圆内添加辅助线的基本方法，本文主要内容关键词为：方法论文,辅助线论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解决与圆有关的几何题，常常需要添加辅助线，以沟通已知与未知的联系，为使用定理创造条件。但是，如何添加圆内辅助线，是解证几何题的一大难点。下面结合例题谈一谈圆内添加辅助线的基本方法。
一、有关弦的问题中，常作垂线过圆心
例1 如图1，⊙O的直径AB=10cm，弦CD=8cm，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为点E、F。求AE与BF的长的和。
图1
分析 本题可过圆心作弦的垂线，再构造直角三角形，然后利用垂径定理、勾股定理和梯形的中位线性质，即可解决问题。
图2
三、圆中三角形出现内心时，常将内心与顶点相连接
例3 如图3，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，求证：IE=BE。
图3
分析 要证IE=BE，先得连接△ABC的内心I与顶点B，然后利用三角形内心的性质，证∠BID=∠IBE。
四、欲证圆内角相等，可构造内接四边形
例4 如图4，在⊙O中，∠BOC=135°，求∠A的度数。
图4
分析 由于A、B、C三点在⊙O上，可构造⊙O的内接四边形，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理使问题得以解决。
解 在⊙O的优弧上任取一点D，连接DB、DC，则四边形ABDC内接于⊙O。
因为∠BOC=135°，所以∠D=67.5°。
因为∠A+∠D=180°，所以∠A=112.5°。
五、已知直径时，作出直角是上策
例5 如图5，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径。求证：AB·AC=AE·AD。
图5
分析 由于AE是⊙O的直径，连接BE，作出直径所对的圆周角——直角，可使问题迎刃而解。
证明 连接BE，则∠ABE=90°，
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADC=90°，∠ABE=∠ADC，
又因为∠E=∠C，
所以△ABE∽△ADC，所以
，
所以AB·AC=AE·AD。
六、证明切线时，常过公共点作半径
例6 如图6，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。
分析 由于点C是直径DC的⊙O的唯一公共点，要证DC是⊙O的切线，一般要连接半径OC，再根据切线的判定定理，证明DC⊥OC。
证明 连接OC、BC，
图6
因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°。
又因为∠CAB=30°，所以∠ABC=60°，
因为OB=OC，所以△BOC是等边三角形，
因为BD=OB，所以BC=OB=BD，
所以△OCD是直角三角形，所以DC⊥OC，
因为OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，
所以DC是⊙O的切线。
七、证明切线时，若公共点未知则可引垂线
例7 如图7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，BD长为半径作⊙D。求证AC是⊙D的切线。
分析 由于要证明的⊙D的切线AC与⊙D的公共点不知道，遇到这样的问题，就要过圆心D作AC的垂线，证明这条垂线段是⊙D的半径，以利用切线的判定定理解决问题。
图7
证明 过点D作DE⊥AC，垂足为E。
因为AD是∠BAC的平分线，BD⊥AB，
所以DE=BD。
所以点D到AC的距离等于⊙D的半径，所以AC是⊙D的切线。
八、切线切点全已知，通过切点作半径
例8 如图8，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，点P是OA上一点，BP的延长线交⊙O于点C，切点为C的⊙O的切线交OA的延长线于点D。求证：DP=DC。
图8
分析 由条件知，CD是⊙O的切线，切点为C，若作出半径OC，利用切线的性质和等腰三角形的性质，就可以解决问题。
证明 连接OC，则DC⊥OC，
因为OA⊥OB，所以∠1+∠B=90°，
因为∠3+∠4=90°，
所以∠1+∠B=∠3+∠4，
因为OB=OC，所以∠B=∠3，
所以∠1=∠4，
因为∠1=∠2，所以∠2=∠4，
所以DP=DC。
九、两圆若有公切线，作出半径连心线
图9
图10
分析 在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线，是常见的一种作辅助线的方法。过
图11
分析 要证PF·PE=PG·PH，由于PF、PE、PG、PH在同一直线上，找不出要证的相似三角形。但由切割线定理的推论知。
PF·PE=PB·PD，
因而可转证
PB·PD=PG·PH。
连接GB，只需证△PBG∽△PHD，于是就需连接公共弦AB，由圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质即可使问题得以解决。
证明 连接AB和GB。
因为∠PGB=∠PAB，而∠PAB=∠D，
所以∠PGB=∠D。
因为∠GPB=∠DPH，所以△PGB∽△PHD，
所以
，
所以PB·PD=PG·PH。
又根据切割线定理的推论得，
PF·PE=PB·PD，
所以PF·PE=PG·PH。
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