根与系数关系证明图式的研究，本文主要内容关键词为：图式论文,系数论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
什么是数学证明？回答角度不一样，答案也不同.从数学学科的角度，数学证明是以一些基本概念和基本公设为基础，使用合乎逻辑的推理判断命题的正确性.从数学学习的角度，证明可以看作一个特定的社会共同体在特定的时间内接受的一种数学解释[1].从学生认知的角度，Harel & Sowder指出，证明是个体对命题正确性产生疑惑和消除疑惑的过程，包括两个子过程：一个是移除自己的疑惑，另一个是消除别人的疑惑.移除自己和别人疑惑时，所使用的内容的心理组织结构就是个体证明图式（proof schemes）.他们研究发现，在本科生（大学数学系的学生），职前数学教师中，主要存在3类证明图式：依赖外部信息的证明（external conviction proof），指依据非数学本质的外部信息确定命题的正确性，如学生认为按照传统格式书写的才是证明，老师和课本给出的论证就是证明，数学证明必须包含数学符号.第二类是经验性证明（empirical proof），依据不完全的归纳和直观的感觉确定命题的正确性，如使用有限的特例证明一个普遍性命题的正确性，通过赋值方法证明，通过观察测量判断线段是否相等；第三类是分析型证明（analytical proof），它的特点是使用合乎逻辑的推理[2].类似地，Balacheff将法国初中生证明的图式分为实用性证明（pragmatic proof）和概念性证明（conceptual proof），前者主要使用图表和具体操作，后者使用数学的概念和性质[1]，对应Harel & Sowder提出的后两类证明图式.
大量研究表明[1，3，4]，很多学生倾向于用举例的方法证明命题（proof by example）.Harel & Sowder给出形成这一现象的4个原因：第一，例子是事物的代表，举例是一种常用的推理模式；第二，教师在教学中也经常用举例的方法；第三，学生不能区分正例和反例，不理解它们在证明中的作用；第四，学生缺少更高层次的证明方法[2].
数学证明是培养学生推理能力的途径.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，数学推理能力是数学学习的重要内容，强调学生能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或者举出反例[5].全美数学教师理事会（NCTM）在“推理和理解”的教学指导文件中指出：“推理贯穿在非形式的观察和形式的演绎推断中，证明可以看作推理的一个方面.”[6]武锡环等人在关于初中生数学归纳推理的发展研究中指出，信息表征、归纳识别、形成猜想、假设检验是影响学生归纳推理的4个重要因素.研究发现，归纳猜想随年龄升高而呈现缓慢增长趋势，假设检验随年龄的增长并不显著，在383名初中生中，有少部分学生使用例子检测猜想的正确性，能够使用证明的方法检测正确性的学生寥寥无几，原因主要是由于学生缺少检验的反思能力，而造成学生缺少反思能力现象既有教学的因素，如单一的、形式化的证明忽视了培养学生的反思能力，教学中大量的程序训练会降低学生的自我监控能力；也有学生的因素，如学生做题时阶段性的成功情绪干扰了学生的检验意识[7].学生的思维中缺少反思结论正确性的环节，说明学生缺少证明的意识；当学生有证明意识时，究竟什么使学生相信结论正确，其心理对应物便是证明图式.从学生多样性的证明图式中可以进一步寻找影响学生假设检验意识的因素，为衡量学生推理能力提供视角.
在初中阶段，一元二次方程根与系数关系证明的学习目标是通过计算一般式
+bx+c=0两根的和与积，得出根与系数的关系式，并理解运算结果适用一切有根的实系数一元二次方程.证明过程实质是代数式运算——两根相加和相乘.从学生证明图式的角度看，这一目标属于分析型证明或概念性证明.为发展学生的推理能力，尤其是合情推理能力，通常的一元二次方程根与系数关系证明的教学中，首先是从特殊的一元二次方程中归纳猜想出一元二次方程的根与系数的关系，然后是证明猜想的结论[8～10].
当学生经历这样的学习过程后，他们的证明图式是怎样的呢？学生如何认识举例证明呢？学生的认识对教学有怎样的启示呢？研究者最近听了一节“一元二次方程根与系数关系”的公开课，教学对象是即将升入初三的初二学生，教学的过程也是先从特例归纳得出猜想，然后引导学生证明猜想.这里以学完这节课后的9位同学为对象进行个案研究，尝试回答上面的问题.
二、研究方法
1.研究工具
采用质的研究方法，利用测试和访谈的途径来进行，以获得学生对自己思考的详细描述.问卷如下：
阅读小明、小红、小刚3位同学学习“一元二次方程根与系数关系”的过程，回答问题（见表1）.
