问诊数学课堂，促进学生思维——从“勾股定理”谈数学课堂教学方法，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,课堂论文,数学论文,教学方法论文,促进学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》强调，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者.因此，教师应该是站在“促进学生数学思维”的角度设计教学过程，培养学生良好的思维品质.最近.笔者全程听了几节风格各不相同的课.课题都是“勾股定理”第一课时（苏科版）.有一个总体印象：从促进学生的思维发展入手的教学理念在转变为教学策略时，总是显得心有余而力不足.本文就情境引入、数学史渗透、探究活动、评价与小结几个方面，进行教学过程的细节分析，谈一些思考.
一、情境引入——开门见山还是综合应用？
情境引入的目的：在知识的冲突中调动学生的学习兴趣，在知识的应用中体现知识的实际意义，在知识的联系中体现知识的地位.因此，这个环节所设计的问题既要考虑学生的兴趣、价值观的导向.又要考虑问题的难易程度、与数学主题联系的紧密程度.
案例1 教师呈现问题：一个长方形的草坪，被一些抄近路的人踏出了一条小路，如图1所示.“世上本无路，走的人多了也就成了路.”这样的不文明之举.到底近了多少米？然后提出问题：已知直角边AB，BC，如何去求斜边AC.
案例2 教师呈现问题：一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，该云梯长15米，消防车高2.2米，问失火窗口离地多少米？然后与学生一起分析题意，确定图中各条线段的长度，进而通过作辅助线（过B作AD的垂线段BE，垂足为E），将问题转化为直角三角形的的三边关系.
案例1、2试图构造现有知识不足以解决实际情境中的问题，形成一种冲突，从而激发学生的学习热情.案例1很快就可以点题：已知直角三角形的两直角边，如何求出斜边呢？这就要首先研究直角三角形的三边关系.案例2则不然，首先要让学生领会实际问题中所包含的数学问题，能指出示意图中各部分的意义与长度，然后从直角梯形已知三边求第四边转化为直角三角形已知两边求第三边，进而发现必须去研究直角三角形的三边关系.
简单地用难易程度、学生是否容易接受来衡量情境的恰当与否是肤浅的，笔者认为，面对第一次学习勾股定理的学生来说，设置的问题难度应该有所控制，数量关系明朗有利于学生体会定理的本质.数量关系复杂有利于学生体会定理运用的灵活性.立意不同，处理也应该不同.案例1有着开门见山的爽快，案例2则渗透着问题解决中广泛应用的“化归”思想，让学生在摸索中体会问题解决中“转化”的自然与必然，如果长期进行这样的思维训练，无疑有利于培养学生数学思维的敏捷性.
根据情境认知理论，知识的意义具有情境性，认知和发生的情境不可分割.基于数学源于问题的发生特点，发生数学认知的情境表现为现实情境、数学情境和游戏情境.现实情境基于数学外部现实的实际需要，数学情境基于数学的内部需要和想象.游戏情境基于游戏暗含的数学意义.案例1、2设置的都是现实情境，通过将问题解决意义化，抓住学生的思维生惑点引发学生的思考.无论是哪种类型.情境设计都意在揭示课题引入的理由，即为什么要研究某个知识（课题）.只有学生感受到学习某知识的必要性，学生才会从事有目的的学习活动.
二、数学史话——故事还是思考？
数学史的教育价值是被公认的，以数学史为依托.展现知识的发生、发展、形成和应用的过程，有助于创设具有数学真实的问题情境，加强数学学习活动，使学生有机会理解引入一个新概念、理论、方法或证明背后的动机，从而以更深刻的方式抓住它的内容.
案例3 从1955年希腊发行的纪念邮票上的图案谈起，一个特殊直角三角形的三边往外所作的三个正方形的面积具有特殊的数量关系，到毕达哥拉斯观察黑白瓷砖的地板发现等腰直角三角形也具有这一特殊的数量关系，体现了图形中的等积转化，从而引出对于所有的直角三角形是否都具有这个结论的猜想，借用方格纸研究任意直角三角形.当推导出结论之后，介绍在中国古代，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，这个定理就是勾股定理.课件演示结论并板书几何语言.
案例3 运用数学史的素材，从定理在特殊情形下的应用推广到一般化的证明.介绍数学史话，能在满足学生好奇心的基础上，激发学生的学习兴趣.但是这样的兴趣往往是“暂时”的，“故事我爱听，听完就开小差”的现象普遍.之所以有这样的现象，在于这些素材中所蕴含的数学原理没有恰当地暴露给学生.没有激发出学生思考的热情.
