浙江省杭州市学林街小学 王芳兰
【摘 要】“20以内数的认识”是培养数感的开始，内容虽然简单，却值得小题大做。以具象实物为基础，联系生活情境认识数；以计数工具为媒介,建立十进位值制理解数；以多种模型为依托，促进深度思考运用数。认数教学要遵循学生的认知规律，从不同角度丰盈数感，为将来更深入的数学学习夯实基础。
【关键词】 数的认识 数感
认数是进行计算和其他思维活动的基础。20以内各数的认识人教版教材分三个单元编排：1-5的认识；6-10的认识；11-20的认识，这是认数教学的第一阶段。对于一年级学生来说，幼儿园学习加之生活经验和其他媒介的影响，已认识20以内的数，很多孩子甚至都已认识100以内的数。这一现象，给教学带来一个错误认识，许多教师以为20以内数的认识不用再教了。其实，如果只是会“1、2、3、4、5……”这样唱数,不等于他真正认识这个数，真正的认识是理解，是知道这个数代表什么，不仅能从数量中抽象出数，还能用数来描述数量。建立起数和数量的匹配关系，这就是数感。培养数感，是一年级认数教学的一个重要目标。数感不好不仅影响当下的学习，如常有学生出现（2）-3=5这样的错误；对后续学习影响更大,如估算、近似数的取值范围总是找不到合适区间，约分时常常不知道最大公因数是几，不清楚有没有约成最简分数，等等。笔者认为，“20以内数的认识”是培养数感的开始，内容虽然简单，却值得小题大做。
一、以具象实物为基础，联系生活情境认识数
“数源于数”，数数是感受数的意义及其大小的基本途径。“一”是自然数基本的计数单位，教学数数时，要结合具体的实物让学生一个一个地数，手口一致地点数，在数的过程中体会每个自然数都是若干个“一”累加的结果。其次，要让学生逐步学会几个几个地数，体会按群计数不仅能够提高计数效率，而且也与计数单位密切相关。
1.从实物到数，重视数数。
儿童对数的感知，是从实物中得到的。教学时可以利用可触摸的实物为载体，让学生感知数的多少，体会数的大小。如“1-5的认识”,教师可利用学生身边的实物引导数数，感知数就在身边，唤醒学生脑海中最初的、低级的数感，为学习更大的数做好准备。如数铅笔的数量,数数时我们从1开始，拿一枝铅笔说“1”，再拿一枝说“2”，再拿一枝说“3”……这样的数数过程，学生知道了数是某些量的集合,“3”是摆着的3枝铅笔的集合，也就是物体的总数，添上一个多1，去掉一个少1，一个数对应一个物体，建立起实物与数的对应关系。数数活动是学生形成数概念的基础，简单的过程蕴含着丰富的思想，没有数数这一过程，学生对数的理解是不深刻的。
2.从数到实物，丰富表征
心理学家皮亚杰说：“数不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的相互关系。”这种关系不是靠老师教会的，而是要学生自己去体验和发现，源于生活还要用于生活。教材选用大量生活中的素材抽象出数，感知数的意义，那么从实物中抽象出数后，再回归到实物就显得尤其重要。教学要让学生发现生活中的数，学会用数表达。如认识了“5”，想一想，“5”可以表示什么？“5”可以表示5颗糖果，还可以表示一只手5个手指头，“5”是一周上学的天数，“5”是我家住的楼层数等等，在交流中感受不一样的“5”，体会数的丰富内涵。认数时多一些这样的交流和表达，会增强学生用数学的眼光去观察周围事物和日常生活的意识，有利于建立起数和具体数量的联系。
3.在生活情境中建立数感
在数概念形成和发展的过程中，生活的需要是最大的推动力。因此，教学要在生活情境中充分展开，让学生理解数的实际意义，合理把握数量的多少，这是建立良好数感的基础和前提。教材中“美丽的校园”、“小猪帮小兔盖房子”、 “值日”、“课外活动”等主题图都有生动的现实情境，通过具体实物与数建立一一对应的关系帮助学生理解数的意义。如“6-10的认识”，教师可以利用主题图的资源展开教学：教室有几个同学在做值日？你是怎么数的？教室里还有哪些物品的数量也是6？……在熟悉的现实背景中抽象出6-10的数概念。同时,还要引导学生结合自身的生活经验理解数还可以表示顺序，区别几和第几的不同。如请一个小组的6个同学上台表演和请第6个同学上台，是两个不同的概念。生活中这样的例子还有许多，学生之前的感觉比较零散，一年级开始系统学习认数，就是要充分挖掘生活情境与数的联系，帮助建立数感。
二、以计数工具为媒介，建立十进位值制理解数
