蒙特卡罗模拟算法简析及其应用
邓力维
（广州市第十六中学 广州 510000）
摘 要： 本文从经典的蒲丰投针试验和随机取点计算定积分面积出发介绍了蒙特卡罗模拟算法，主要包括蒙特卡罗模拟算法的历史以及主要原理。本文第二章节从投资决策科学的实际问题出发，设计算法，给出了蒙特卡罗模拟算法的一个应用。
关键词： 蒙特卡罗模拟算法；蒲丰投针试验；定积分；决策科学；内部收益率
1 蒙特卡罗模拟算法简介
蒙特卡罗方法是一种相对比较古老的算法，18 世纪法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰问题，该问题的解决方法其实就是蒙特卡罗算法的一个实例。蒲丰投针问题主要利用随机投针和平行线是否相交的频率给出了圆周率π 的大小。但由于计算能力的限制，直到20 世纪40 年代计算机的出现才使得大量的随机抽样试验成为可能。但是蒙特卡洛方法最有代表性的工作并不是蒲丰投针试验问题，而是20 世纪的二战期间原子弹研制中的裂变物质随机扩散问题。在原子弹研制问题中，冯诺依曼等和乌拉姆等科学家实际上就是利用蒙特卡罗算法来解决中子随机扩散问题的，蒙特卡罗算法的命名也是他们提出的，主要是出于保密的需求，便以著名的赌城为该算法命名，因为赌城本身就蕴含着随机性，概率论的诞生也是源于赌博文化，该名字其实很受当时学者们的认可。
党的十九大报告提出，要按照“产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕”的总要求，实施乡村振兴战略，这是党中央从党和国家事业全局出发、着眼于实现“两个一百年”奋斗目标，顺应亿万农民对美好生活的向往而作出的重大决策，［1］是解决人民群众日益增长的美好生活需要和不平衡、不充分发展之间矛盾的必然要求，是统筹推进“五位一体”总体布局、协调推进“四个全面”战略布局的战略选择，也是贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想的重要体现。其中，“治理有效”是乡村振兴的战略目标，而创新乡村治理体系，走乡村善治之路则是实现“治理有效”的应然路径。
蒲丰投针问题开创了蒙特卡罗模拟算法的先河。下文主要介绍蒲丰投针试验主要思想。
平面上画着一些平行线，他们之间的距离为a，向此平面任投一长度为l（l<a）的针，如果我们随机投针N 次，统计针与平行线相交的次数n，那么我们可以近似得到圆周率π 的大小，即
在计算机诞生的初期，提出了一系列随机模拟的计算方案。一大类是关于粒子运动的模拟，另一类则是以积分计算为代表的新的计算方法。下文主要介绍定积分计算的蒙特卡罗模拟算法。
该蒙特卡罗模拟问题可以利用python 语言编程来实现，生成随机数我们调用numpy 科学计算包来实现，可以自定义一个函数来实现，代码如下：
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在本项目中，IRR 是以下关于r 的方程的解。
2 蒙特卡罗模拟算法在决策科学中的应用
为了考虑表1 的项目是否值得投资，我们需要考虑该项目的内部收益率（IRR）的大小。
本文中考虑这么一个投资项目的决策问题。假设某项目的初始投资为800 万元，并且可以实现当年盈利。考虑到项目设备的寿命以及技术进步更迭等因素，预计该项目的寿命m 为15-20 年，并且项目存续年份服从均匀分布。每年的收益x 也是随机的，每年收益相互独立，并且服从均值为100 万元，标准差为20 万元的正态分布。并且假定该项目到期后的残值为0 元，该项目模拟系统投资和收益情况如表1 所示。
表1 某投资决策模拟系统
蒙特卡罗模拟算法在各个领域应用非常广泛，本章节主要探讨该算法在决策科学中的应用。决策科学中往往存在随机性，我们在对一个投资项目做一个决策之前，要考虑该项目可能发生的各种情况，从该项目的最小收益到最大收益，以及收益的概率分布。
蒙特卡洛算法本质是一种随机模拟算法。它的理论基础大多来源于随机数学，该算法的出现也推动了随机数学如火如荼的发展。由蒲丰投针问题和定积分的模拟计算问题可以看出，当我们所研究的问题可以用概率论中的某个随机变量的数字特征解释时，该数字特征包括，数学期望、方差等，可以通过设计相应的随机试验，统计计算事件的算数平均值和方差等，进而求出相对应随机变量的数学期望和方差等数字特征，进而用来解决具体的实际问题。上述设计随机实验模拟随机变量数字特征的过程其实就是蒙特卡罗方法的基本思想。
假设在[a，b]上，函数 0≤f(x)≤M，要求计算
其实该定积分的大小为函数y=f（x），与x=a，x=b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。该曲边梯形被矩形G 所包围，G 为y=M，与x=a，x=b 以及x 轴所围成的矩形，我们向矩形G 中随机投点N 次，计算落入曲边梯形中的次数n，则落入曲边梯形的频率为
落入曲边梯形的概率为
以频率值取代概率，可以近似得到，定积分的大小为
其次，加强政法队伍建设。全国政法机关一定要坚定不移的坚持党和国家的基本方针，增强政治责任感和忧患意识，把握大局，始终把维护国家安全和社会稳定放在工作的首位。政法部门和广大干警严格依法办事，做到有法必依、执法必严、违法必究，坚持法律面前人人平等。依法严厉打击危害国家安全、社会稳定和经济发展的各种犯罪活动，巩固人民民主专政和国家的长治久安。
大力推行纳税评估智能化，是完善纳税评估、提升税收管理质量效率、充分挖掘数据与信息资源的需要。实现纳税评估智能化关键是纳税评估信息与相关数据自动分析比对，实现方法主要是开发相关软件和应用程序。研发纳税评估智能化软件，无缝对接大数据库的同时，还应实现行业模型与软件的匹配结合，通过预先设定的税种勾稽关系、数据模型等，实现计算机自行比对计算。评估人员只要进行简单操作，如输入纳税人代码，软件即可自动运用征管系统中信息资料和数据。通过针对评估对象纳税行为进行数据化测算，对所评估对象作出更科学、准确的风险分析报告，为评估人员制定下一步行动方案提供参考。
自定义的函数mc_irr 输入需要模拟的次数，该函数可以返回每一次模拟的IRR.我们调用该函数，并选择模拟次数10000 次，我们可以得到该项目IRR 的直方图。模拟10000 次，可以得到，IRR 的平均值为10.14%，IRR 大于10%的概率0.5675，大于9%的概率为0.8593。
3 小结
在投资决策科学中，内部收益率（IRR）是非常重要的概念，是否投资一个项目，往往要看其IRR 的大小，而由于项目的随机性，我们是无法提前获知IRR 的大小，但是蒙特卡罗模拟算法恰好可以为我们提供一种模拟IRR 大小的算法。除了在决策科学中，蒙特卡罗模拟算法在其他很多领域也有着非常重要的应用。
参考文献
[1]裴鹿成.蒙特卡罗方法及其应用[M].北京：海洋出版社，1998.
[2]聂士忠.蒙特卡罗计算机模拟应用一例[J].大学物理实验，2003，16（4）：59-60.
[3]陈国栋，李娟娟，王晓燕.蒙特卡罗模拟在决策中的应用[J].中国管理信息化，2009（13）.
中图分类号： F224
文献标识码： A
文章编号： 1004-7344（2019）35-0047-01
收稿日期： 2019-08-01
标签：蒙特卡罗模拟算法论文; 蒲丰投针试验论文; 定积分论文; 决策科学论文; 内部收益率论文; 广州市第十六中学论文;