论中学数学探究学习的价值取向：以勾股定理教学设计的改进为例，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,为例论文,教学设计论文,价值取向论文,中学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学探究学习在中学数学课堂教学中越来越受到教师们的重视.数学探究学习由于受到中学生的经验、认知水平、知识背景、教学时间与空间等主客观条件的限制，使得数学探究学习不可能完全等同于真正意义上的科学探究，教学形态下中学数学探究学习教学设计追求怎样的价值目标，已经成为影响中学数学课堂教学质量的重要因素.本文以一节评优课的教学设计存在的问题及其改进为话题，在实践层面上阐述对上述问题的看法.
一、以“勾股定理”为课题的课堂教学实录
（一）情境创设
师：同学们，这幅图（如图1）是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.请你观察这枚邮票上的图案和图案中的小方格的个数，你有哪些发现？
（二）数学探究
教师把邮票中的图案抽象成如图2所示的图形，并放在方格纸的背景中.
师：同学们，小方格的面积都是1，以BC为边长的正方形的面积是9，以AC为边长的正方形的面积是16，你能计算出以AB为边长的正方形的面积吗？（教师在此引导学生利用“割”或“补”的思路，去寻求计算以AB为边的正方形的面积方法.
师：同学们，从这三个正方形面积之间的关系里，你们发现了什么？
（三）类比延伸
师：同学们，请大家在方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，仿照上面的方法，分别计算它们的面积后，你又发现了什么？
以下一般有两种设计，一种是直接抛出问题：你对直角三角形三边之间的数量关系有什么猜想？另外一种设计是考虑到仅用在方格纸中的直角三角形的讨论，其实只是探讨了边长为整数的直角三角形，设计者似乎感觉到还不太完整，于是，又利用《几何画板》把这个问题延伸到了没有方格纸做背景的任意边长的直角三角形，然后利用画板的“度量”功能进行计算，推出直角三角形中两直角边的平方和与斜边的平方之间的数量关系的结论，或对上述结论再进行验证.
（四）应用拓展
在推出勾股定理的结论后，接着给出与之相关的日常语言、符号语言和图形语言三者之间的转换及简单应用，有的教师还把与勾股定理有关的素材进行了简单介绍，做了数学文化方面的延伸.
二、我们的思考
本课教学内容属于苏科版《数学》（八上）第二章第一节“勾股定理”（第1课时）.九年制义务教育《数学课程标准》（2011版）对勾股定理的教学要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”，因此，本课的教学设计思路应该定位为数学探究学习.但笔者认为由于教学设计者在对数学探究学习理念上的认识偏差使得本节课在实际教学中的探究学习效益偏低.笔者结合自己长期以来所听过的相关内容的探究学习课例，发现其中有相当一部分也存在着与本课例设计类似的问题，因此，有必要就数学探究学习的价值取向及其课堂教学设计的优化进行探讨和研究.
（一）数学探究学习应追求的价值取向
教学总是按一定的方法进行的，而教学方法的直接基础是学生学习的方法.在学生学习的方法上，历来有多种多样的主张和做法，但所有的主张和做法大体上可以划分为两大类型：接受学习和发现学习.
布鲁纳认为学生的认识过程与人类的认识过程有共同之处，而教学过程就应该是在教师的引导下让学生发现的过程.同时，布鲁纳还认为学生发现学习的“发现”与科学家的“发现”只是形式和程度的不同，但性质是相同的，都是通过积极的思维活动而发生的，其智力功能和发现价值是相通的.因此，学生要像数学家那样思考数学，成为一个“发现者”.布鲁纳还认为发现法能造成研究问题的情境，产生学习的内在动机，并在学生的意识中引起类似科学研究的任务和问题，促使他们努力去探索和掌握科学结论，从而提高学生的智慧，发挥学生的智能.从这里我们可以看出探究性学习作为发现学习的一种类型，其真正的价值所在就是蕴含其中的能促进学生产生学习的内在动机的问题情境，以及能引起学生进行类似于科学研究的任务和问题，并通过对这一系列问题的探究和学习提高和发展学生“能像数学家那样去思考问题”的思维能力.因此，我们认为中学数学探究性学习中如果能创造激起学生强烈的求知欲望并蕴含任务或问题的情境以及在探究学习中能培养和发展学生的类似于“专家型”的数学思维能力才是数学探究学习的重要目标所在.
