弗雷格《概念记号》研究，本文主要内容关键词为：记号论文,概念论文,弗雷格论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来， 弗雷格研究的一个突破性成果是发现了弗雷格定理：用Hume原理取代弗雷格的公理V（注：弗雷格的公理V原理可简要地表述为：
Hume原理可简要表述为：
“e…”和“n…”分别读作“…的外延”（或“…的值域”）和“…的（基）数”；“F≈G”表示落入F的对象和落入G的对象之间有一一对应的关系，这是一个二阶公式的缩写。“Hume原理”一词由Boolos所提出，见[5]，p.186。），把它作为唯一的非逻辑公理加入到《概念记号》的二阶逻辑中可得到一个一致的系统；应用《概念记号》的序列理论来定义自然数，便可在上述系统中证明Peano 关于自然数的五个公设。弗雷格定理的发现促使人们重新审视弗雷格的著作，《概念记号》便是焦点之一。
本文回答四个问题：1.弗雷格在《概念记号》中要解决什么具体问题？2.他所说的“语言的逻辑缺陷”究竟是什么？3.有什么证据把《概念记号》的量词理论归于二阶逻辑？4.序列的纯逻辑理论何以可能？
一、《概念记号》的问题
在《概念记号》的序言中，弗雷格写道：“我的最初步骤是试图把序列中序的概念还原为逻辑的概念，以便据此得到数的概念。”（[1],p.5）在“布尔的逻辑演算和概念记号”一文中，弗雷格点明了他在撰写《概念记号》时所要解决的具体问题，即证明如下命题：在一个由函数关系所生成的迭代序列中，若两对象跟随同一个对象，则两者之一跟随另一个或两者等同。（[2],p.38）这一问题的含义可从下面的特例得到阐明：设0为初始对象， 则由后继函数所生成的迭代序列是自然数序列，若把“跟随”解释为自然数间的大于关系，则上述命题成立。在此例中，我们有两个关系：由后继函数所确定的关系和自然数间的大于关系，后者可视为由前者所派生出的“序”。一般而言，任给一（二元）关系，我们可把由此而来的关系——“跟随”——看成是由前者所派生的“序”。在现代文献中， 称后者为前者的“祖宗关系”（ancestralrelation）。因此，弗雷格的《概念记号》要解决两个问题：1、 任给一（二元）关系，定义其祖宗关系；2、证明上述命题。
在康德派哲学家看来，提出这两个问题无疑是自寻烦恼。因为，若把迭代序列看成是在时间中生成的一系列对象，则其先后顺序直观明显；若把迭代序列视为在空间中排列而成的一系列对象，则由于没有分岔（函数关系）其前后次序一目了然。无论何种情形都无必要去定义祖宗关系，更无必要去证明上述命题，因为它们对于我们的直观显得如此自然从而不可抗拒。
然而，时空可直观的序列仅是一种特例而已，因为组成这种序列的对象是时空可定位的实体。按弗雷格，还有非实在的（non-actual）客观对象，例如自然数。从纯逻辑的角度看，直观对此类对象的把握仅限于类比于前类对象，而对前类对象的把握只能是止于有效而不能达到求真。弗雷格试图表明我们可建立序列的纯逻辑理论，因而诉诸直观在此不是必然的。弗雷格的所为正是针对康德派的数学哲学，他要树立数学摆脱时空直观的独立自主性。为了建立序列的纯逻辑理论，“为防止任何直观之物不知不觉地介入，我不得不尽全力来使推导之链毫无间隙。在尝试以最可能严格的方式来满足这一要求时，我发现语言之不完善是一障碍……这一缺陷使我得到目前概念记号的想法。”（[1],pp.5 —6）
二、自然语言与概念记号
语言之不完善便是语言的逻辑缺陷。在其各种著述中，弗雷格反复谈到的一个话题是（自然）语言的逻辑缺陷，例如在“我的基本逻辑见解”这篇短文中，他写道：“做逻辑，在很大程度上就是与语言的逻辑缺陷作斗争。”（[2],p.252）那么， 自然语言的逻辑缺陷究竟是什么？对此问题的回答似乎要列出长长的一列清算单，然而，在我看来，弗雷格的天才表现在他对此问题的回答只需一句话：在自然语言中，人们以为谓词具有断言力（assertoric force）。
所谓谓词具有断言力，简言之就是说出一句话便是做了一个判断，由于通常可把否定词与谓词相结合而构成合乎语法的句子，于是便有了肯定判断和否定判断的划分；而形如“如果P，则Q”的句子由于P和Q被当作判断便成了联结两个判断的假言判断了，如此等等。仔细考察，以上貌似合理的划分实际上是众多逻辑混乱的根源。试看Geach 给出的两个例子（[3],pp.133—134）。在推理（1）“如果P则Q，P；故Q”中，“Q”的两次出现是相同的吗？如果相同，则由于判断“Q”已经是前提的一部分，此处便无所谓推理可言；如果不相同，则由于“Q ”的歧义，（1）的有效性便受到破坏。在推理（2）“如果非P则Q，非P；故Q”的前提中，“非P”是肯定“非P”还是否定“P”？ 如果我们承认推理（1）和（2）遵循同一个推理规则，则“非P”是肯定“非P”，这里没有所谓否定判断；如果我们认为“非P”是否定“P”，那么， 推理（2）的有效性不能从推理（1）得到。如此， 我们必须重新制定不同于（1）的包含否定判断的推理规则以使（2）成为有效的推理吗？
