动态几何问题的信息分析与策略运用，本文主要内容关键词为：几何论文,策略论文,动态论文,信息论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
动态几何问题是指随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何题。它的主要特点是以某种几何图形为载体，点、线、面在几何图形上按某种规律进行运动，并在此运动过程中引起了相关元素或某种几何图形的变化，这种变化往往具有一定的规律性，针对这种规律性的变化形式和特定的结论所组织的问题探索，因信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高。
笔者在教学实践中发现：学生在动态问题上的得分率相对较低，动态问题往往使得试题的区分度加大。调查发现，学生对于动态几何问题有畏惧心理，思考问题时，整体缺乏考虑，局部又无法联想，总无法理清运动的全过程，普遍存在一“动”就“晕”的情况。关键问题在于：学生对于整个运动的过程没有相应的能掌控全过程的分析方法和行之有效的解题策略，导致无法理清其中的复杂关系就成了必然。如何帮助学生更好地理清运动的全过程，运用怎样的策略才能更有效地解决此类问题？笔者在教学中从分析方法、解题策略和探究方向几个方面作了一些尝试。
一、运动状态的信息分析
动态问题主要由综合性问题构成，就运动元素而言，可以分为三类：点动、线动、面动。对于动态问题的分析首先应该从最基本的运动元素入手，有效分析并掌握它们的信息是解决动态问题的重要前提。
1.基本信息分析
“点动”是几何动态问题中最基本的运动元素，也是在中考中出现频率最高的一种运动元素。有时是单特征分析点运动，有时是双点运动。另外，由于点的运动往往可以联系线动以及面动等运用问题，因此对于点动的分析也是最基础和最重要的。
对于点的运动，我们应该掌握以下几个方面的常用信息：(1)运动路线：点的运动路线是直线型的还是折线型的，还是其他形式的，是否有转折点等。(2)运动范围：点的运动范围有无限制，是否有往返等等。(3)运动速度：点的运动速度是否已知，结合时间变量t，是否可以确定运动路程。(4)运动关联性：对于双点运动，要分别分析两个点的运动信息，要考虑两个点在运动过程中的关联性。比如：两个点是否同时出发；速度是否相同；是否会相遇；哪个点先停止；是否一个点停止运动就结束；一个点到达转折点时，另一个点在什么位置等等。另外，线动是线本身发生运动，还是由点动引起的线动；线的类型是直线、线段还是射线；线的运动方式是平移、翻折还是旋转；线在运动过程中保持与其他元素的位置关系等。面的运动在初中阶段一般是指某一个平面图形的运动变化，我们要关注平面图形的形状，大小和位置的变化等等。
2.主从关系分析
在运动的过程中，往往会涉及到多个运动元素，从而产生多个运动变量。为了更好的分析其中的运动关系，我们可以类比自变量和因变量，将运动元素分为主动元素和从动元素。即整个运动过程理解为是由主动元素的运动引起，引起其他从动元素的运动的过程。抓住主动元素的运动特征，并由此展开分析和计算，有利于理清整个运动的过程。一般情况主动点以动点居多，从动元素可以是另外的点动，或者线动，甚至是面动。
3.元素转化分析
在一个运动过程中，运动元素常常不是单一的动点、动线或动面问题，通常在问题中会在动点中引出线动或面动。有的问题表面看起来是平面图形的运动，但它又会引起相关的线的运动或者点的运动，在这样复杂的运动过程中要想掌控运动的全过程，不仅要认清各元素在运动过程中的“主”“从”关系，同时还要善于运用转化思想将点、线、面的运动进行互相的转化。我们可以这样来理解三者之间的关系：
例 （2009年长春）如图，直线
分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线
与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D。点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动。过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）。点E的运动时间为t（秒）。
(1)求点C的坐标。
(2)当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式。
(3)求(2)中S的最大值。
(4)当t＞0时，直接写出点
在正方形PQMN内部时t的取值范围。
解析
