短期和长期生产函数的联系，本文主要内容关键词为：函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
生产者行为理论是研究厂商如何通过投入与产出、成本与收益之间的选择，实现自身利润最大化的过程。生产者行为理论的目的，是从理论上说明决定供给方主要因素的生产者行为是导致供给曲线单调上升的原因。生产者行为理论的研究必须具有这样两个步骤，第一，研究厂商如何决定投入与产出的关系，这是生产中的技术问题，集中在生产论中研究。第二，研究投入的成本与产生的收益之间的关系，产出的收益涉及到不同的市场类型，市场类型的不同导致产出收益的不同。这些经济问题构成了成本论和市场类型理论的主要内容。生产过程中生产要素的投入量和产品的产出量之间的关系，可以用生产函数来表示。可见，对生产函数的研究是生产者行为理论的首要问题，它是生产论、成本论、市场类型理论的基础。
生产函数表示在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系，生产函数按生产者能否变动全部要素投入为标准划分为短期生产函数和长期生产函数。短期指厂商来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的情况，通常认为劳动要素的数量在短期是可变的，资本要素的数量在短期不变。长期指生产者可以调整全部生产要素数量的情况。本文旨在对短期和长期生产函数进行研究，以揭示两者之间内在的联系。
一、短期生产函数的性质
短期生产函数表示总产量q是一种可变要素投入数量x[,1]的函数，可以写成：
q＝f（x[,1]）
短期生产函数是连续的，具有连续的一阶和二阶导数。决定短期生
dq
产函数单调性的是生产函数的一阶导f[,1]＝───，即边际产量。
dx[,1]
f[,1]从正到负的变化，表明短期生产函数先单调上升，达到极值点后，再
点后，再单调下降的过程。对f[,1]取值范围并没有严格限制。从方法论上看， 微观经济学在运用数学工具研究人的行为时，就采用这种将人的行为简化为一个一元函数，再研究函数性质的方法。
d[2]q
短期生产函数二阶导f[,11]＝─────的性质既决定短期生产函
dx[2][,1]
数是以递增还是以递减的速率上升（即生产函数的凹凸性），同时还决定短期生产函数一阶导的单调性。二阶导的性质是以边际报酬递减规律来表述。西方经济学家指出，在生产中普遍存在这样一种现象：在技术水平不变的条件下，在连续地把某一种可变生产要素增加的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加一单位该要素的投入量所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加一单位该要素的投入量所带来的边际产量是递减的。这就是边际报酬递减规律。
一种可变生产要素的生产函数的产量曲线
边际报酬递减规律的重要性在于决定了短期生产函数的性质，短期生产函数先以递增的速率上升（OB段），即凸向横轴；经过拐点B， 再以递减的速率上升（BC段），凹向横轴。边际报酬递减规律的数学表述是：
d[2]q
─────＝f[,11]〈0
dx[2][,1]
二、长期生产函数的性质
长期生产函数中总产量q是两种要素投入x[,1]、x[,2]的函数， 即：
q＝f（x[,1]，x[,2]）短期生产函数与长期生产函数之间的密切联系体现在以下四个方面：
1.从长期生产函数的定义看：
长期生产函数f（x[,1]，x[,2]）是连续的， 具有连续的一阶和二阶偏导数，是一个严格的正则凹函数，（regular strictly concavefunction），并且f（x[,1]，x[,2]）的一阶偏导数是严格的正数。
严格正则凹函数表明f（x[,1]，x[,2]） 二阶偏导的海赛行列式得到的主子式在整个区间上满足：
f[,11]〈0， f[,22]〈0，且
f[,11] f[,12]│
f[,21] f[,22]│＝f[,11]f[,22]－f[2][,12]〉0
其中f[,II]是f[,i]对x[,i]的偏导数，也记为
，f[,ij]是f[,i]对x[,i]的二阶交叉偏导数之一，也记为