弗雷格的解决方案简单明了：把谓词和断言力相分离。判断乃是对判断内容的认可（为真）（弗雷格在写作《概念记号》时尚未区分表达式的涵义和指称），判断独此一种，没有肯定判断、否定判断、假言判断等等的区分。逻辑联结词“非”、“如果，则”等等不是联结判断的，而是联结表达判断内容的句子的。说出一句话不是做了一个判断，而仅是表达了一个可加以判断的内容。判断乃是附带有断言力的言说。同一个句子可被用作判断（例如（1）中“P”的第二次出现），亦可是另一个用做判断的句子的一个未被断定的部分（例如（1）中“P”的第一次出现），这些使用句子的不同方式没有相应的自然语言的手段来标识和区分，因为，“没有一个句子中的词或部分对应于[所附带的断言力，因为，]同样一系列词有时被附带有断言力地说出，有时不是如此地被说出，[从而]在语言中断言力只能由谓词来承担的”（[2],p.253 ）。弗雷格设计了一个标识判断的符号：“├”，断言力由此符号单独承担，这样，上面的推理（1）或（2）可表述如下：（1 ）“├（P→Q），├P；├Q”和（2）“├（P→Q）；├（P）；├Q”。如此一来，便消除了上述的逻辑混乱，弥补了自然语言的逻辑缺陷。
三、命题逻辑与分离规则
弗雷格强调他制定概念记号的目的不同于布尔制定逻辑演算的目的。Shapiro把布尔归入“代数学派”， 这一学派研究逻辑的首要目的是发展出一种形式演算，给予不同的解释，形式演算便成为关于命题、类或概率等的具体演算。这种逻辑演算实际上是一种类似于群论或域论的抽象代数。（[4],p.175 ）而弗雷格的目的则是“把代表逻辑关系的符号补充进数学的公式语言中，以建立一种概念记号，使得在证明的过程中消除文字[说明]，在使证明尽可能简明扼要的同时保证最高程度的严格性。”（[2],p.47）弗雷格所补充的符号就是逻辑联结词。
考察一下弗雷格的具体做法是饶有兴趣的。在弗雷格看来，要使所补充的符号能与数学公式语言的符号相结合，一个最低的要求就是所补充的符号有别于数学公式语言中的符号，这样在解读公式语言时不致于引起混乱。弗雷格因此而批评布尔直接借用数学符号来表示逻辑关系。在弗雷格的记号系统中，水平划“—”（the horizontal stroke ）起重要作用，由逻辑联结词所联结的句子是由在水平划下“悬挂”相应的线条来构成的。在我看来，水平划实际上标识逻辑联结词的辖域，起线性记号系统中的括号作用。
弗雷格的概念记号与布尔的逻辑演算还有更深层次的区别。在布尔的系统中有非逻辑常项（non-logical constants ）故在不同的模型中可有不同的解释，布尔的系统更接近于现代意义上的形式系统。弗雷格的系统则是一个没有非逻辑常项（代之的是一阶或二阶变元）的系统，因为逻辑联结词所结合的是有既定意义的（数学）陈述，因而没必要对之进行再解释。进一步，逻辑主义论题之一是把数学术语还原为逻辑术语，因而逻辑主义的理想语言应该是没有非逻辑常项的，弗雷格所构想的正是这样一种语言。关于这些问题的详述可参考[4]。
弗雷格的逻辑联结词所代表的是真值函数，弗雷格选择否定和条件两个真值函数为基本函数，一方面是因为它们构成真值函数的恰当集，更重要的是可使分离规则成为（命题）逻辑的唯一推理规则。
四、二阶逻辑与替换规则
弗雷格的量词理论与现代的一阶谓词演算有两点不同。第一，现代一阶谓词演算中的（开）公式在弗雷格系统中可作为一个代表概念或关系的概念词或关系词，例如“Px”、“Px→Qx”和“xRy”等等。 根据一阶谓词演算的句法规则，开公式可由开公式通过逻辑联结词来递归地构成。而在弗雷格的系统中，只有句子才是由句子通过逻辑联结词来递归地构成的，而概念词是由概念词的析出法：即在一个句子中用同一个字母来取代某个专名的一个或若干个出现来获得的。例如，概念词“Px→Qx”是由在句子“Pa→Qa”中（这里设“a”是某个专名）通过用字母“x”取代专名“a”的两次出现而获得的。然而作为（开）公式的“Px→Qx”也可直接看作是由“Px”和“Qx”通过逻辑联结词所递归地构成的。为什么弗雷格不采用（开）公式的构成法而强调概念词的析出法呢？我将要论证，弗雷格的概念词的析出法正是下面要谈到的二阶逻辑的概念概括原则的一种独特的表述。第二，不但专名可被字母所取代从而是可被量化的（quantifiable），谓词同样可被字母所取代从而是可被量化的，“既然记号Φ出现在表达式Φ（A）中且我们可设想它被其他记号Ψ或X取而代之，从而表达目（argument）为A的不同函数，我们也可把Φ（A）当作是目的为Φ的函数”（[1],p.24斜体为原文所有）。这段话可视为弗雷格引进二阶变元的一个证据。