分析1 提取有关点E的运动信息：从点A出发，方向向左，速度每秒1个单位，随着点E的运动，P、Q两点向点C运动；结合坐标，当点运动t=5秒时，垂线经过点C，此时P、Q两点与点C重合，PQ=0，此时正方形不存在；
分析2 这个问题是典型的由点动引起线动，进而引起面动的问题其中点E是“主动点”，由E点的运动，引起垂线向左平移，引起P、Q两点的运动，进而引起面（正方形）向左的平移，因此抓住点Z的运动是本题切入的关键。
分析3 在解决面积的问题时，当然要考虑正方形的变化，正方形的变化可以转化为线段PQ的变化，线段PQ的位置和大小变化决定正方形的大小，决定MN与AD的关系，决定重叠部分的形状，线段PQ的位置和大小又可以转化为点E的变化。经过这样的分析，易知当点E处于某个位置时，正方形的边MN会与直线AD重合，重叠部分为正方形PNMQ，当t大于这个值时，正方形进入△ACD内部，重叠部分始终为正方形PNMQ，因此确定MN与AD重合时t的值就是一个关键点。
这样整个运动过程就可以理解为：点E向左运动，AE发生变化，点E的横坐标变化，引起P、Q两点的横坐标变化，进而纵坐标变化，线段PQ的位置和大小变化，引起正方形的边长和位置的变化，从而重叠部分的形状和大小发生变化。且关键点是MN与AD重合时，点E的坐标和相应的t的值。由此可从主动点E的坐标入手组织计算、解决问题。
二、运动过程的策略运用
对于几何图形的运动形式，一般以全等变换为主，有平移、翻折、旋转。我们接触到的其他有关图形的变换问题都以考查起始位置和终止位置两个状态下的图形为主。而动态几何问题则更侧重于对图形的变换过程，也就是运动过程中的相关问题的考查。
在解决动态问题的过程中把握三个解题策略：运用函数思想理解运动全过程；特殊位置策略；分阶段策略。
1.运用函数思想理解运动全过程
我们要认识到：从严格的意义上讲，世间万物都是运动的，都是以时间为自变量的函数关系。而几何中的动态问题探究的实际上就是以时间为自变量，点的坐标、线段的长、线段的位置、图形的面积等为因变量的函数关系。尽管我们接触的不少动态问题直接或间接涉及到求函数关系式等问题，但却很少意识到用函数的观点来理解动态问题，如果我们用函数的思想来联系各变量之间的关系，用解决函数问题的思维方式和解题方法来解决动态问题，应该是行之有效的途径。比如根据函数的定义，当时间变量t取一个特定的值时，其他的变量都会有一个惟一确定的值与它对应，也即都有一个确定的位置，一个确定的坐标，一个确定的长度，一个确定的面积等等与之相对应。从这个角度分析，几何图形在运动过程中的某一个时刻的图形是惟一确定的，此时我们可以理解为是静止的，将这些静止的图形用基本知识、基本方法去解决。然后在此基础上理解和解决其他时刻以及整个运动过程中的问题就变得容易许多。
2.特殊位置策略
“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”存在内在联系，在一定条件下是可以相互转化的，我们必须要理解这种辩证关系。解决这类问题的关键是要善于从“动”中捕“静”，以“静”制“动”，我们说用函数的观点来分析整个运动的过程，当时间变量t取一个特定的值时，其他的变量都会有一个惟一确定的值与它对应，当时间t取特定值时，相应的运动元素的位置也就是惟一确定的，此时的图形也就是惟一确定的，那么，我们就静止于这个特殊位置，从这个确定的图形入手分析，添加辅助线段，组织计算等等，得出相关的信息、结论和解题思路、方法等，然后再从一般位置与特殊位置的比较中寻找思路及方法的移植和推广，从特殊位置入手，再推广到一般位置的这种从特殊到一般的策略，对解决动态问题是很有效的策略。
3.分阶段策略
在一个运动过程中，不同的时间，运动元素的运动路线，或者运动方向等可能会发生改变，这样就会产生比如转折点、折返点之类的一些特殊点，有时运动元素还会经过一些已知点、交点，中点等，运动元素会在某个时刻经过一些特殊的点或特殊的线，比如垂线、对称轴、坐标轴之类的。将运动元素刚好处于这些特殊点或特殊位置时的状态作为特殊情况来处理的同时，我们更应该认识到，当运动元素处于这个位置之前和之后的情况，包括运动状态、变量的表示方法、计算方法或者解题思路，都可能会发生实质性的变化，以这个时刻，或者这个位置为分界位置的前、后两种状态是两个不同的运动阶段，解决问题的方式就不能一概而论了，我们应该以这个时刻为分界，将问题划分为不同的阶段来分类讨论。具体策略就是：在解决动态问题时，对运动元素在整个运动过程中的运动特征进行仔细的分析，找出其中不同运动状态的分界点以及对应的特殊时刻t，并根据分界点的多少，将整个运动过程分解成若干个不同的阶段，然后在不同的阶段中再根据其特征来探究其中的变量关系和相关结论。
