问题串逐层递进教学策略--“瞬时变化率”的教学设计与反思_平均变化率论文

问题串层层递进式教学策略——“瞬时变化率”的教学设计与反思，本文主要内容关键词为：教学设计论文,策略论文,式教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、课程地位及设计理念

      本节课在对研究平均变化率，也就是几何中割线斜率的基础上，抽象概括出导数的概念，从而成功地由平均变化率过渡到瞬时变化率.导数的概念是微积分的核心概念之一，是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础.导数是研究事物变化快慢，研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具.本节课的教学主线是渗透其中蕴涵的逼近思想，教学重点是割线逼近切线，得到瞬时变化率的概念.

      基于上述对教材地位和内容的剖析，根据新课程标准中发展学生数学研究意识的基本理念，结合学生已有的知识结构与心理特征，笔者认为这节课应该让学生了解微积分的概貌及其在数学中的位置，经历运用数学描述刻画现实的过程并且理解变化的概念，体验由平均变化率到瞬时变化率的过程，同时也要掌握瞬时变化的概念，探究运用形象直观的“逼近”方法定义导数的过程.

      要使得学生能较为深入的理解本节课的内容，让新课程理念贯彻于课堂，让学生真正的独立自主探究与讨论就必须了解学生的知识储备，只有他们有一定的基础才有独立探究的资本，这些所需的准备条件，学生都满足，因为前几节课学生已经学习了平均变化率的概念，学生对“高台跳水”、“气球膨胀率”、“高空蹦极”等实际背景有了初步的了解，并得到了平均变化率的概念，这都为学习这节课做了充分准备.教师通过问题串的设置，激发学生的求知欲，从而层层剥开新知，体现教师的主导作用，学生的主体地位.

      本节课笔者以“问题串—引导—点拨—建构—巩固”的模式，展开所要学习的数学主题，突出自主思考，探究讨论式学习方法.利用多媒体手段，使书本的图形“动”起来，加强了知识的直观性，并且让学生真正的动起来.

      二、课例重现

      （一）复习回顾，承上启下

      师：同学们，上几节课我们学习了哪些内容？

      众生：变化率和平均变化率.

      师：回答下面2小问：（投影）

      

      （2）平均变化率的数学意义是什么（或者刻画了曲线的什么特征）？

      生2：近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势.

      师：通过以上分析归纳出用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”.那能否精确地刻画曲线上某一点处斜率的变化趋势？

      学生思考片刻，小声回答：能.

      （追问）如何刻画呢？

      设计意图：承上启下复习旧知.复习平均变化率的概念及数学含义，并且设出疑问，给出平均变化率的不精确性，从而引导学生进入探索过程，符合学生认知发展规律，可以激发他们寻求真理的热情，体现新课程理念.

      （二）问题串，引出问题

      师：下面我们就一起来研究这个问题.

      问题1 如何精确地刻画下页图1曲线上P点处的变化趋势呢？

      师：大家通过眼睛能很清楚地看出变化趋势吗？学生思考片刻，回答：看不出来.

      问题2 将“点P附近的曲线”放大后，你看到了怎样的现象？

      学生回答看不清楚.

      追问：再放大呢？

      师：哪些同学愿意把你所看到的向大家描述一下.

      生3，生4：举手愿意描述.

      

      师：通过以上的研究分析，请各个小组给出你们所得到的结论：

      （1）曲线在点P附近有点像直线；

      （2）如果继续放大，这么一条特殊位置的曲线从某区域看几乎成了直线；

      （3）直线l是过点P的所有直线中，最逼近曲线的一条直线.

      师：这种思维方式就叫做“逼近思想”.

      问题3 这对研究曲线在某一点处的变化趋势有何启发？

      启发1 在点P附近可以用直线l代替曲线，即在很小的范围内“以直代曲”.

      启发2 直线l的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”.

      设计意图：（1）上述三个问题通过层层递进的方式引导学生如何研究一点处的变化趋势，让学生明白所要指向的定义是在一个动态变化的过程中完成的，即“无穷逼近”的思想.

      （2）用PPT动画的效果展示具体的例子介绍以直代曲的思想方法，激发学生的求知欲；同时，借助于这些例子还可以自然过渡到瞬时变化率的学习上.

      （三）探究问题，建构新知

      师：下面我们就一起寻找曲线上一点P处最逼近曲线的直线l.

      如图4，直线

，

为经过曲线上一点P的两条直线.

      问题4 试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线？

      生5：

.

      问题5 在点P附近能作出一条比

，

更加逼近曲线的直线

吗？

      师：请一位同学上来画一下.

      生6：如图5所示的

.

      

      问题6 在点P附近还能作出比

，

，

更加逼近曲线的直线

吗？

      众生一起回答：能，并且有无数条.

      师：大家回答得很好，下面我们借助几何画板让同学们直观感受一下.

      师：找几位同学上来点击动画按钮或者拖动点，观察图象的变化.

      

      生7，生8：踊跃举手.

      设计意图：上述三个问题，教师通过提问，让学生在问题串的引导下逐步找到最逼近点P的直线，并用几何画板课件演示，引导学生探究概念生成，让学生对问题从感性认识回归到理性认识，突破对生成切线理解的难点.

      （四）概念生成，深化理解

      问题7 通过几何画板演示，请你说说怎样得到曲线上一点P处最逼近曲线的直线l.