“十进制”和“位值制”是两个相当抽象的概念，学习这两个概念有一定的难度，但不建立十进位值制就无法理解“10”及以上的数。如：为什么1-9都只有一个数字，10要用1和0两个数字？0能不能不写？12为什么不能写成10和2合起来的样子？12为什么一定要读成十二，不能读成一二？学生会有这些问题的根本原因是对十进制、位值制的不理解。数数时,可以通过哪些计数工具，有效帮助学生感悟十进制和位值制，从而更好地理解数呢？
1. 借助小棒理解满十进一
如“11-20各数的认识”教学片断：
师：你的桌上有多少根小棒？
生：我有12根。
师：哦，是12根吗？你有什么办法让人很快看出是12根呢？
学生动手摆一摆，收集到以下摆法：
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反馈①②③后，师：他是怎么表示12的？谁能看懂④的摆法？
生：他是10根一起，再加2根。
师：是的,把10根小棒捆成一捆，数数时更方便，这样的一捆就是一个十。
接着认识13-20的数，当19再添1根时，学生马上喊“10根了，捆起来”，得出2个十是20。
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认数的初始阶段主要是以直观的、齐性的学具为主，如小棒10根一捆，满10根再一捆，理解满十进一。操作中虽然没有出现“满十进一”的术语，显然学生已经体悟到了十进制的思想。12为什么读成十二，而不是一二？课前的困惑自己就能解释了。
2. 借助计数器建立位值制
所谓“位值制”，是指相同的记数符号由于所在位置不同而表示大小不同的数目。历史上“位值制”的发明要比“十进制”晚得多，理解“位值”是非常抽象的。如何才能让一年级的学生理解呢？计数器是最好的辅助工具。
如：“看了视频，我们知道古时候人们用一块大石头和一块小石头表示11，刚才我们用一捆小棒和一根小棒表示11，如果只有2颗珠子,能表示11吗？”看着教师手里的两颗珠子，很多学生摇摇头。“真的不能吗？谁有办法？”讨论后,终于有学生想到一颗放左边表示10，一颗放右边表示1。教师趁机出示计数器，写上个位和十位，放个位的表示“一”，放十位的表示“十”，这样的两颗珠子表示“11”。虽然计数器不是新发明，但对学生来说这是一个再创造的过程。两颗一模一样的珠子表示不同的数，由“不能”到“能”，学生经历了“实物计数”到“符号计数”的创造过程。同样的珠子在不同的位置表示不同的数，这一环节通过计数器以一当十，帮助学生理解了“数位”这个抽象难懂的名词，渗透位值制思想，体会数的内部结构。10为什么要用1和0两个数字？0能不能不写？12为什么不能写成10和2合起来的样子？这些问题在创造位值制的过程中迎刃而解。
3.在学具操作中发展数感
数是一个及其抽象的概念，一年级学生又以直观形象思维为主，这一矛盾只有在学具操作中平衡。操作活动是抽象知识与学生形象思维之间的一座“桥”，学生通过操作小棒、计数器等学具，在有趣的活动中可以加深对抽象的数概念的理解。如“11-20各数的认识”,认识两位数并理解计数单位“十”，是对数概念的一次扩充。数数的过程中，1个1个地数、2个2个地数、5个5个地数，学生都朗朗上口，为什么小棒不可以2个1捆、5个1捆，而要10个1捆呢？其实，都是可以的，生活中就有很多2个一双的原型，如一双袜子、一双筷子。可是，结合计数器，学生会进一步体会以“10”计数的合理性，1捆可以用十位上的1颗珠子表示，2捆就用2颗珠，表示2个十，简单明了。1根1根的小棒对应个位上1颗1颗的珠子，十几就是十位上的1颗珠和个位上的几颗珠，也是1捆小棒和散根小棒的组合。从直观的、齐性的小棒到结构化的计数器再到抽象的数，三者的对应关系深入地诠释了抽象的数概念，操作的同时发展了学生的数感。
三、以多种模型为依托，促进深度思考运用数
数学不是教会的，是靠悟出来的。儿童思维往往会经历三个阶段：具象化，形象化和抽象化。具象化是指数学教学要结合实物或者实际情境进行。形象化是指数学能够用多种形式来表征，如象征性符号、图形等，它们能够在实物和符号之间搭建桥梁。抽象化就是建立抽象化的数学符号与现实世界的联系。20以内认数教学如果一直停留在形象阶段，那么学生的思维就会浮在浅表，不会深度思考。教学要依托多种模型，创设探究情境，适时地引导学生思维从形象走向抽象，让学习真正发生。
1.从数到轴，感悟数序
