中学生数学知识建构水平差异性的实验研究，本文主要内容关键词为：差异性论文,中学生论文,实验研究论文,数学知识论文,水平论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
20世纪80年代以来，随着建构主义的发展，其理论对数学教育研究与实践的影响日渐深刻.建构主义关于知识不是对现实的准确表征，而是一种解释与假设的观点；不同的人看到事物的不同方面，因此对于世界的理解和赋予意义由个体自己决定的观点；皮亚杰的学习从属于发展，同样的学习情景对不同发展阶段的人会产生不同效果的观点等，对国内外数学学习心理、数学教学模式等问题的研究产生了重要影响.例如，美国学者Ed Dubinsky等人提出的APOS（Action——操作、Process——过程、Object——对象、Schema——图式）数学学习理论，对建构主义学习中的意义赋予过程进行了详细的分析[1]；贾斯珀（Jasper）建构主义教学案例研究[2]等.我国学者的研究重点在建构主义的数学学习理论研究与数学教学研究两方面.
综观建构主义观点下的数学教育研究，我们感到对于学生数学认知结构建构水平的研究比较缺乏[3～5].我们对中学生数学知识建构水平的实验研究，目的是要验证学生的数学知识建构水平是有差异的.这种差异性主要体现在认知结构中知识的广度；认知结构的层次性和逻辑性等方面.通过对实验结果进一步的统计与分析，检验学生的数学知识建构水平与其数学学习成绩之间的相关性.
一、实验
1.被试
为避免被试在年龄、智力水平、学习背景方面的过大差异，我们从首都师范大学附属中学的高二年级中选取一个班的学生作为被试.样本容量为50人，被试年龄为16～17岁.
2.方法
实验采取使被试通过对所提供的信息进行解释及联想的方法，展现其认知结构.实验是以“不等式”和“多面体”两个具体数学名词为信息源，激活被试已建立起的知识结构.实验采用笔答的方式，测试时间为一节课（40分钟）.
通过对学生自己展现的认知结构进行比较，判别学生建构水平的差异及其类别，分析形成学生建构水平差异的主要因素.
通过统计检验和访谈的方法，分析学生建构水平差异与数学学习成绩优劣的相关性.在操作上，我们将得到的影响建构水平差异的诸因素分别与学生的学习成绩进行皮尔逊积差相关性检验或差异的显著性T-检验.访谈的目的是为了更准确地对实验结果进行分析.
3.实验步骤
（1）为了对被试学生有初步的了解，建立主试与被试问的信任感，在进行实验前主试到被试所在班级听课一周.
（2）在测试前，主试向被试说明测试时间及答题的注意事项.
（3）学生笔答测试卷.
二、实验结果与分析
本实验共收回答卷49份.在实验过程中，由于时间估计不足，部分学生未能完成对“多面体”内容的回答，因此我们只将“不等式”这部分内容学生的答题情况作为分析对象，由于有1人未答此题，所以有效答卷为48份.有效答卷被试中男生20名，女生28名.
1.知识建构水平差异及其相关因素分析
（1）认知结构中知识的广度
从涵盖数学知识内容的角度分析，我们根据知识的类别将被试的答卷信息按以下6个层次进行划分：定义、概念；命题、定理、性质及基本结论：解法与证法：知识应用；数学思想；与不等式相关的其它信息及学生自己的认识与构想.学生共提出与不等式相关知识点类别16个，统计结果如表1所示.
表1 与不等式相关的知识点类别统计┌────────────────────────┐│层次
知识点类别
人次
│├────────┬───────────────┤│定义
│不等式的定义
20
││
│不等式基本性质
23
││命题、性质、定理│
││
│不等式相关定理
20
││
│不等式的分类及解法
38
││解法与证法
│
││
│不等式的证明方法
22
││
│与生活相关的应用
14
││不等式的应用
│
││
│与自然科学相关的应用
16
││
│函数思想
26
││数学思想
│
││
│数形结合
23
││
│方程
18
││
│等式
22
││
│集合
9
││相关知识及其它 │代数式
2
││
│数与数集
9
││
│数列
8
││
│函数的定义域、值域及应用 9
│└────────┴───────────────┘
在以“不等式”为信息源建立的认知结构中，被试间表现出的差异首先反映在知识的广度上.在相同时间内，相同环境下，被试对不等式及与不等式相关的知识内容联想的广度是不同的，如表2所示.
