小学生数学表述能力的迷失与重建，本文主要内容关键词为：小学生论文,能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学语言是学习数学最基础的元素，也是学习数学最主要的工具.每一堂数学课的教学、每一个数学问题的解决都必须以数学语言表述贯穿始终.《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别提出：“在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值.”[1]本研究将对数学表述能力的内涵进行阐释，并对小学生教学表述能力迷失的原因以及养成策略进行进一步的阐述.
一、数学表述能力的内涵
数学表述能力（Mathematical expression competence）是近年来数学教育研究热点.研究数学表述能力的内涵，首先要对数学表述的内涵进行界定.李雅云、李宝庆认为数学表述是基于文字语言、符号语言和图式语言的活动.[2]赵林认为数学表述包括口头表达、文字表述、符号表达、图式表达等形式，数学表述能力是数学学科能力的最佳体现和反映.[3]从国外的研究来看，美国德克萨斯州教育署的研究首先给出了数学表述类型的界定，认为数学表述包括数字表述、图像表述、语言表述、符号表述和双重表述五类.[4]数字表述是指运用各种具体的数值，如小数、分数、百分数等进行表达，还包括使用数值表，如用一列数表示结果的概率.图像表述包括图画、模型、图表（如线段图、集合图、坐标图）等表现形式.语言表述在此是指用书面语言文字去描述、分析、解释或反映数字、图像表述的内容，但是不包括用以表达解题思路或解释方程、表达式中某个符号意义的简单语句.符号表述集中于使用象征性符号和变量、公式，包括等式（方程式）、式子、代数方程式、代数式和公式.双重表述是指包括上述两种表述类型的表述方法，包括数字列表/语言、模型/代数方程式、横向图表/语言、纵向图表/语言、坐标图/代数方程式、语言/公式、语言/图画等七种表述组合.
综上所述，数学表述能力就是以数学语言作为基本元素，对数学知识、数学问题进行准确解释的能力.该能力是学生学习数学的一种基础性能力，对学生进行数学知识的学习起到辅助性作用.数学语言是一门高度抽象的专业语言，熟练地掌握数学表述能力有利于学生数学交流，同时使其数学思维的生长外显化.
二、数学表述能力迷失的渊源
（一）教师忽视数学表述的积极指导
新课改以来，“建构主义”大行其道，很多基层教师将自己误解的“建构主义”理念融入数学课堂.其表现为在学生回答问题的时候，缺乏对数学语言的指导，只要答得基本正确，其他的学生能听懂，就是好的答案.教师忽视了学生数学表述能力的培养，无法使其形成对数学语言精确和严谨的态度.
（二）学生缺乏数学表述的有效训练
无论是人文科学语言，还是数学语言，其语言能力的培养都离不开必要的训练，在正确的练习中体会语言表述的运用是培养数学表述能力的一条捷径.数学表述能力的训练主要在课堂以及作业的练习之中.从数学教育心理学的角度来说，义务教育阶段尤其是前两个学段是形成数学语言意识和能力的关键期.有些数学教师忽视了学生数学语言的训练，降低了训练的要求，只追求运算结果的正确，导致学生数学表述能力的提高受阻.
（三）教材中缺乏数学语言的直接表述
新课程实施以来，全国各省市已有八套教材正在使用.综观不同的教材，虽都是以课程标准规定的内容作为教材编写的来源，但呈现方式却各有不同.有的教材过分淡化概念，一些核心概念或运算法则没有用数学化的语言进行表述.如乘法分配律，有的教材并未给出该运算律的文字语言法则.从教学实践的角度看，未给出法则可以让学生用自己的语言建构新知，但大多数学生图简便，仅仅会死记硬背（a+b）×c=a×c+b×c这一字母表示形式.当需要运用法则解决问题，学生出错率相当高，原因就在于记忆法则不等于理解法则.对于四年级的小学生而言，精确的文字语言法则表述对理解法则是必要的.从习得数学语言的角度，这种教材的编排不利于学生形成语言间的互译从而理解法则的内涵，更无法使学生借助教材高效提高自身的数学表述能力.
三、培养数学表述能力的教学策略
（一）加强数学表述指导，规范数学语言表述
在学校教育层面，教师的主导作用是小学生数学表述能力形成的保障.根据皮亚杰（J.Piaget）的认知发展理论，小学阶段属于具体运算阶段和形式运算阶段初期，学生个体刚刚开始运用数学语言符号对问题和现象进行系统思考和表述，具有表象思维能力、初步的逻辑思维能力以及零散的可逆运算能力.此时学生对数学语言的掌握情况以及表述运用的能力，将极大地影响学生后期数学知识的学习，因此教师在此阶段的日常教学中，对学生进行数学表述的指导非常重要.
1.加强数学语言、语义和句法的教学
数学领域存在着由数字、字母、字符串等组成的数学符号以及数学专属的法则与术语，所以教师在教学中需要强化学生对术语本身的认识.在日常的教学过程中，出现数学专业语义或句法时，教师要及时给以说明和巩固.例如在低年段教学除法的时候，教师应及时强调“除”和“除以”“整除”和“除尽”的区别.