通常学校教育中的发现学习大致可以划分为两个层次：（1）质疑性学习（query learning），这是在接受学习的基础上，对所接受来的知识结论并不是绝对的相信，而是持有质疑态度，通过验证、反思和批判，找出所学知识存在的问题或错误，或者证明其正确性的过程.（2）探究性学习（inquiry learning）或研究性学习（research learning），探究性学习是指学生通过提出问题，分析问题和回答、解决问题而获得知识的一种学习方式；研究性学习是指学习者以类似于科学研究的方式进行的学习.从这里我们也能看出同样是发现学习在层次上也是有高低之分的，因此，在学校教育中运用发现学习教学方法时也要能针对学生的学力水平选择不同层次的质疑性学习或探究性学习、研究性学习等方式因材施教.
（二）本课例在教学设计上的缺陷
1.情境创设中任务或问题及其“生长性”的缺失
探究学习是基于问题的学习，探究学习中的问题可以由教师直接告诉学生，也可以由学生通过探究、归纳、类比等合情推理后自己提出问题，这都应当由预设的探究学习的层次与水平要求决定.本课例展示的问题就是属于由教师直接交给学生去探究学习的问题，这样的安排也是目前国内中学数学基础教育课程教材中通行的内容呈现形式，但是这样的教学设计所提供的问题情境其实仅仅是生成了一个可以让学生去验证的结论——“直角三角形的两直角边组成的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积”而已，由于这个任务不是由学生通过探究自主生成的，或者也不是由学生通过探究后自主性提出的问题，因此，这就缺少了培养学生发现问题、形成和提出问题的过程.另外，又由于这个任务只要求学生去验证该结论的正确与否，从而就显得这个问题的目标指向性过于直白和单一，因此也就失去了其在教学过程中的“可变性”和“生长性”.我们认为这样的教学设计对于中学数学探究学习要培养学生发现问题、提出问题、转化问题到最终解决问题和培养学生具有一定的“数学问题意识”的数学能力要求是非常不利的.
2.教学过程中对学生数学思维能力培养“着力点”的定位偏差
数学探究学习既然不是真正意义上的科学探究，当然也就不需要去让学生经历真正意义上的科学探究的完整过程，作为课堂教育形态下的数学探究学习的主要任务就是要培养学生的“专家型”的数学思维方式和能力，众所周知，数学思维能力主要是以学生个体能否充分利用类比、归纳或抽象、概括等合情推理或逻辑推理的方式和方法，从情境中提出任务或问题并利用数学概念建构或化归、数学模型思想或公理化方法、极限或逼近思想、方程或数形结合思想、概率与统计思想等重要数学思想或方法顺利解决问题的能力为重要的衡量指标的.因此，在教学中就要找准实现这一目的的“着力点”.显然，本课例的教学设计在教师提出让学生去验证结论——“直角三角形的两直角边组成的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积”以后，就已经把学生直接引向到了利用方格纸和“图形的割补”去验证以格点直角三角形的三边向外所作正方形的面积之间的数量关系去了，从而把一个本应是对数学思维训练和培养的过程降格为一个面积之间的关系的验证过程，这种做法当然也就极大地弱化了作为数学探究学习对学生数学思维能力培养的力度.
3.探究学习过程中分层教学方法的缺失
按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“勾股定理”的教学要求，我们可以看出学生学习勾股定理除了要掌握其知识和技能目标外，还要有对勾股定理探索体验的过程目标.但探究学习是要受学生认知发展水平和知识背景制约的，考虑到七至九年级学段的中学生无论在个体经验、认知水平或知识背景方面都还无法同真正从事科学探究的成人相比，所以国内编撰的不同版本的教科书对这一部分内容的处理都考虑到了绝大多数学生的接受能力，因此，它们一般均采用目标层次适中的“质疑性学习”等探究性学习课题.笔者在对国内中学数学基础教育课程教材进行比较研究后发现，绝大多数教材关于“勾股定理”这一部分教学内容的呈现方式上同本课例引入的情境大同小异.毋庸置疑，教材的呈现方式也会影响着课堂教学设计及教师的教学行为.目前在勾股定理的课堂教学中，多数的教学实践都按上述思路设计也就不足为怪了.既然“质疑性学习”属于发现学习中较低层次的学习，那么这种面对不同认知水平和知识背景的学生都采用与本课例类似的探究性学习就必然会降低学生学习的质量和效率.
三、改进后的“勾股定理”教学设计
基于以上的思考，我们对“勾股定理”的教学设计进行了改进，并做了课堂教学实验，受到了师生较好的评价.现将本课的设计思想陈述如下，并作简要点评，以供专家和同行研究.
（一）情境创设
师：同学们，我们都研究过三角形.请问：三角形的三条边之间满足什么样的数量关系？
生：三角形的两边之和大于第三边，同时，两边之差小于第三边.
