江苏省南京市临江高级中学 211102
一、问题的提出
每一个数学概念的建立都经历了漫长的求证过程，其表述具有高度概括性和抽象性，同时也十分准确和严密。但是由于篇幅的问题，在我国现行的高中数学教材中，大多数数学概念的给定往往都比较直接，这就给老师的相关内容教学和学生的自主学习带来了不小的困难。如何突破数学概念的教学，对概念教学进行创新设计，是摆在每位数学教师面前的一道必考题。下面，我将结合自身的教学实践，以高中数学中的基本概念——任意角的三角函数为例，谈谈数学中重要概念的构建。
二、教学实例
问题1：回顾一下任意角的概念。角是三角函数中的自变量，自变量的取值范围是研究函数问题的重要起点。因此，回顾任意角的概念很有必要。
问题2：从平面直角坐标系的角度再研究锐角的三角函数。本章研究的问题是三角函数，而函数的研究离不开平面直角坐标系。回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？
情境预设：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中学生仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。
设计意图：用坐标系的观点再认识学生的已有知识经验，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，降低认知的起点。
解答过程：
问题3：三角函数的比值与具体的点有没有关系。
情境预设：由于得出的结论中出现了x,y,α，很多学生缺乏整体把握的能力误认为函数值的大小与具体的x,y的值有关，从而与点P的位置有关。
设计意图：启发学生从数和形两个角度再认识三角函数。从几何的角度直观观察三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。再从函数的角度阐述三角函数值的大小只与自变量α的大小有关，与点P 的位置无关。
问题4：与单位圆结合简化三角函数值。引导学生从代数的角度对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。
回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。
问题5：上述三个问题的结论适用于任意角吗？
情境预设：学生对终边不在第一象限的角α的三角函数不确定。
设计意图：具体认识任意角的三角函数，凸显本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式。
三、教学反思
在教学的过程中，我们回顾与复习了任意角的概念，确定函数的自变量；然后，引导学生建立直角坐标系画出以原点为圆心的圆，观察其圆周上的点的坐标随着锐角α的变化而变化，从而让学生建立起“任意给定一个锐角α，圆周上就有唯一的一个点P（x,y）与之对应”的直观感受；接下来探究当角α为锐角时，sinα= 及 的值与角α终边的位置关系，得出“ 的值只与角的大小（终边的位置）有关，而与点P在角的终边上的位置无关”这样一个重要结论；最终，在上述锐角的函数概念的基础上，再由特殊到一般，把定义推广到任意角，通过学生分组活动得出任意角的三角函数的概念，进而继续探究该函数的各种性质。
论文作者:吕小燕
论文发表刊物:《中小学教育》2016年11月第259期
论文发表时间:2016/11/21
标签：函数论文; 锐角论文; 坐标系论文; 概念论文; 学生论文; 自变量论文; 定义论文; 《中小学教育》2016年11月第259期论文;