      生9（教师补充）：如下页图7，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线，这种方法叫割线逼近切线.

      

      问题8 如何求出点P处切线的斜率？能否从作切线的方法得到启发？

      生10：用割线斜率逼近切线斜率.

      设计意图：（1）问题7的提出，主要是在通过几何画板的实际演示下，让学生直观感受割线如何一步步逼近切线，理解Q点无限接近P点时候得到切线的原理，从而得到本节课所要解决的问题——瞬时变化率，也就是切线的概念.

      （2）问题8是为了强调割线逼近切线的思想方法，这为以后学生更好的学习微积分打下坚实的基础，也给学生提供主动参与的空间，让学生自己去总结定义本身，加深对概念的理解，提高学习兴趣.

      （五）例题分析，巩固所学

      

      当Δx无限趋近于0时得P点处的切线斜率为2.

      设计意图：通过教师提示，让学生体会利用割线逼近切线的方法，从而求出切线斜率.

      

      设计意图：熟悉解题步骤，通过亲自动手算、动脑思，体验成功的乐趣.

      师：通过上述例题的讲解，下面请同学们归纳一下求曲线上一点处切线斜率的一般方法.

      

      （3）令Δx趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率.

      

      设计意图：帮助学生总结求曲线上一点处切线的通法.

      （六）变式演练，举一反三

      变式训练：运用割线逼近切线的方法，分别求曲线y=

在（1）x=0；（2）x=-2；（3）x=3处的切线斜率.

      生13：在曲线上找一与已知点不重复的点，求出该点与已知点的割线斜率，当两点的横向距离趋近于0时得到切线斜率.（具体解答过程略）

      设计意图：求切线斜率关键是牢牢掌握先找割线然后用逼近思想得到切线，同时通过变式训练题让学生进一步完善解题步骤，有助于学生联系新旧知识，加深对新知的理解.

      

      有一位同学想到了分子有理化，从而使得Δx能够趋近于0.

      设计意图：难度上升，目的是让学生能够深化理解.

      （七）归纳小结，深化认知

      （1）本节课涉及的数学思想方法：局部以直代曲；割线逼近切线.

      （2）会根据定义求曲线在一点处切线的斜率及方程.

      

      三、教学反思

      （一）以“问题串”为课堂主线

      本节课更关注于瞬时变化率的生成过程，通过设置一系列问题，让学生探究得出定义.“问题串”教学法就是围绕着探究目标，通过设置一系列有针对性的问题引导学生反应，在识别学生反应的基础上，采取有效指导，促进学生不断达到探究目标.创设的问题具有阶梯性，并且问题有序地提出，当然在问题的提出过程中也做到了逐步的深入.立足本节课的教学基础上，笔者认为“问题串”的教学有如下优点：

      1.利用问题串激发学生的探究意识，层层递进引出新知

      引导性提问能够帮助教师了解学生知道什么或者能够做什么，帮助学生学会共享探究活动中的信息.在开始一项新的知识时，教师可以运用引导性问题了解学生已有的知识，然后一步步向着所研究的问题靠拢，这也容易让学生接受新知.

      2.通过问题串比较容易识别学生的课堂状态

      在解决问题中，由于学生知识层次的差异，不同学生对问题的理解常常有不同的表现，这些都折射出每位学生不同的知识水平、心理状态和思维能力，教师要认识到这种差异是一种宝贵的学习资源.教师可以根据学生的回答，识别他们的想法，通过恰当的引导，引发质疑，丰富、调整学生的理解，使学生的思路更加明晰.教师如果成功地引导了学生的回答，就在一定程度上识别了学生的反应.教师应该把学生的评论引入到课堂讨论，让学生了解、共享他人的观点，实现对自己元认知策略中漏洞的弥补.

      从教师层面来看，教师应该充分的相信学生，给予学生足够的思考空间，当然这也需要教师课前设置富有讨论性的问题，构思研究环节，从而激发学生的研究热情，达到课堂高效化.

      （二）回归课堂，深层思考

      笔者始终贯彻了学生主体教师主导原则，采用问题串层层递进教学，思考探究式学习.通过对平均变化率解决不了一点处的变化趋势，开门见山的引出瞬时变化率的探究，激活学生原有的认知规律.在富有启发性的问题下，学生探究完成对定义的自主学习，培养了学生深层思考的能力.

      反思课堂，笔者认为在几个细节问题上仍然没有做到位，如在前面的问题串中，教师不应过多的提示，应该让学生以组为单位，自主探究，然后请每个组学生代表总结，教师从中进行补充，而不是单个的请学生回答.这样就不会限制学生的思维，学生可以大胆的与同组学生讨论，让学生自由发挥，使得课堂教学效果更好.又如最后一道练习题没有必要设置分子有理化的问题，因为本节课是概念课，目的是让学生牢固掌握逼近的思想以及割线逼近切线的方法，可以设置一道分式函数题，这样更能深化本节课的教学.

      本节课要求学生主动思考非常关键，而引起学生的探究意识则需要教师在设疑、解惑等环节中充分发挥教师的引导启发作用.总之，在新型的教育模式下，教师要不断地让自己成为一个合格的引导者，让学生真正成为学习的主人，放手让学生去获得知识，使问题串层层递进式教学方法贯彻于课堂，让所谓枯燥无味的数学彻底的活跃过来，成为一种和谐的课堂.

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