，
可见从长期生产函数f（x[,1]，x[,2]）的定义看， 其二阶偏导数在q－x[,i]空间内要满足f[,II]〈0。 每种要素投入的边际产量递减。短期生产函数f（x[,i]）的性质是长期函数f（x[,1]，x[,2]） 性质的必要条件。
2.从形成等产量曲线的几何图形看
长期生产函数的几何分析工具是等产量曲线，等产量曲线是通过等产量平面切总产量曲面而得到。如下图所示：
在q－x[,1]坐标系内，一元生产函数q＝f（x[,1]），满足f[,11]〈0，即凹向原点的性质，其极大值为A；在q－x[,2]坐标系内，q＝f（x[,2]）也满足严格凹性假定，其极大值点为B。由此在三维立体空间 q－x[,1] －x[,2]中存在总产量曲面OAB，这就是二元生产函数q＝f（x[,1],x[,2]）在三维空间的立体几体图形。 如果用不同高度的平行于平面x[,1]－x[,2]的平面去截总产量曲面OAB，得到的无数截线在平面x[,1]－x[,2]的投影，即是等产量曲线簇， 可见等产量曲线分析是将三维立体空间的问题转化到二维平面来讨论。
从图中可以看出，如果总产量曲面的组成包括OA和OB单调下降的部分，则总产量曲面从直觉上说是凹凸不平的。如果不是一个光滑的凹面，则截出的等产量曲线有可能存在不连续、相交或凹凸不光滑的现象。但这种现象没有出现的原因在于从f（x[,1]，x[,2]） 的定义中可以看出，其一阶偏导f[,i]要求是大于零的，这意味着只有f（x[,1]）和f（x[,2]）的单调上升部分才构成总产量曲面，总产量曲面不包括f（x[,1]）和f（x[,2]）单调下降的部分。此外，f[,II]〈0也保证了总产量曲面的构成是严格凹的，不存在凸的部分。光滑的严格凹的总产量曲面使得等产量曲线簇具有如下性质：
在平面x[,1]－x[,2]中可以有无数条等产量曲线，覆盖整个坐标平面，离原点越近的等产量曲线代表的产量水平越低，离原点越远的等产量曲线代表的产量水平越高；在同一坐标平面上的任意两条等产量曲线不会相交；等产量曲线是凸向原点的。
3.对利润最大化一阶条件的说明
厂商的最终目标是实现利润最大化，而不是有约束的产量最大化和成本最小化问题。在完全竞争市场上，厂商出售其产量的总收益pq与总成本C之间的差额为利润π。
π＝pq－C
q＝f（x[,1]，x[,2]），C＝r[,1]x[,1]+r[,2]x[,2]+b，p，r[,1]，r[,2]分别为总产量q和要素投入量x[,1]、x[,2]的价格，则：
π＝pf（x[,1]，x[,2]）－r[,1]x[,1]－r[,2]x[,2]－b，
利润是x[,1]，x[,2]的函数，利润最大化的一阶条件是令π对于x[,1]和x[,2]的偏导数等于零，即：
得到利润最大化一阶条件的表达式：
f[,1]
r[,1]
───＝───
f[,2]r[,2]
f[,1]
r[,1]
当───＞─── 时，厂商如何调整两种投入x[,1]，x[,2] 的数
f[,2]
r[,2]
量以实现利润最大化？
f[,1]
r[,1]
∵───＞───
f[,2]
r[,2]
f[,1]
f[,2]
∴───＞───
r[,1]
r[,2]
f[,1]
───是厂商花在第i种要素上的每一元钱所带来的边际产量，当
r[,1]
f[,1]
f[,2]
───＞───时，厂商会增加对要素x[,1]的投入，同时减少对x[,2]
r[,1]
r[,2]
的投入，随着x[,1]投入量的增加，x[,1]给厂商带来的报酬下降，即x[
,1]的边际产量f[,1]递减，则f[,1]／r[,1]也递减， 对x[,1]的投入量
f[,1]
f[,2]
持续到───＝───时为止。可见，运用边际报酬递减规律说明了长
r[,1]
r[,2]
期生产函数中厂商如何实现利润最大化的调整过程。过际报酬递减规律在说明利润最大化一阶条件的满足方面，是必不可少的。
4.对利润最大化二阶条件的证明
二阶条件要求，相关的海赛行列式的主子式在符号上交错：
（1）而
（2）
条件（1）要求，x[,1]和x[,2]的边际利润必定随着x[,1]和x[,2]的进一步投入而下降。条件（2）保证，利润必定随着x[,1]和x[,2] 的都进一步投入而下降。由于p〉0，所以，条件（1）要求， 每种投入的MP都是递减的。