这时旁边的小刚插话了：“我又找了5个方程，它们都是满足韦达定理的，不满足韦达定理的一元二次方程，你是找不到的，不信你再试试其他一元二次方程.”
（2）你有小红的疑惑吗？如何消除小红的疑惑？
（3）小刚通过更多的方程验证了韦达定理的正确性，你认为这可以作为韦达定理的证明吗？
第1题考察学生的证明图式，即学生如何消除自己对根与系数关系正确性的疑惑.第2、3题考察学生对举例证明的认识.访谈时，研究者告诉学生：“问卷中记录了3位同学学习‘一元二次方程根与系数关系’时的思考过程，我想了解你的思考方式.”实践表明，这样的开场白有利于减轻学生访谈时的压力，使他们愿意表达自己对问题的看法.
2.研究样本
该班级有41名同学，任课老师根据学生在数学学科上的综合表现，分成A、B、C 3个层次.从每个层次中各随机选取3名学生，共9名学生参加测试和访谈，其中男生5名，女生4名.其中M代表男生，F代表女生；字母后的数字表示的是接受访谈的次序，如CF2表示第二个接受访谈的C层次女生（如表2）.
三、结果与讨论
1.访谈结果
对于第1题，调查的结果是：7个同学肯定了结论的正确性，2个同学认为不一定正确.根据访谈结果，将学生的解释进行分类.
（1）认为不一定正确的解释
学生BF6、CM8认为结论不正确，理由是小明的方法不正确，得到的结论不一定正确.如“小明选择的是特殊的例子”[BF6]，“选择的方程不是任意的”[CM8].
（2）认为正确的解释
在9个同学中，8位同学都表示和小红有同样的疑惑，只有1个同学表示没有疑惑.
（1）没有疑惑
BM9表示没有疑惑，认为4个特例可以作为结论的证明.
（2）有疑惑
8位同学有疑惑，疑惑的原因及消除方式主要分4类：第一类，认为列举的例子不全面.小明列举的方程都有根，没有列无根的一元二次方程，不能代表所有的一元二次方程.如“这4个特例只包括Δ≥0，没有包括Δ＜0，不全面的”.消除疑惑的方式是限定命题的范围，当考察的对象是有根的一元二次方程时，赞同“4个特例可以作为有根的一元二次方程根与系数关系的证明”[AM1].BM2认为“有根的情况时，可以证明韦达定理的正确性”，消除疑惑的方式是一般式的证明.第二类，认为4个例子不够.消除疑惑的方式是举更多的例子[CF3，CF4].第三类，疑惑是“是否存在不满足韦达定理的方程”，消除疑惑的理由是“韦达定理被使用了很多年，一般是很难找到不满足的”[AF5].第四类，认为“4个例子具有特殊性”，“不具有任意性”，消除疑惑的方式是使用一般式证明[BF6，AM7，CM8].
3.举更多的例子
（1）不可拟
BF6认为小刚举更多的例子仍然避免不了特殊性，不可以作为证明，需要用求根公式.AM7认为，即使举所有的例子也不能证明韦达定理的正确性，因为“数学的证明要符合一定的道理，使用一定的方法”，在他眼里，使用一般式证明是符合道理的.
（2）可以
剩下的7位同学都赞同小刚的做法，认为更多例子可以证明结论的正确性.“除了没有根的一元二次方程，都可以验证”[BM2].
其中AM1与CM8两位同学一开始认为小刚的方法是不对的，不对的原因是“可能列举的是有根的一元二次方程，而无根的一元二次方程是不满足韦达定理的”.当研究者指出，考虑的是有根的一元二次方程，更多的方程能否作为韦达定理的证明，他们的回答是“可以”.
研究者继续提问，采用例子证明，需要多少个例子？他们回答的个数大多是不确定的数，也不能解释原因.如“超过1个，2个或3个以上都可以，避免偶然性”[AM1].“5个以上”[BM2].“6到8个”[CF3].“5到6个”[CF4].“5到6个，还是用求根公式方法好，举例太麻烦了”[AF5].
汇总3题的回答结果，如表3所示.
BF6、CM8两位同学开始时判断结论不一定正确，给出的解释是小明使用的方法不正确.但他们消除小红疑惑的方式都是使用一般式证明.可以看出，他们实质上认同韦达定理是正确的，只是不赞同小明举例证明的方法.
