朱春庆 刘建岐 王宪栋 青岛大学数学科学学院 山东 青岛 266071
摘要：本文通过对李超代数的超模的讨论，研究李超代数上的超双线性型的结构与性质. 特别是，证明了超双线性型空间与李超代数张量积的对偶空间的同构；给出并验证了结合型的判定条件.
关键词：李代数；李超代数；李超代数的超模；超双线性型
1 引言
近几十年来，关于超数学及其应用的研究已经成为现代数学研究的热点课题之一. 除对抽象数学理论的研究兴趣之外，对超数学的研究主要基于物理学中的超对称性.
李超代数可以看成李代数的自然推广，有关李代数的许多结论与性质都可以在李超代数理论的框架下找到对应. 本文对李超代数上的超双线性型进行了研究，得到的结果是李代数情形下相应结果的一般化. 对李代数，它通过伴随作用使得对偶空间成为模，它又可以等同于李代数上所有线性型构成的空间，并且双线性型是结合型当且仅当. 本文通过引进李超代数的超模、超模的张量积等概念，研究了超的情形，给出并证明了类似结论.
文章中用到的李代数及李超代数的基本术语与符号.
2 预备知识与基本概念
定义 设是代数闭域上的向量空间，若有子空间分解，则称是一个超向量空间，简称超空间，这里,.并称中的元素为偶元素，中的元素为奇元素.
4 主要结论
定理 按照上面定义的奇偶部分也构成一超空间：，其中为全体偶双线性型，为全体奇双线性型.
证明：首先，按照上面定义的加法与数乘，，均构成的子空间，这是由于对，设它们的度量矩阵分别为，，则的度量矩阵为因此也为偶元素，且度量矩阵为，故也为偶元素，因此为子空间，同理，也为子空间，且与成直和，这是由于对，其度量矩阵既有形式，又有形式，因此只能为0. 故有为子空间，另一方面，对，设其度量矩阵为，则可取双线性型，使其度量矩阵为，取，使其度量矩阵为，则有，因此.
注：由上证明过程可以看出，双线性型超空间实际上同构于上全体阶对称矩阵构成的超空间.
定理 设为李超代数，则有超空间同构.
参考文献：
[1]孟道骥.复半单李代数引论.北京：北京大学出版社.1998.
[2]万哲光.李代数[M].北京：科学出版社，1965.
作者简介：朱春庆，男，硕士研究生，研究方向：李代数与量子群；通讯作者：王宪栋，男，教授。
论文作者:朱春庆 刘建岐 王宪栋
论文发表刊物:《文化研究》2016年2月
论文发表时间:2016/7/22
标签：代数论文; 空间论文; 矩阵论文; 度量论文; 元素论文; 同构论文; 数学论文; 《文化研究》2016年2月论文;