从具象中认识数，学生的大脑中储存了一个个具体的数，但这些数是散乱的，如何把这些数串起来，进一步感知数序，探究数的结构规律？数轴是一个很好的载体。认数的初始阶段可以通过数数，创建数轴模型，帮助学生认识数序，知道数的排列是有规律的。20以内数的认识，教材编排时出现了直尺上的数，如0的认识、10以内数的认识、20以内数的认识等都有涉及。认识直尺上的数，设置相关的习题，引导学生讨论、分析和探究，对数序有一个初步的感知，这是第一层次。接着把直尺再抽象成数轴，数轴上的数比直尺上的更抽象，更揭示本质。如：在□里填上合适的数。
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学生在填数的过程中不仅知道了数的先后顺序，准确地得出数在排列中的规律，还能通过数与数之间的位置和距离获得对数序、数列、数值的直觉认识。在初步建立数轴模型后，教师每次引导学生将所学的数在数轴上表示出来，让他们感悟抽象的数和直观的形之间的一一对应关系，在不断完善数轴模型的过程中感悟数序，发展数感。
2.从点到面，体悟本质
教材编排认识6-10的数时，有这样一组点子图，5个一列，在5的基础上通过增加点子认数。
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点子图是一个形象化的材料，没有非数学属性干扰，有序排列易于学生目测，通过数量的多少感知数的大小。但笔者以为，虽然只是一年级的学生，他们对数的表达，不应局限在一维空间点线的认识上，材料可以更丰富，感知可以更全面。如果教师善于挖掘素材，学生的感知可以扩展到二维甚至三维空间。如：已知小长方形里藏着10个点子用“10”表示，猜猜另两个图形可以表示几？
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从图中可以看出，学生的猜测有理有据，将大图形分割成两个小图形，每个图形可以看成2个十，也就是20.这样的猜测是以10为一份数猜几份数，选择恰当的参照物，不仅为良好数感的形成搭建了台阶，还为今后理解乘法是几个几的连加，学习倍数等知识做了铺垫。当然，还可以由多猜少，即已知几份数猜一份数的逆向思考题，发展数感的同时为除法和分数做蕴伏。除了长方形，还可以以正方形、圆形、三角形甚至不规则图形的大小来推测数，在分割、叠加等操作中将抽象的数转化成看得见摸得着的面，由面的大小推测数的大小，多种图形表达不离本质。
3. 在多重体验中丰盈数感
当看到一个数时，这个数不再仅仅是一个数，要在学生大脑中将实物、模型、数三者相融合，形成真正的数概念。教学可以再做些什么呢？笔者进行了尝试，设计实践活动搭一搭，体验数有高度。
师：讲台上有一摞语文书，猜猜有几本？
生：20本。（多了）
生：8本。（少了）
师：到底几本呢？
数出10本，再猜。这次的猜就是有标准量的估了，这摞书有15本。
师：换成一摞同样高的音乐书，会有几本呢？
生：25本、30本、40本……
师：为什么不猜15呢？
生：因为音乐书比语文书薄很多，肯定不止15本的。
师：如果换成厚的字典，大概几本就有这么高了？
……
在实践活动中，学生发现：搭同样的高度，语文书、音乐书和字典的数量不同，并且书越薄数量越多，书越厚数量越少。活动时先猜测，再根据一定数量的高度调整结果，建立数和空间的联系，体悟数有高度，丰富认数维度。还可以横向摆一摆，体悟数有长度，这些经验的积累从不同角度丰盈了数感。
20以内数的认识，看似简单，要把数真正理解透彻，却大有文章可做。认数教学要尊重学生的思维发展特点，充分经历数数的过程，先具体，再形象，最后抽象，通过多种方式理解概念，丰富理解的层面，建立数感，发展流动性的数学思维，为将来更深入的数学学习夯实基础。
参考文献：
[1]李勤.在数数中建立“十”的表象[J]. 小学数学教育, 2019(11).
[2]徐建文.让认数教学更具“温度”与“厚度”[J]. 小学数学教育, 2018(1-2).
[3]倪芳 吴正宪. “11-20各数的认识”教学实录与评析[J]. 小学教学教育, 2016(1-2).
论文作者:王芳兰
论文发表刊物:《现代中小学教育》2020年1期
论文发表时间:2020/3/17
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