从整个回答过程看，除BM9没有提到一般式证明，仅具有举例证明图式外，其他8位同学都使用过一般式证明确定韦达定理的正确性，具有一般式证明图式.在这8位同学中，只有BF6、AM7两位认为举例方法不可以作为韦达定理的证明，其他6位都赞同举例证明.也就是，说在这6位同学的头脑中，同时具有举例证明和一般式证明图式，而且不是非此即彼的，是共存的.当他们面对不同的问题情境时，他们使用了不同的图式，造成前后认识不一致.
学生拥有一般式证明的同时，仍然保留着举例证明图式.一方面，外在的教学干预并没有“破坏”学生通过举例确定结论正确性的心理依赖，学生没有认识到举例证明的有限性；另一方面，学生对一般式证明的普遍性缺少认识，可能的原因是没有理解一元二次方程的一般式及其参数的含义，没有认识到一元二次方程一般式可以代表任意的一元二次方程，这个原因需要进一步的研究.如果原因成立的话，它便是影响学生假设检验意识的一个重要因素，将是文[7]已列举因素的补充.
四、教学启示
研究结果表明：大多数学生同时具有举例论证和一般式证明图式，并且在回答第1题时，倾向使用一般式证明图式.这一结果与学生课堂学习是相关的.教学过程中，教师引导学生从3个具体的一元二次方程中发现根与系数存在关系，归纳出有实根的一元二次方程+bx+c=0也具有同样的关系，然后老师一边在黑板上板书，一边讲授一般式证明的全过程.访谈的结果表明：教师的讲解在学生的头脑中留下了很深的印象，大多数同学都具有一般式证明图式.但同时，也出现了另外一个现象：大部分学生在心理上仍保持了举例证明图式，这种保持是源于归纳结论和验证结论阶段对例子作用的自发认识.一方面，提倡由特殊到一般归纳发现结论，培养学生的合情推理能力；另一方面，也要防止学生将合情推理当作数学证明.后者往往成为证明教学的难点，如何突破这个难点呢？
关于证明的教学，应引导学生观察、归纳得出猜想，然后进行证明，把证明作为探索活动自然的延续和必要的发展，有利于学生对证明的理解[5].在一元二次方程根与系数的关系证明的教学过程中，建议从3个环节入手，首先让学生经历从特例中归纳发现根与系数关系的过程，得出猜想；然后，使学生理解用更多的方程可以增加猜想的正确性，但这种不完全归纳的验证不能作为猜想的证明；最后，经历一般式证明.在第一个环节，为便于学生归纳发现结论，可以先学习二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，二次项系数不为1的情形可以转到系数为1的情形[11].在第二环节，认识举例证明的有限性，需要关注学生对举例证明的自发认识.在研究中，8位同学在问卷的情境中表现出有关举例证明的4类认识：举例需要具有代表性；多的例子更能说明命题正确性；数学知识使用了这么多年，反例是肯定不存在的；举例不能作为证明，因为具有偶然性，或者不符合数学道理.在课堂中，同样可以使用问卷中的情境问题，鼓励学生在课堂中表达、交流这些认识，互相启发，进一步思考.在合适的时候，教师参与进来，提供必要的帮助.比如当学生回答“多少个例子可以证明根与系数关系”的问题时，学生各自给出了自己的答案，但不能给出理由，学生陷入认知冲突.此时教师可以引导学生认识：例子满足猜想，增加了猜想的正确性；一个包含无穷个数的对象，是无法穷举的，举例仅仅是一种不完全的归纳，不能作为证明；必须用一般式来表示对象，进行运算操作，得出一般的结论.这样就自然延续到第三个环节.在第三个环节中，需要关注学生对一元二次方程一般式及其参数含义的认识，注重学生对证明结果的解释，认识到结果适用于一切有根的实系数一元二次方程.
正如在研究中看到的一样，在通常的教学中，教师非常重视第一环节和第三环节，往往忽视了第二环节[8～10].研究中的教学是教师引导学生从特例中发现根与系数的关系，然后归纳出一般结论，最后教师讲授证明，缺少第二环节.在文[8，9]的教学设计和文[10]的教学过程中可以看到，教师精心设计第一环节，引导和启发学生发现根与系数的关系，也十分重视第三环节的严格演绎证明，却没有第二环节.文[8]的作者在分析中指出，教学设计的不足是“定理发现过程不能提供定理证明的有益启示，证明的教学是注入式的”，但没有给出改进的方案.显然，他们在教学设计和实际教学中都没有关注到学生头脑中可能存在的举例证明的认知.增加第二环节，帮助学生理解证明的必要性，可以克服学生这种认知，同时也有助于过渡到第三环节，弥补这个不足.