刻画（整比例）关系的过程中，学生将再次运用对于分数理解的不同方面. 实际上，虽然这6节课在定位上互有侧重，但它们之间互相补充和促进，共同支撑了对于分数“比、测量、运算、商”等方面的丰富理解. 教学设计的合理性，最重要的依据是学生的学习效果.研究者选择了北京市海淀区3所不同特点的学校（2所市区校、1所农村校；整体学习水平分别为优秀、中等和偏弱）实施了上述6节课，在每所学校选择了实验班和对照班.3所学校实验班的人数分别为36、34、24人；对照班的人数分别为35、35、25人.实验班学生的学习基础均等于或略低于对比班的基础，实验班和对照班教师的水平基本相当.关于这6节课学生的学习效果，见下页的学生学习效果分析. 2.设计挑战性的贯穿整个学习历程的素材 如前所述，分数意义学习的首要定位是使进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”.通过对学生学习之前的前测（见表1），研究者发现对于图形摆放整齐、份数比较明显的情况（如图1-2），实验班与对照班在数量角度和份数角度方面进行刻画都表现得不错.相比之下，似乎数量角度的情况稍微弱一些，分析错误原因，绝大多数都是因为学生数错个数，并不是学生对于分数不理解而造成的.另外，从前测数据来看，实验班与对照班对于分数的理解水平相当，对照班略强于实验班，表示了他们分别的学习基础. 由此，特别设计了“份数”不明显、甚至是每份的数量不是整数的富有挑战性的学习素材（见表2），从学习的第一节课开始就呈现给学生，加深学生对于“关系”的体会：无论1个整体的数量有多少，只要平均分成了4份，每人分到的就是
.这也是这节课与以往教学的不同之处.
下面以一位同学（学生A）的课堂作答为例，说明学生的学习进程（主要呈现的是分8块糖、6块糖、3块糖的情况）.开始时，该同学面对每人分得的块数是2块的情形，运用了“数量比”进行表示；而分得的块数不是整数的情况，不知如何表示每人分得的占总数的几分之几（见图2）.
然后，教师鼓励同学在自己的任务单上，尝试圈画4个人每人分得的块数.图3呈现的是这位同学圈画的情况.
在圈画的基础上，教师鼓励学生整体观察几幅图，体会每人分到的糖数与总糖数的关系.最后，再通过动作表征，请小组4个人每人捂住自己分得的一份，终于同学A意识到每人分得的块数是总糖数的
.在课后写出自己对于分数的理解时，学生A表达了自己“本原”的想法（见图4）.
这位学生虽然没有给出标准的分数定义，但丰富的语言表达了学生对于分数的真正理解，这也代表了他自己建立的“概念图像”. 这一学习素材不仅仅用在了起始课的学习中，而且贯穿于后续的“用分数表达结果”、“分数与除法的关系”、“分数的基本性质”及练习课的教学中，学生对于此学习素材进行了不断深入、多角度的思考. 3.鼓励学生运用对于分数多方面的理解来解决问题 在分数基本性质的探索和验证中，运用了前面学习的对于分数理解的不同方面，再次加深对于分数意义的理解.这一点也是与以往教学不同的地方.以往教学，大多把重点放在了通过例子归纳规律——表达规律上，对于解释为什么一组分数相等采取了比较单一的方式（或者从图中部分与整体的关系中直接看出；或者利用商不变的规律）.而这节课则鼓励学生调动所有对于分数的理解来验证分数相等，在交流中不同的理解角度正是对于分数多方面意义的再次体会.类似的，在分数与除法的关系、运用分数表示两个量之间的关系中，学生都进行了这方面的尝试. 四、学生学习效果分析 如前所述，选择了实验班和对照班进行了学生学习效果评价.通过实验班的前后测对比、实验班与对照班后测的对比，可以看到6节课达到了预期效果.学生对于复杂问题下分数“份数比”的理解、运用分数表示结果、分数测量方面的理解、分数刻画两个量之间的（整比例）关系的结果都明显好于对照班.表3、表4分别是实验班和对照班在分数测量方面的理解、分数刻画两个量之间关系方面的表现.
从表3、表4中不难看出，实验班的得分情况明显高于对照班，说明学生对于“分数测量方面的理解”、“分数刻画两个量之间关系”是需要经历专门的数学活动的.下面，重点分析学生在“复杂问题下‘份数比’的理解”、“运用分数表示结果”的学习效果，为此设计了如下的后测题目. 题目1 把3米彩带平均分给4个小朋友. （1）每个小朋友分到几米？（请用分数表示结果） （2）在下图中表示出其中一个小朋友分得的结果.
（3）每人分得的长度是这条彩带的几分之几？ 题目2 把10块巧克力平均分给3个小朋友. （1）每个小朋友分几块？（请用分数表示结果） （2）在下图中表示出其中一个小朋友分得的块数.
（3）每人分到的巧克力是10块巧克力的几分之几？ 在第（1）、（2）题中，测试了学生用分数表示平均分的结果.之所以在（1）后还要求学生画图表示，是因为考虑到部分学生可能是依靠记忆分数与除法的关系而解决（1）的，无法反映他们是否真正理解了（1）的结果是如何得到的.在第（3）题中，考查了学生在实际情况中没有明显份数的情况下，学生能否认识到无论是多少米或多少块，只要平均分成了4份或3份，结果就是
.后测情况如表5.
从表5的数据中不难看出，实验班的情况要明显好于对照班，说明整体教学设计起到了作用.特别是，实验班的教学反复利用了前文提到的挑战性的学习素材“分糖情境”；在每一次的讨论中，不仅仅关注结果，而是再次鼓励学生操作或画图，然后将画图与分数表示联系起来.而对照班只在第一次学习中，鼓励学生充分经历操作或画图、并与分数表示相联系的过程.这一点从第（1）、（2）题的数据对比中也可以看出，实验班学生画图的情况与分数表示的情况基本一致；而对照班画图的情况明显好于分数表示，看来学生画图获得答案相对比较容易，但不能将画图与分数表示联系起来.实践表明，对于学生理解起来比较困难的内容，适当的“拉长”过程是非常必要的. 再次观察后测数据，无论是实验班还是对照班，学生的后测成绩都不高，特别是分得的结果为假分数的情况，看来学生理解此类问题还是比较困难的.这部分内容是否应作为每个人都应该学会的内容，还值得进一步地思考与实践. 通过学生学习效果的测试和分析，设计的6节课达到了预期目标，通过了实践的初步检验.进一步，系列活动设计的有效性还需要得到更多群体的检验；对于分数的“运算”和“商”的理解还需要加强；学生个体对于分数的理解历程又是怎么样的，需要更为精细的个案研究……这些都值得深入研究和实践下去.
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