例 （2009年浙江台州市）如图，已知直线
交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E。
(1)请直接写出点C，D的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若正方形以每秒
个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止；设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积。
分析1 我们要解决的是面（正方形）动问题，运用转化思想，本来可以将运动过程归结为点A、B运动的问题，但由于并不涉及到点的坐标，我们不妨就把正方形当做主动元素。
分析2 时间的推移，正方形沿射线平移，引起其顶点、四条边以及抛物线的变化。
分析3 运动起始位置是点B与x轴重合，终止位置是点D与x轴重合，在整个运动过程中，不难分析出依次有点C、点A与x轴重合的时刻，那么这两个时刻对于整个运动过程而言就是两个特殊的时刻，相应的正方形的位置就是特殊位置，相应的点就是特殊的点。
分析4 通过分析两个特殊位置下的特殊图形，很容易得到相应的时间是t=1，t=2，终止位置是t=3。在此基础上我们就可以将整个运动过程分为0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤3三个阶段。然后在每个相应的阶段中，再组织相应的分析。
①当点A运动到点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如下页图1，
②当点C运动到x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如下页图2，
三、三种探究方向
解决动态问题时，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，把握运动、变化的全过程，需要特别关注运动过程中的变量和变量之间的关系，并分析其中的不变量、不变关系或特殊关系，综合运用函数、转化、分类讨论、方程、数形结合等数学思想综合解决问题。在近几年的中考中，探究方向以变中求变，变中求不变以及存在性问题为常见。
1.变中求变
动态几何题的本质是探究图形中的某些元素之间在变化过程中的相互依存的关系，用数学的眼光来看这些相互依存的关系实际上就是函数关系。所以，求图形运动变化过程中某些变量之间的函数解析式是研究这类问题的最常见的形式。此类问题一般目标为求相应的函数解析式。
2.变中求不变
动态几何问题以图形中的一些元素的运动变化为载体，探究变化过程中图形的某些元素之间存在的内在联系的过程，这些内在联系中包括“变中不变”的特殊情况。所谓“变中不变”，对于一个元素而言，是指该元素虽然处于变化过程中，但它的某些属性不变；对于两个或两个以上的元素而言，是指这些元素虽然处于变化过程中，但它们的某些属性之间具有不变关系。此类问题一般集中在线段的长度，角的度数，图形的周长、面积、图形之间的位置关系或全等、相似关系上。
3.存在性
在动态几何问题中，探究点存在与否，主要包括：探究问题的结论是否成立，探究符合条件的元素是否存在、是否惟一，符合的条件一般为平时常见的，如：是否存在时刻t，使得某点在某对象上；使得某线保持平行、垂直等特殊的位置关系；使得三角形为直角三角形、等腰三角形等特定的形状；或保持全等、相似等特殊关系，等等。
例 （2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE。若设运动时间为Tt(s)(0＜t＜5)。解答下列问题：
(1)当t为何值时，PE∥AB？
(2)设△PEQ的面积为
，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使
？若存在，求此时t的值；若不存在，说明理由。
(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由。
解析 在这个动态几何问题中，第(2)题是“变中求变”，第(4)题则是“变中求不变”，这两个问题都是比较典型的，第(3)题是典型的存在性问题，而第(1)题也可以理解为“是否存在一个时刻t，使得PE∥AB成立”，所以也是存在性问题的范畴。
对于动态几何问题的各种探究，只要我们能立好我们的“主脑”，抓住动态几何问题的分析方法和解题策略；同时根据具体的题型，以及各种题型的常规解题思路和解题方法，综合运用其他相关的几何知识组织解决方案，就有可能顺利解决问题。