几何推理浅谈，本文主要内容关键词为：浅谈论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
几何内容的改革，一直是世界数学教育关注的焦点，其核心是对欧几里得几何的处理问题。从“新”数运动所发出的“欧几里得滚蛋”的口号，到各国面向新世纪的数学课程改革中欧氏体系的淡化处理，都说明了欧氏几何已逐渐失去了其在数学中的统治地位，代之以异彩纷呈的几何体系，这是几何课程改革的新趋势。
然而，我国的几何内容仍是以一种“老”面孔出现在学生面前，在大众的眼里，数学就是“计算+几何证明”的内容。平面几何，尤其是几何证明，是一把双刃剑：一方面，许多奇妙多变的论证方式和赏心悦目的结论使一些学生从此喜欢数学，甚至走上终身从事数学研究的道路；但另一方面，过分复杂、抽象的论证又使许多学生望而却步，从此厌恶数学、远离数学，丧失了在学校学习的信心。《九年义务教育国家数学课程标准（征求意见稿）》（以下简称《标准》）对平面几何的内容作了较大改革，不仅将几何拓展到了学生的生活空间，而且采用变换、坐标等多种方式来引导学生认识物体的空间位置关系，探索一维、二维、三维图形的基本性质，实现二、三维图形间的转化。因此，在《标准》中，是用四种不同的方式来认识空间与图形（图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与论证）的。从而就丰富了几何的内容，重申了平面几何推理的价值和意义，改善了平面几何有关证明的内容。限于篇幅，本文仅就几何推理的有关问题与各位同仁进行探讨。
一、推理并不独钟于几何，它广泛地存在于数学的其他领域。
“言必有据”的思想、推理和证明的意识是当代每一位普通公民所必备的，因此推理训练是至关重要的。但推理的要求并不仅仅限于几何的内容，而应该体现在数学学习和生活的各个领域。如，在代数中的运算算理，在数据处理中的统计推断，在线性规划中的分析决策等等。
事实上，推理存在于人们的生活中。儿童能够理解，如果一个积木块放在A、B、C处，而现在没有放在A、B处，那么它必在C处。甚至幼儿园的孩子的语言中就已经包含着推理的形式了，比如，一位小朋友对另一位小朋友说：“老师说过，不爱劳动就不是好孩子，你不爱劳动，你就不是好孩子。”小孩子的这段话时，其实已经包含简单的“三段论”推理形式了。
在代数中，推理也是司空见惯的。如，让学生探索大于3的孪生素数的中间的数的特征。学生可能首先找出孪生素数，再探索中间的数的特征，并应用合情推理提出假设，然后再检验、证实他们的假设。
在统计内容中，常常需要对数据进行统计、处理，并作出决策。比如，某班长为了筹备联欢会，对全班同学所喜欢的水果类型进行了调查，根据调查数据，确定该购买哪种水果。再如，小明班同学的平均身高是1.4米，小强班同学的平均身高是1.5米，小明一定比小强矮吗？学生需要理解平均数的意义，才能作出正确的判断。
还有对于模式的探求等，都需要学生进行归纳、推理、猜测和验证。
二、强调空间推理。
儿童生活的世界和接触的事物大都与图形和空间有关。他们常常需要从形状上去认识周围的事物，描述这些事物在形状上的特征，并用恰当的方式表述他们之间的关系。荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔(Freudenthal)指出：“几何是掌握空间……即儿童所居住、生存和活动的空间。儿童必须学习了解、探索和控制空间，使得他们能在其中更好地居住、生存和活动。”因此，《标准》将几何内容拓宽到了儿童生活的空间。与传统的几何处理顺序“平面——空间”不同，新的几何内容是“空间与图形”，是遵循着“空间性质的感知——平面性质的探索——空间性质的严格表述”这样的顺序来安排学习内容的。因此，空间推理便是几何中的一个重要方面的内容。
空间推理是没有严格形式逻辑的“形象化”的推理，是结合情境进行的推理。下面的几个例子有助于理解空间推理的内涵。
例1 根据下面一个物体的正视图和俯视图建造的几何体是什么样子？
学生会得出各种各样的答案，如下面所列举的四种情况。
但如果要知道这些答案是否正确，就必须运用“如果……那么……”的推理形式。
例2 用4个小正方体
搭积木，共有多少种搭法？每种搭法相应的三视图（正视图、俯视图、侧视图）是什么样子？
学生通过动手操作，体会到几何体与其三视图之间的关系，从而通过简单的推理，体会平面与立体图形之间的对应关系。
例3 有一个四层建筑大楼，下面给出第一层和第四层的房屋情况。阴影部分表示该位置是居住房。你能判断出第二层和第三层的居住房情况吗？
学生根据日常生活的经验和建筑物各层的关系可以推出许多种答案，比如其中第二、三层最多各有20间住房，最少各有4间住房。学生还会对其答案通过推理来进行验证。
一般地说，学生在思考如上的问题时，要经历一系列的数学思维活动：归纳，与位置有关的演绎，条理性地去操作实物，作出合理的推测等。这些内容使学生体会了推理的过程，如提出假设、得出结论、证实或否定这个结论等。
三、删除繁琐的几何证明的技巧，突出对证明的必要性和证明的意义的理解。
几何证明教学的目的不应当是追求证明的技巧、证明的速度和题目的难度，而在于使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯，由此而发展证明的意识、理解证明的必要性和意义，体会证明的思想，掌握证明的方法。
对证明意义的理解，应当使学生意识到通过直观得到的结论是有局限性的，结论的真实性是有待于检验的。所以必须从一些公认的几何事实出发，通过逻辑论证，证明其正确性。
例如，对于三角形内角和的探索。学生通过测量、拼图等得到的结果近似于180度。但要想得到“三角形的内角和是180度”这个结论，仅仅靠增加所测三角形的个数，增加测量的次数和精确程度等是不够的，这就需要通过证明来确认结论的真实性。
四、降低了对几何证明的要求。
与传统的几何内容不同，《标准》中删去了大量繁难的几何证明题，降低了对论证过程形式化和证明技巧的要求，只要求借助于一些基本的事实，去证明一些基本图形（三角形、四边形）的基本性质。
但在对图形的基本性质证明以前，应先通过直观、实验的方法去探索它们。比如，矩形的性质，学生通过折纸、拼图等对各种矩形做实验，推断出矩形具有以下性质：有两对相等的边，对角线相等且平分。再通过演绎证明这些性质，发现矩形的本质特征。
由此可见，推理、证明是几何学习中非常重要的工具，但并不是几何的全部。它是几何探索活动的一部分，即从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明。
路漫漫兮修远，几何推理、证明还有许多地方有待于进一步研究，比如，如何保证学生思维能力的训练水平？如何将几何推理、证明与变换、坐标等处理方式结合起来？如何将几何推理与代数、统计的推理相结合？……仍需要数学教育界同仁上下而求索！