比如观察希腊邮票上的图案，“你有什么发现？你能概括得更好吗？”这样的问题太大，指向性很差.学生无从下手，也就懒得理会了.可以再追问“你看到什么图形？你能发现什么数量关系？”用数学的角度观察一个事物，不外乎“形”与“数”.这样的提问对学生才具有指导意义.比如毕达哥拉斯观察的由等腰直角三角形图案构成的地板，“三块正方形的面积有怎样的数量关系？”这样的提问仅仅获得一个明确的结论.可以改为“正方形P，Q，R的面积有怎样的数量关系？为什么？”这样的提问更在意获得结论的方法，从而点出图形的等积转化这一思想方法，这也是对后面的割补法的暗示.由于在简单情形——等腰直角三角形中思考得明白，在后面较为复杂的图形中也就更愿意去尝试与思考了.
当然，数学史与数学文化有着天然的联系.数学史成为数学文化的重要载体，可以帮助学生从多个角度去理解数学（比如，上文中勾股定理名称的来历）；数学史很难分离的另一主题是数学思想方法，数学发展史其实质就是数学思想方法的发展史.在数学教育中，要立足于挖掘出其中蕴含的数学原理，要研究清楚通过数学史渗透什么样的数学思想方法.
三、活动与探究——操作活动还是问题驱动？
课堂探究活动，是学生在教师指导下进行数学操作和探究的过程.在此过程中，学生有没有真正地动起来，数学思维是否真正投入是最值得关注的.“学习过程中必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义的创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看是创造.通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者理解得更好也更容易保持.”[1]然而，要让大多数学生有这样的数学体验教师的指导显得尤为重要.
案例4 ①首先演示在方格纸上画出一直角三角形，再以3条边为边向外作正方形；计算正方形的面积；寻找3个正方形面积之间的关联，从而得到结果.②在计算正方形面积时，让学生在方格纸上涂涂画画，去思考用什么方法得出面积.③通过有意挑选的几位学生的演示，老师归纳出“割补法”.④然后是学生自己在方格纸上任意画一个直角三角形，用前面的方法求3个正方形的面积，让学生先自己涂涂画画，然后收集多个学生的数据在全班介绍.⑤归纳出3个正方形面积之间的关系；拿掉正方形，直角三角形中直角边a，b和斜边c之间的数量关系是什么？拿掉网格.这样的结论还成立吗？课件演示结论并板书几何语言.
这里有两个学生自主探究的环节②、④.让学生自己在方格纸上涂涂画画，有了自主思考的时间.可是仔细分析师生的互动，仍然发现有个问题——学生没有思路时，教师如何提供指导？对此，开课教师普遍采取的是等待优等生来回答问题，在巡视过程中要么一言不发要么不断催促；只有个别教师对学生进行私下交流；“同学们将各自的方法讨论一下”也是常用的应对尴尬空白的方法.这些表面的热闹只是将以往教师变魔术的课堂变成个别优等生变魔术的课堂，不能解决大多数学生“不知如何去探究”的困惑.
课堂上的自主探究，对教师提出了更高的要求，因为他们要在此时对学生的探究活动进行观察与指导，一是发现学生的困惑，二是要对学生的再创造进行指导.比如说，环节②中，可以通过数方格的方法.当方格不能直接数出时，发现学生不会数斜放着的正方形的面积，可以用设问：“方格纸中，沿着网格线数格子是容易的，那么对于斜放着的正方形，能不能用网格线进行重组呢？”无论是割还是补，都是沿着网格线进行的，在表面的不同中揭示出相同，学生的思考与操作都有了落脚点.比如说，环节④中，发现学生不理解什么是任意一个直角三角形，迟迟不敢下笔，可以用解释：“画直角三角形的关键是有直角，也就是说直角边的长度有一定的任意性.”像这样，读出数学方法的联系，把它一般化，读出数学术语中的抽象，把它具体化，这就是教师的指导.离开了教师的有效指导，“探究”只能是低层次的操作活动.
一个探究活动能否真正调动学生的数学思维，不仅要具有可操作性，能让学生动手，更要以问题驱动，引导学生去判断、概括、质疑.对于活动环节的问题设计要考量以下方面：（1）问题是否具有开放性；（2）是否包含策略和方法的暗示；（3）是否进行分级提问；（4）是否使用直观图形启发；（5）是否修正学生提出的问题.要使大多数学生在探究中获得“再创造”的成功体验，教师应力求从发生的方法、普遍联系的方法对学生进行指导.
四、评价与小结——求解还是求智？
评价与小结是反馈评定的两个组成部分.高质量的反馈评定要使学生能够体验到智力劳动完成任务的满足感，要使学生能够评议所经历过的认识道路，从中找出最有意义的关键地方，从而引起继续学习和研究数学的热情.学生也要参与到小结归纳的过程中，不仅“想得清楚”还要“说得明白”.
