应用认知结构理论指导高中数学解题教育，本文主要内容关键词为：认知论文,高中数学论文,理论论文,结构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
认知数学的先驱戴维斯在分析数学教育的最新观点时十分注重心理表征问题，他呼吁要研究人的个性特征.他明确指出：“数学不是写在纸上的符号.数学是一种思维方式，它包括问题情景的心理表征和相关知识的心理表征，包括这些心理表征的分析，包括注释学的使用.”数学的教学目标在于“获得学生如何进行建构与使用表征的轮廓”，而不是“为每个学生确定一个分数”.针对戴维斯的最新的数学教育观点，德国数学教育家施万克和我国华东师范大学的徐艳斌教授对德国与我国的部分学生进行抽样调查研究表明，在问题解决的过程中，不同的学生确实表现出依赖于各种不同表征形式的各种不同的个性行为方式.在有关的实验研究中学生确实表现出功能性与特征性的认知结构，而且他们的行为方式的表现相对稳定，或者擅长数学概念的功能性建构，或者偏向数学概念的特征性建构.
下面笔者就功能性与特征性的认知结构理论作一简单的介绍.偏爱特征性认知结构的人在问题情景中进行活动时优先表述活动对象间的静态关系，分析问题时把重点放在事物的结构及其描述上；他们在说明所实施的行动时，总是优先描述行动的实施和结果之间的关系；他们更善于去感受事物的精确性，对复杂过程的感受和分析能力却比较弱.偏爱功能性认知结构的人，很少直接分析事物间的关系和事物的结构，而是对过程有着清晰的感受过程，善于对作用原理进行思考；他们会直接考虑组织某一过程所需要的努力和费用（不是马上估计最终所达到的结果）；他们很少能清晰、精确地去表达事物间的关系.
就以上有关学生认知结构中的功能性与特征性的差异，笔者认为在我们的数学教学中应充分认识到这一点，尤其是在数学的解题教学中应充分认识到并肯定学生的认知确实存在差异，并根据不同学生的认知结构采用不同的方式方法进行教学，激发学生主动使用自己最佳的认知工具.
一、对同一问题的不同的表征形式有助于不同认知结构的学生的理解与掌握
向学生提供几种不同的问题的表征工具，为学生提供其发挥各自认知结构特点的学习空间，使其认知结构取向与外在问题表征形式发生共鸣，从而达到最佳学习效果.
问题1 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥A—BCD的体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小是多少？
处理这样的立体几何翻折问题，不同的学生有着不同的看法与处理方法.笔者在教学实践中发现对于偏爱特征性认知结构的学生，他们更注重优先考虑对象间的静态关系，因此笔者就直接给出一个确定的三棱锥（如图1所示），在三棱锥中作出高线AH，则可以证明点H落在正方形ABCD的对角线CO上.在Rt△AOH中，三棱锥的高AH=AO·sin∠AOH，因为AO是正方形对角线的一半，是定值，所以当sin∠AOH取得最大值l时，即当∠AOH为直角时，高线AH同时也达到最大值AO，此时，三棱锥A-BCD的体积同时也达到最大.这样的定量分析对于偏爱特征性认知结构的学生来说是比较有效的，因为他们注重各种不同对象之间的特征与关系，善于进行基于关系的思维，因此在帮助这些学生分析问题的时候，我们将整个问题的特征与关系充分展现在学生的面前，让学生自己去分析研究问题的本质，从而达到解决问题的目的.
附图
而对于偏爱功能性认知结构的学生，他们更注重优先考虑对象间的动态关系，因此笔者就给出如图2-图3-图4的三棱锥的变化过程，拥有功能性认知结构的学生会很快发现在这个变化的过程中隐含着解决问题的关键所在，他们会发现在整个变化过程中，三棱锥的高的变化是由小到大，再由大到小，所以当平面ABD垂直于平面BCD的时候，三棱锥的高线达到最大，此时三棱锥的体积也达到最大.这样的定性分析对于偏爱功能性认知结构的学生来说是比较有效的，因为他们注重各种不同对象的功能，善于进行基于作用原理的思维，因此在帮助这些学生分析问题的时候，我们将整个问题的变化过程展现在学生的面前，让学生自己去分析研究在整个过程中的动态关系与因果关系，从而达到解决问题的目的.