表2 与不等式相关的知识广度的差异统计
39 25 21 20 19 17 16 15 14 13人数
1
2
1
3
4
2
5
1
4
2
12 11 10
9
8
7
6
5
4
2人数
1
4
2
4
4
1
3
2
1
1
从表1可以看到被试对“不等式”这个信息的反映主要是集中在不等式的分类及解法方面.有38人次提到且较为详细地列举出不等式的类型及每种类型常用的解法；而对于性质、定理，不等式的证明及其中体现的数学思想这类知识反映的人数相对较少.这种差异体现出被试在不等式知识的学习过程中比较重视或较易掌握不等式的解法（对于学生来说计算比推理更容易掌握），相对而言不大重视或不易掌握不等式的证明和解决问题的思想方法，因此出现了在认知结构上突出解法的状况.
答卷中涉及第四层、第六层次中关于不等式在生活与自然科学中的应用，以及与不等式相关知识的联系的内容的被试人数明显减少.说明被试对数学知识的应用意识以及建立不等式与其它知识间的联系的能力有着比较大的差异.表1、表2反映出被试在认知广度上的差异性.
（2）认知结构中认知出发点
通过研究答卷，我们发现被试对“不等式”进行建构的认知出发点存在着差异.经过统计，有63.3％的被试以不等式的定义，性质为出发点，逐步进入到建立不等式解法、证法及应用等认知层次.有20.4％的被试则是从不等式的解法及证明的角度出发来建立认知结构的：有的被试由此逐步联系到与之相关的性质、定理、公式，不等式的分类及与之相关的知识点；有的被试则直接与不等式的应用建立起联系.有12.2％的被试的认知出发点始于不等式的应用，其中部分被试由此联想到许多自然科学和社会科学方面的问题，如哥德巴赫猜想、柯西定理、阿基米德定理；社会科学中存在不等关系的一些以少胜多，部分之和大于整体的事例.还有4.1％的被试从与不等式相关的知识点，如等式、方程出发，通过表明它们之间的差别与联系建立认识结构.
（3）认知结构的呈现形式
通过归纳，我们将答卷中被试认知结构的呈现形式分为4种类型或称4种模式，根据其特点命名为：层次网络式，锁链连接式，散射分布式，语言描述式.我们认为出现不同认知结构与被试对所获得知识信息加工方式的差异性有关.学生的认知结构能够反映学生对所存储的信息进行处理的逻辑性与结构性.在这4种模式中，层次网络式能够清晰地反映出被试对所学知识以及知识间逻辑关系的较为清楚的把握；锁链连接式缺乏对知识本身及其联系性的较为深刻的理解；而散射分布式及语言描述式虽然表明被试对所学知识有一定的记忆能力，但是往往出现“眉毛胡子一把抓”的局面，难以形成有逻辑性的认知结构.
2.建构水平与学习成绩差异的检验与分析
为了检验学生的建构水平与其学习成绩之间是否存在一定的相关性，我们将学生的答卷情况与其不等式单元的测试成绩进行了对比与分析.
（1）认知结构中知识点个数与学习成绩的相关性检验
我们采用皮尔逊积差相关检验法，检验被试认知结构中出现的知识点的个数（见表2）与他们不等式单元的测验成绩的相关性.