师：很好！我们能发现：三角形三边中，任意两边的和或者差与第三边只存在着不相等的数量关系.同学们，现在你们能不能再提出一个与三角形三条边长都有关的数量关系的猜想？
评析 通过让学生回忆三角形三条边之间的数量关系创设问题情境，鼓励学生通过归纳、类比等合情推理，大胆猜想并提出假设和问题，培养学生的问题意识和合情推理的能力，同时也激励学生的学习动机和兴趣.另一方面，教师所提的问题空间也较大，能适合不同认识水平的学生展开积极地发散思维，让具有不同思维能力的学生通过本课的学习都能得到发展.
（二）数学探究
经过一段时间的思考后，终于有学生提出了自己的猜想.
生：在三角形中任意两边的平方和大于第三边的平方；任意两边的平方差小于第三边的平方.
师：很好！终于有人提出猜想了.现在大家都来思考一下：这位同学的猜想正确吗？
师：是呀！这两位同学各找了一个反例马上就推翻了刚才那位同学给出的结论.这说明了什么？
生：说明刚才那位同学提出的猜想不正确！师：是吗？能这样下结论吗？
生：不对！我的想法是：只能说刚才的猜想不一定对，也就是说：有的三角形两边的平方和会大于第三边的平方；有的会小于第三边的平方.
师：说得很好.我们能再进一步对这个想法进行探究吗？
师：同学们，我们在探究前最好先要拟定一个计划，筹划一下怎么来探究.谁先告诉我你的探究计划？
生：老师，我准备先画几个三角形，然后量出它三边的长，再算一算它们的平方，看看是否能呈现一定的规律.
师：这个想法很好！这也就是说：我们可以先用“特殊化”的方法进行具体的研究.现在我们大家来进行合作，每人都在老师课前发给你们的方格纸上随意画一个“格点三角形”，然后量一量三边的长，有计算工具的同学请自己计算，没有带计算工具的同学把数据告诉我，让老师利用计算机来帮你们计算.
评析 教师在学生提出假设后，引导学生从特殊的、具体的某一个三角形开始进行探究，而且在探究过程中，发动学生充分利用身边的测量和计算工具，学会独立进行必要的数据收集与处理的方法，并指导学生对所探究的结论进行规范的数学表述后形成结论，这符合人类探究的一般思路或做法，对培养学生的数学思维和将来真正从事科学研究具有指导和示范作用.
师：先让我们来统计一下，全班分别有多少人画了锐角三角形或钝角三角形或直角三角形……请同学们把你画的三角形分别标上字母A，B，C，假如你画的是钝角三角形就请你把钝角标记为∠C.现在先请画锐角三角形的同学把测量结果告诉老师.
师：谁能把这位同学说的用数学语言表达出来？
生：当三角形是锐角三角形时，两边的平方和总是大于第三边的平方；当三角形是钝角三角形时，两较小边的平方和小于最大边的平方.
师：很好！你们还能有其他的发现吗？
生：当三角形是直角三角形时，两直角边的平方和应该等于斜边的平方！
师：我们经过对一些特殊三角形的研究，发现了锐角三角形、钝角三角形和直角三角形三边之间的数量关系.但这些结论都是我们借助测量工具仅仅是对有限个特殊的三角形，通过计算得到的，而且我们知道只要是人为测量的结果就一定会有误差，我们能不能不用测量工具来进行相应的探究呢？
师：刚才我们测量得到的数据是通过求平方或者求平方和来进行探讨研究的吧？同学们，你们知道数学上哪个量与平方有关系呀？
生：面积！可以以三角形的各边作正方形，然后再研究这些正方形面积之间的关系.
师：对呀，我们可以借助于面积来进行探讨.同学们，刚才我们通过探究，得出直角三角形三边之间的数量关系的猜想，但在没有进行证明之前还不能作为真理，你们能证明它吗？
师：好！现在我们就来证明：当三角形是直角三角形时，两直角边的平方和等于斜边的平方.
（三）数学证明
在教师的指导下，引导学生利用面积对勾股定理进行数学证明，并简单介绍勾股定理的文化意义.
（四）应用拓展
教师利用勾股定理进行了简单应用方面的拓展.
评注 教师带领学生通过合作学习，借助测量和计算工具对特殊的锐角三角形和钝角三角形两边的平方和与第三边的平方进行了比较，由学生自主地得出了结论，显得既符合逻辑又来得自然，学生普遍都显得比较兴奋和激动.并且教师利用“面积”与“平方”之间的关联，渗透数形结合思想，又把学生自然地引向对勾股定理的一种证明方法的探讨上来，从而引导学生从感性思维上升到理性思维的层面上，这样做符合人类的一般认识过程.我们认为这样的数学探究学习才能真正地达成培养学生的数学探究能力和数学思维能力.