动态探究数学问题的“实验室”，本文主要内容关键词为：实验室论文,数学论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
物理、化学是建立在实验基础之上的学科，而数学有严密的公理体系，这门学科似乎没有实验.其实数学原本就是“实验”，在我国数学史上影响较大的《九章算术》，就是由246个数学实际问题及其答案和“术文”组成，这些问题都与生活、生产实践密切相关，源于生活、生产实践（“实验”），并反过来为解决生产、生活实践中的数学问题提供了理论依据.中国科学技术大学常庚哲教授说：“在平画几何中绝大多数的定理和命题就是数学家‘瞎鼓捣’而玩出来的……‘鼓捣’数学其实也是数学实验，数学实验是推动所有数学研究的一种方式……几何作图，就是视觉上的数学实验，在几何中视觉思维占主导地位，几何成了计算机证明和发现定理的策略的实验园地”
几何画板是一个非常好的“数学实验室”.
这里有一道轨迹题（图1），c是半径为r的定圆A内的一定点，D是圆上的一动点，过线段CD的中点E作CD的垂线与半径AD的交点为F，求F的轨迹.
点F的轨迹显然是一个椭圆，这是因为｜FA｜+｜FC｜=｜FA｜+｜FD｜=r（｜AC｜＜r）.
下面就是一位学生做的“实验”.
实验1 把线段AD改为直线.设AD交圆于另一点C，过CG的中点H，作CG的垂线与线段AG交于Q，点Q当然在椭圆上（与点F对应）.线段FQ是过椭圆的焦点A的一条焦点弦.设直线EF、HQ交于点I，I的轨迹是椭圆的相应于焦点A的一条准线.
实验2 放弃“E是线段CD的中点”这一条件.在直线CD上任意取一点E＇，过E＇作直线CD的垂线，与直线AD交于F＇.“奇妙的现象”出现了：当E＇到D的距离小于点E＇到C的距离时，点F＇的轨迹是“鸭蛋形”（图2），当E＇到D的距离大于点E＇到C的距离时，点F＇的轨迹成了“导弹形”（图3，你说像不像），当点E＇在DC的延长线上时，点F＇的轨迹又变成了“肾脏形”（图4）.
看来，圆、椭圆的“中间地带”是“鸭蛋形”.我曾请一个刚进校的高一同学解释这个现象.她说，可以用“趋势’这个“理论”来解释.在左右两边，椭圆与圆的“距离”不一样，而当E＇从点E到D的过程中，“鸭蛋形”要“填满”椭圆与圆之间的空隙，因此左边疏，右边密，出现一头大，一头小的“鸭蛋形”.
实验3 放弃条件“EF⊥CD”（图5），在直线CD上任意取一点S，使∠DST=61.1°（可以拖动点N控制大小），直线ST与直线AD交于T，这时点T的轨迹是什么曲线呢？请你命名吧.当你拖动点S在直线CD上运动或者拖动点N改变∠DST的大小时，会看到点T的轨迹是十分有趣的.
直线EF、CG交点V的轨迹也十分漂亮（图6）.
实验4 把点C拖到圆外，再观察实验1到实验3所观察到的现象的变化.
“实验”观察到的现象引发我们理性的思考，下面推导“鸭蛋形”、“导弹形”的极坐标方程.
如图2所示，以A为极点，射线AC为极轴建立极坐标系.设圆A的半径为r，AC=k，CE＇=q·CD（r，k，q为常量），F＇（p，θ），则有CD[2]=k[2]+r[2]-2krcosθ，CDsinα=ksinθ，（r-p）cosα=（1-q）CD，其中∠ADC=α.以上消去CD与α，得到点F＇的轨迹的极坐标方程为p=r-（1-q）（k[2]+r[2]-2krcosθ）/（r-kcosθ）.（＊）
特别地，在（＊）式中，令k=8，r=10，q=1/2（即E＇是CD的中点E），得到点F＇轨迹的极坐标方程为p=9/（5-4cosθ），这是一个椭圆的极坐标方程.
令k=8，r=10，q=2/3，得到点F＇轨迹的极坐标方程为p=68-40cosθ/（15-12cosθ），这是一个“鸭蛋形”的极坐标方程.
令k=8，r=10，q=1/3，得到点F＇轨迹的极坐标方程为p=40cosθ-14/（15-12cosθ），这是一个“导弹形”的极坐标方程.
由此可见，在（＊）中，若0＜k＜r，当q∈（1/2，1）时，方程表示“鸭蛋形”；当q∈（0，1/2）时，方程表示“导弹形”；q=1/2时，方程表示椭圆，q是它的离心率.
在（＊）式中，令k=10，r=8，q：1/2（即E＇是CD的中点E，点C在圆A外），得到点F的极坐标方程为p=-9/（4-5cosθ），这是一个双曲线的极坐标方程，k/r（k/r＞1）是它的离心率.
由以上推出的“鸭蛋形”、“导弹形”曲线的极坐标方程不难看出，它们的方程形式是p=asinθ-b/（ccos-d），当α=0时，是圆锥曲线的极坐标方程，当a≠0时，是由圆锥曲线演变成的其他新曲线的方程，于是又不难提出这样的问题：p=68-40sinθ/（15-12cosθ）所表示的曲线的形状是怎样的？图6中画出的是所表示的曲线（“鸭蛋形”瘪下去了）.圆锥曲线是太阳系中的一些天体运行的轨道，有没有天体运行的轨道是“鸭蛋形”呢？也许有，也许没有，不得而知.（待续）