利用SPSS统计软件，得到皮尔逊积差相关系数为r[，XY]=0.598且p＜0.01.结果表明被试不等式认知结构中知识点的个数与其该部分内容的学习成绩是显著相关的.我们还看到大部分学生学习成绩的高低与测试所答知识点数目的多少是一致的.但某些学生（主要出现在60～78分数段）在认知结构中出现的知识点数量的多少与学习成绩的高低不完全一致，这个现象还需要我们做进一步的研究.总体来说，认知结构中丰富的数学知识储备有利于学生进行数学研究及问题的解决.
（2）认知出发点的差异与学习成绩差异的显著性检验
通过统计分析，被试的认知出发点可分为4类：①不等式的应用；②不等式的解法与证法；③不等式的性质与定义；④与不等式相关的知识.被试选择相应认知出发点进行认知建构人数如表3所示：
表3 与不等式相关的认知出发点的类别统计 认知
不等式 不等式解法 不等式定 与不等式相出发点
应用
及证明
义与性质
关的知识人数
2
14
28
4
我们采取独立样本T-检验方法，检验认知出发点的不同是否会导致被试的学习成绩具有显著的差异性.由于选择①、④的被试人数太少，而选择②、③作为认知出发点的被试较多，所以我们检验②、③两组被试的学习成绩是否具有显著差异.
同样利用SPSS统计软件，得到检验结果为t=-1.883，df=40，p=0.067＞0.05，表明②、③两组被试间的学习成绩的没有显著差异.但是另一方面的统计结果表明，以不等式的解法与证法为认知出发点的被试的平均学习成绩为75.36，以不等式定义及性质为认知出发点的被试平均成绩为65.86.因此我们还是可以认为这两组被试学习成绩间有一定的差异性，即学生认知出发点的差异对学生学习成绩有一定的影响.这一问题也有待于我们进一步选取大样本进行统计检验.
（3）认知结构呈现形式的差异与学习成绩差异的相关性分析
我们分析了若干名成绩优秀的被试的答卷，并通过访谈被试的任课教师，发现学习优秀的被试的认知结构表现出3方面的特点：
其一，思维具有跳跃性，他们认知结构建立的出发点大致为两类：一类是以不等式的解法和证法为出发点；另一类是以不等式的应用为出发点.特别是后者体现出思维的灵活性及跳跃性，敢于大胆联想.
其二，认知结构所涵盖的内容比较丰富、全面，从基础知识到知识的应用，从数学内部到数学外部，知识间建立了广泛的联系.
其三，认知结构多以层次网络式呈现，较为合理地建立起知识间的联系，充分反映出学生在分析、整理数学知识过程的逻辑性、条理性、层次性.由认知结构的呈现我们可以了解学生是否抓住了知识的核心问题，是否清楚知识间内在联系.
特点二和特点三所反映的知识间联系的广泛性和逻辑性是十分重要的.依照建构主义的观点，学生的学习过程是在其原有认知结构的基础上亲身经历知识的发生与发展过程，是对新材料主动地、创造性地加工整理的过程.在这个过程中新知识的获得必然会与学生个体已有的知识、经验发生联系，使原有的认知结构得以调整或重组，实现由量的积累到质的飞跃.
我们同时也对学习成绩较低的被试的答卷做了分析，其特点为：第一，对于不等式的知识内容呈现得较零乱，没有抓住问题的关键；第二，回答的内容较片面，仅涉及不等式的某一部分内容，反映出没有全面把握知识；第三，认知结构的呈现形式多为语言描述式或散射分布式，没能体现出他们对知识间逻辑关系的认识.
三、结论
通过上述实验及分析，我们认为可以得到以下结论：
中学生的数学知识建构水平是有差异的.这种差异性主要反映在数学认知结构中知识的广度不同；建立认知结构的知识基础不同；知识间联系的程度与方式不同，从而使得认知结构的层次性、逻辑性不同，认知结构的呈现形式也不同.
学生的数学认知结构图式主要有4种形式：层次网络式，锁链连接式，散射分布式及语言描述式.
学生的数学知识建构水平与其数学学习成绩之间具有较显著的相关性.