下面，我们首先陈述《概念记号》中的替换规则，再由此导出二阶逻辑的概念概括原则，最后表明弗雷格的概念词的析出法是二阶逻辑中的概念概括原则的等价表述。
除分离规则外，《概念记号》中另一个重要的推理规则是替换规则。不同于分离规则，它没有被明确地陈述出来，然而在弗雷格建立序列的纯逻辑理论中被反复使用。替换规则可陈述如下：
如果Φ（Fx）（其中变元F是自由的）是一个逻辑定理， 那么用任一带有自由变元x的开公式ψx来替换原子公式Fx的所有出现所得的Φ（ψx）也是一个逻辑定理。
下面，
我们来推导二阶逻辑中的概念概括原则（Thecomprehension rule for concepts）：
即为二阶逻辑中的概念概括原则（同样我们可推导出关于关系的概括原则）：任一合式的含有一个变元的公式都确定一个概念词。根据弗雷格的概念词的析出法：在一个句子中用同一个字母来取代某个专名的一个或若干个出现便可得到一个概念词，这样得到的概念词正是含有一个变元的合式公式。由此可见，弗雷格的概念词的析出法是二阶逻辑中的概念概括原则的等价表述。弗雷格的概念词的析出法表明他的《概念记号》系统是一个二阶逻辑系统。顺便指出，由于我们可以通过逻辑联结词从句子来递归地构成句子，应用概念词的析出法，逻辑联结词自然而然地成了概念词的有机组成部分，这便极大地扩展了概念词的范围。
五、序列的纯逻辑理论何以可能？（问题的解决）
序列的纯逻辑理论之所以可能是因为：（一）可纯逻辑地刻画序列；（二）可纯逻辑地定义序列的“序”；（三）可纯逻辑地证明序列的基本性质。
（一）弗雷格直截了当地把一个序列等同于一个二元关系，二元关系是序列的逻辑对应物。值得注意的是，弗雷格的着眼点不是组成序列的对象或其排列，这就使他得以超越任何关于序列的直观，因为这样一来，我们便可把对序列的研究转换为对二元关系的逻辑研究了。现举数例说明：（1）S：x+1＝y（后继关系），设初始对象为0，则由S 所生成的序列为自然数序列；（2）E：x+2＝y，设初始对象为0，则由E 所生成的序列为偶数序列；（3）F：y是x的子女，由此可生成一个家族树，等等。这里（1）和（2）是函数关系，（3）不是函数关系。
（二）任给一个二元关系R，R的迭代运用显示一个“序”R'，即满足如下条件的“序”：
（1）xRy→xR'y
（2）对任何z1，z2，…，zn，有xRz1∧z1Rz2∧……∧znRy →xR'y，递归地，xR'z∧zRy→xR'y满足（1）和（2）两个条件的“序”R'称为R的祖宗关系。若令Gz 为xR'z，则由（1）知xRy→Gy，全称概括，有
；由（2），Gz∧zRy→Gy，全称概括，有
。这就启示弗雷格如下地定义R'：
（《概念记号》定义76）如此定义的R'使得（1）和（2）成为逻辑可证明的了。
（三）作为例子，我们给出第一节所提到的基本命题的证明纲要。按上述记号该命题可表述如下：
Func（R）∧xR'y∧xR'z→yR'z∨zR'y∨y＝z （《概念记号》命题133）
弗雷格证明此命题的步骤是：第一，根据概念概括原则，令Hv 为vR'z∨zR'v∨v＝z；第二，在假设Func（R）和xR'z成立的条件下分别证明有
弗雷格在其后续工作（主要是《算术基础》）中，分析了包含（基）数词的命题的逻辑结构，定义了0和基数的前趋关系P，由此，应用《概念记号》的定义76，他定义自然数如下：Nx＝dfx＝0∨0P'x。这样一来，数学归纳法就成为逻辑真理了。因为由《概念记号》的定义76，我们可立即证明有
下一步，先取x＝0，再用Nx替换x＝0∨0P'x，最后由于前趋关系P是函数，我们用s（d）＝a来替换dPa，整理后可得
至此，回顾本文开头所引用的弗雷格的话“我的最初步骤是试图把序列中序的概念还原为逻辑的概念，以便据此得到数的概念”，我们可清楚地看到，弗雷格正是为了定义自然数和为数学归纳法提供逻辑辩护而创立概念记号的。《概念记号》奠定了弗雷格逻辑主义的基础。