2.明确数学语言表述的规范
学生对数学知识和问题的准确、完整的表述，需要教师在教学中对数学语言语句给以明确的规范.研究表明，数学学困生的数学表述知识匮乏并缺少数学语言规范，表现为数学符号混用、数学符号读写错误、数学专用术语混淆等.[5]例如，在五年级《确定位置》的教学时，对于（5，3）很多学生就直接读“5、3”，正确读法应是“数对5（停顿一下）3”，“数对”表示在确定位置，停顿一下可以区分x轴和y轴的方位.学生在规范的数学表述学习中，可以感悟数学语言的科学，从而准确、简洁地表征问题、解决问题.
（二）强化数学语言间的互译
数学表述的不同形式，本质上就是数学表征的多元化.数学多元表征既是数学表述多样性的理论基础，同时又是学生习得多种数学表述类型的一种重要策略.从数学学习心理学的角度来看，不同思维形式之间的转换及其表达方式构成了数学学习的核心.[6]进一步说，数学语言互译就是在学生习得知识的层面，对知识运用不同形式的数学语言进行表述，从不同的角度对知识进行剖析，让抽象的、内隐的知识在多元化的表述中得以变抽象为具体、变内隐为外显.互译训练可以加深学生对知识本身的理解，同时建构学生的数学表述知识，使其数学表述在互译训练中得以准确化、自动化.例如，在教学平行、相交时，需要学生掌握平行、相交和垂直三者之间的关系，当四年级的学生一时无法用文字语言明确表述的时候，可以引导学生用自己喜欢的方式去表达三者的关系，再通过小组学习得到图形语言的数学表述，在此基础上再引发学生对文字语言的理解，使学生在文字语言和图形语言的转换中进一步建构知识.再如在解决问题的教学中，引导学生从文字语言的信息与图形语言（线段图等）的角度对问题进行表述，让学生在数形结合思想方法中提高解决问题能力的同时，规范图形语言的表述，增强文字语言的理解能力.
（三）扩大数学阅读的视野，建构正确的数学表述
数学阅读是从数学文本中获取意义的积极的认知心理过程.数学阅读的过程，需要学生将文本中的数学语言进行信息编码，使其通过不同形式的语言互译、转换，内化为学生自身的认知结构.扩大数学阅读的视野，可以让学生的数学语言得到更多的充盈，同时在丰富的互译训练、综合理解的过程中，每种形式的数学表述类型知识得到进一步的拓展.以符号表述为例，在小学阶段符号表述蕴含了丰富的代数思想，相关知识内容如字母表示数等，是沟通小学数学知识与初中代数内容的重要桥梁.同时，运用数学符号表示数学抽象物这一新的领域，对于小学生尤其是中年级学生而言，有一定的难度.笔者通过实践研究发现，增加阅读视野对表述能力的建构有很大裨益.数学阅读是提高数学表述的可行策略，主要有两个层面.一是阅读教材.教材本身蕴含了准确的数学表述，比如数学概念定义、数学公式、例题练习等.概念定义和公式的阅读，有助于学生掌握数学知识的本质内涵，同时提高学生的表述能力.数学例题的阅读，则有助于学生领悟问题解决的过程性知识.例如，四年级下学期《字母表示数》一节的例题，要求学生将数字代入字母表达式进行计算，该例题的阅读让学生进一步明确字母表示数的现实意义，但更重要的是让学生能在今后的代数学习中准确地表述数字代入的过程.同样是培养学生正确表述数学运算过程，低年段的计算教学的程序性知识例题的阅读，其重要性更是如此.二是阅读课外数学读物.以江苏省小学生为例，学生在教材以外往往都订阅了配套数学教材学习的数学报纸.报纸除了相关配套练习以外，设有多个数学栏目，有解决问题的巧妙方法、运算小技巧以及所学内容的数学史知识.在这些辅助内容里，数学表述的要求更加规范，同时是日常数学内容的补充和延伸.阅读这些拓展内容，在扩大学生数学视野的同时，可以进一步对学生在课堂上学习的数学表述进行强化，有趣的语言和案例同时也增加了学生对数学学习的兴趣.
通过多年的实践，笔者认为在培养数学表述能力方面，有两个方面值得注意.
（一）注重数学表述能力的培养，不能只囿于数学表述的形式
前文提到数学表述划分为五种具体表述类型，学生的数学表述能力需要从这五个层面进行培养.但培养数学表述能力，并不意味教师仅仅一味地让学生机械地记忆公式，通过题海战术让学生掌握数学表述的格式规范.数学教学的灵魂，在于让学生领悟数学知识的本质以及知识中所蕴含的数学思想方法.数学表述能力是进一步学习数学的基础性能力，是一种工具性的能力，同时也应在知识理解的基础上进行培养.
（二）寓数学表述能力于每个教学细节之中
学校教育是学生获得知识的主要方式.然而是不是数学表述能力的培养就应该仅仅停留在每天的课堂之上？答案是否定的.从教育史的角度分析，赫尔巴特的班级授课制给课堂教学创造了高效率的奇迹，因此数学表述能力可以在课堂教学中通过系统知识的学习得以生长.然而学生是创造性的个体，教师布置的一道有价值的习题、教师循循善诱而又准确的答疑，或许也可以给学生留下顿悟的空间，使其在自身元认知的监控下建构数学表述能力.