附图
由此可以看到，不同的问题编制方式对人们的概念建构以及问题解决也有着重要影响，带上某种“眼镜”后个体会应用有助于自己思考问题的各种不同手段，提高行动效率.
二、对同一问题的不同解决方法是针对不同认知结构的学生而言的
一直以来我们在数学解题教学中就强调“一题多解”，但笔者认为如果对任何学生都统一地要求他们掌握一题多解，可能效果并不佳.不同的学生有着不同的认知结构，如果能让他们寻找到最适合他们自己的解决问题的方法，激发起他们的认知潜能，有助于学生对数学知识的掌握与学习数学的兴趣.
问题2 设2x[2]+3y[2]=6x，x，y∈R，求x[2]+y[2]=2x的最大值与最小值.
这种二元函数最值问题的解决对于初学者来说是比较困难的，笔者在教学实践中也发现拥有特征性与功能性两种不同认知结构的学生喜爱用不同的方式与方法来解决这类二元函数最值问题.
对于偏爱特征性认知结构的学生，由于他们注重对象之间的关系，注重静态的分析过程，所以代数的解决方案更能引起他们的注意，激起他们的认知共鸣.
附图
当x=0时，（x[2]+y[2]+2x）[，min]=0；
当x=3时，（x[2]+y[2]+2x）[，max]=15.
而对于偏爱功能性认知结构的学生，他们善于分析事物的动态过程，所以几何的动态变化过程更能引起他们的注意，激起他们的认知共鸣.
2x[2]+3y[2]=6x与椭圆方程的结构一致，设x[2]+y[2]+2x=m，则它表示一个圆，由此可以通过考虑椭圆与圆的位置的变化关系来求最值.
由2x[2]+3y[2]=6x得
可见它表示一个椭圆，中心为（3/2，0），焦点在x轴上，且过（0，0）及（3，0）两点.设x[2]+y[2]+2x=m，则（x+1）[2]+y[2]=m+1，它表示一个圆，圆心在（-1，0），半径为
（m＞1）.
在同一坐标系中，作出椭圆及圆，让学生观察图5，拥有功能性认知结构的学生会发现在圆的半径的变化过程中，圆与椭圆的位置关系在发生变化.当圆过（0，0）时，半径最小，即=1，所以m=0；当圆过（3，0）时，半径最大，即=4，所以m=15.这些学生乐于在这种动态的变化过程中寻找数学的规律.
附图
从数学解题的角度来讲，掌握“一题多解”是好的，但笔者认为从学生的认知角度来讲，根据不同认知结构的学生运用不同的方式方法进行教学，激起学生主动使用自己最佳的认知工具，这才是行之有效的，如果采用过分统一的方法进行教学，会抑制部分学生的思维的发展，导致这些学生无法将知识内化.
根据认知结构差异理论，教学是外在的手段，学生的认知结构特点才是内在的因素，因为大多数学生还是以原有的特征性或功能性认知结构取向解决问题的，所以学生在问题解决过程中，如果能够使用适合自己思维方式的外在表征工具，他们则表现出各自流畅的思路，并发现隐藏在问题背后的数学思想.
笔者在多年的教学实践中已经深有体会，将同一问题通过不同表征方式，使学生特有的思维方式得到充分的发挥，即使个体的内在结构与外部表征产生共鸣效应，这时学生的学习将达到最佳状态.在教学中要充分尊重学生表现出来的特有的行为方式，如果学生在一种问题表征方式上没有取得理想的成绩，这并不说明他们没有能力解决该问题，如果教师能及时允许学生利用其他辅助工具，学生定会展示出他们潜在的能力.同时也就印证了“因材施教”这个根本的教学原则，在数学解题教学中，根据不同学生的认知结构的特点，设计不同问题表征形式与解决方案，有助于不同学生在不同的层面上掌握数学知识与数学思想方法.