案例5 出示例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）已知：a=6，b=8，求c；（2）已知：a=40，c=41，求b；（3）已知：a∶b=3∶4，c=15，求a，b.
教师：勾股定理的应用要与图像结合起来，认清三条边的关系.有困难的同学先画个图.
第1小题，教师板书，黑板上却没有图.第2小题，学生板演，也没有图.在计算
时，卡住.
教师：算不出来，先放那儿.下面有同学算出来了吗？……你来说一下答案.
教师：第3小题，没有a和b的值，只有一个比例关系，无法像前两题那样直接代入勾股定理，怎么办？（停顿一会儿，有学生发言指出可以设x）好，请你来黑板上写.
教师：现在我们对这道题的完成情况总结一下：直角三角形中，求一条边，要知道几条边？借用了哪一个数学工具？
学生学习完一个概念、公式、法则或解决了一个问题，教师要遵循学生认识发生发展规律及时给出认知任务并给予反馈评定，通过有思维价值的问题（或问题序列）来启迪和检测学习目标的获得，并采取相应的措施.案例5中，教师的反馈有两处不当：①第1小题的处理，对学生产生一个不良的暗示——“勾股定理的应用都要与图像结合”，这种数形结合的基本思想方法只有学有困难的学生才需要.②第2小题的处理，对学生运算能力训练不足——不会算就跳过，其他会算的学生有答案就行.这种广泛存在的抢过学生话语权的做法，既是对学生主体性地位的无视，也是对教师主导性地位的误解.
要敢于放手让学生说.如果学生没能对自己的活动——解题操作进行反思.就只能停留在最低层次——感觉体验阶段，而达不到更高的思维层次.所以，要促进学生将自发的反思变为自觉，给学生提供一个展示自己思考成果的舞台，是一个不错的激励.这是从非智力因素的角度提出的.另一方面，数学作为一种思维训练，其对语言运用方法的影响是显然的，而语言与所有的智力表达和智力活动都有联系.因此，从某种意义上讲，对数学语言的训练也就是对思维的训练.教师要用有思维价值的问题或者问题链来启发学生，鼓励学生大胆表达.比如，第1小题，先让学生根据自己对勾股定理的理解列式运算，然后问：“为什么选择用
，而不用
？”让学生去思考，去发表看法，引导学生去关注定理应用的条件，从而认清解题格式与勾股定理几何语言的对应，既加深了对定理的理解深度，又减少了机械记忆的任务.比如，第2小题，针对有的学生算不出，就要追问那算出来的学生：“你是怎么算的？”“对于的形式，能不能快速心算出来？”让学生去联想，去发表看法，引导学生去观察算式的形式，从而意识到平方差公式的应用，既强化了知识的联系，又训练了运算能力.
一方面是教师用适当的评价去鼓励学生，激发学生的思维；另一方面，也要引导学生自己评议自己的学习过程或者学习成果.在数学课堂上，放手让学生尝试小结，完善学生的小结，是很有必要的.它可以教会一个人如何正确掌握数学名词的含义，如何避免循环定义，如何通过联系多方面相关的背景进行类比、比较等思维活动，正确运用数学语言来构造命题.这是一种思维的训练.如果将能说出勾股定理的内容称为获得陈述性知识，将能用勾股定理求边称为获得程序性知识，那么能够对此小结与反思，可称为学生获得了策略性知识.案例5中的小结是及时的，只是提问的开放性太小，可以先这样设问：“你能从这个题目的求解过程中获得怎样的知识或者方法？”回答困难时，再追问.让学生小结，有利于促进学生从整体上把握数学知识、方法，培养学生提出问题的意识和举一反三的能力，增强学生数学的整体意识和结构意识，优化学生的思维方式.
五、结束语
总之，在教学设计、活动组织、反馈评定等各个教学环节，都要有意识地把促进学生数学思维发展的教育理念放在首位.
（1）情境引入的设计要解决好为什么要研究本节课的课题这个问题，以促使学生的学习形成以任务为目标的学习目的.
（2）数学史的渗透不仅是数学文化的体现，更是展示数学思想方法的源泉，不仅展示历史以激发学生好奇心，更要从中探寻理解数学的思维线索.
（3）探究活动的组织要首先弄明白重点、难点、关键点、易错点，反复琢磨重点、关键点如何讲清，难点如何突破，易错点如何衔接，以有价值的问题驱动学生的思考.
（4）评价反馈要以激发学生思考的热情为目的，敢于放手让学生自己小结，让学生学习用数学语言说话，然后才有可能数学地思考.
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