条件（1）和（2）要求，如果存在一点，当x[,1]，x[,2]≥0 时满足一阶条件，则在该点的邻域里，生产函数是严格凹的。从长期生产函数的定义可以看出，利润最大化的二阶条件是完全满足的，且满足于二阶条件的点是一个唯一的最大化解。
三、总结
通过对短期和长期生产函数的研究可以看出：
1.一元函数论是二元函数论成立的前提条件
如果将基数效用论视为一元函数论，序数效用论视为二元函数论，则消费行为理论中也贯穿从一元论到二元论的两条主线。生产理论中一元生产函数采用的边际产量分析和二元生产函数采用的等产量曲线分析，都遵循从一元函数论到二元函数的逻辑思路。
进一步分析发现，二元函数论乃至n 元函数论建立在一元函数论成立的前提假定之上，基数效用论中边际效用递减规律是一元效用函数的重要性质，它的部份构成二元效用函数性质的基础。
同样，在生产者行为理论的分析中，边际报酬递减规律是一元生产函数的重要性质，它是构成长期二元生产函数的基础。从二元生产函数的性质、等产量曲线的推导到利润最大化二阶条件的证明，无不运用边际报酬递减规律。
2.经济学中的简化主义——假设演绎模型法
在基数效用论中产生了一种新的分析方法——边际分析法。从数学上讲，边际量即是总量函数的一阶导，这与当时数学中微积分理论的发展成熟密切相关。这种用数学分析方法进行经济研究的方法论上的革命，是边际革命的重要成果，使经济学进入了一个新的时期。“边际效用概念不仅被看作经济‘工具箱’的一种补充，并且还被看作是经济科学研究方法上的一项极重要的革新”。
这种革新起源于李嘉图方法论的影响。在古典经济学中，李嘉图方法论的特点是抛弃了斯密曾经采用的制度与历史分析方法，而单纯采用从前提假设出发，经演绎推理，得出某些结论的方法。李嘉图方法论的特点是以高度抽象的经济模型直接模拟复杂现实世界中人的行为。李嘉图这种重视抽象理论模型的传统，经边际革命的发扬光大，在马歇尔以后成为西方经济学方法论上的主流。微观经济学中的许多重要成果如消费者行为理论、生产者行为理论、一般均衡理论都是由此方法演绎而来。这种分析法在当代西方经济理论中也被称为“封闭式分析方法”。这种方法的优点在于便于精确地分析，把握各种经济变量之间的相互关系和运行规律，有利于经济学朝着精确、严密的方向发展。西方经济学发展到今天，并在其中大量运用数学工具的作法，虽始于边际革命，但追溯其根源是李嘉图方法论的影响，柯丁顿（A·Coddington ）将此方法称为“经济学中的简化主义”。其缺点也是不言而喻的，影响经济变量的一些制度的、历史的重要因素因此被抽象掉了、“简化”掉了。
3.公理与公理之上的定理、定律
假设演绎模型法的基础是西方经济学得以安身立命的公理，这包括两个最基本前提假设：理性人假设、信息完全假设。
在条件极值和无条件极值中求偏导的方法是理性人假设，或称最大化原则的数学表述。拉格朗日函数以及无条件极值中的价格都是自由灵活变动的，自由灵活变动的价格是信息完全假设的体现。作为公理，这两个基本前提假设贯穿于微观经济学中消费者行为理论和生产者行为理论，要素需求理论和要素供给理论的分析中，是微观经济学的基石。
在基本公理之外，显然还有各种各样的公理存在，这体现在条件极值和无条件极值中的目标函数上。具体地讲，不同的经济主体，最大化的目标不同。消费者的目标是实现效用最大化，厂商的目标是实现利润最大化。对效用函数的研究是消费者行为理论所要解决的首要问题，边际效用递减规律（或称戈森第一定律）集中概括了一元效用函数的性质，并在此基础之上部份构成二元效用函数的性质。边际效用递减规律是一条无法证明的主观、心理定律，消费者行为理论正是部份建立在这条主观心理定律成立的基础之上。对生产函数的研究是生产者行为理论所要解决的首要问题，边际报酬递减规律集中概括了一元生产函数的性质，并在此基础上构成二元生产函数的性质。
供求双方的相互作用通过价格机制来间接完成，最终价格使经济中对立的、变动的力量达到一种力量相当、相对静止、不再变动的境界，实现了所有市场参与者的最大化和供求相等的状态，即市场出清了。由此可见，对微观经济学中最基本的前提假定，以及第二位的、次级的前提假设进行研究，在对前提假定进行金字塔式分级分层的基础上，研究建立在其上的理论，这项工作是具有极大意义的。