有关规范场与纤维丛关系问题的三次阐释，本文主要内容关键词为：纤维论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N09 文献标识码：A 文章编号：1674-7062(2009)05-0081-06
规范场与纤维丛理论属于20世纪物理、数学研究领域的两个经典理论，在相互独立基础上发展出来的这两个理论，几十年后被发现有密切关系：规范场就是纤维丛上的联络。这种不同学科以不同形式在本质上诠释着同一概念同一理论的事情，成就了科学史上又一段佳话。
首先发现这个关系问题的是杨振宁。在杨振宁与米尔斯1954年那篇重要的规范场论文[1]发表十多年后，杨振宁注意到了规范场中场强的数学表达式与黎曼几何中曲率张量的数学表达式十分相似，而且后者是前者的一个特例。[2]258于是从直觉上他感到二者之间可能有某种关系。是什么关系，他当时一无所知。于是他向任伯克利数学系系主任的西蒙斯请教，西蒙斯告诉杨振宁，他的规范场理论一定和现代微分几何中的纤维丛理论有关，并让杨振宁去读斯廷罗德的《纤维丛的拓扑学》[3]。但是对于杨振宁，读数学著作是件麻烦的事情，所以他将这一问题放在了一边，这一搁就是八年。
随着相关研究的进展以及人们对杨振宁1954年那篇论文的不断引用，杨振宁再次注意了这个问题，并在多种场合不断地提出这个问题。1972年杨振宁在北京大学的一次演讲中就提到了这个问题，它很快吸引了听众中非常熟悉纤维丛理论的数学物理学家陆启铿，由于事先曾翻译过杨振宁的这篇演讲稿，以供中央领导阅读，所以陆启铿非常熟悉杨振宁报告中的内容（另文详述）。之后经过夜以继日的紧张思考，陆启铿很快解决了这个问题，于1974年在《物理学报》上，发表了他的研究结果“规范场与主纤维丛上的联络”[4]。
在美国，杨振宁还是没有去读西蒙斯推荐给他的那本有关纤维丛理论的著作，而是邀请西蒙斯本人来讲纤维丛理论，很快杨振宁就有了规范场与纤维丛关系问题的答案（另文详述），在1975年美国著名杂志《物理评论》上，他和吴大峻合作发表了这一研究结果“不可积相因子和规范场的整体表示”[5]。
在相互独立研究的情况下，陆启铿、吴大峻与杨振宁解决了规范场与纤维丛的关系问题。这一问题的解决在物理学界和数学界产生了深远的影响，一些物理学家开始纷纷研究纤维丛，一些数学家开始纷纷研究规范场。原本分属于两个不同学科的理论，现在人们很难将它们区分开来。这一问题的解决再次优美地诠释了数学与物理之间那千丝万缕的关系。1989年，作为纤维丛理论的重要贡献者陈省身在“具有联络的向量丛”[6]一文中给出了纤维丛与规范场关系的一个本质性论述，从而将这一问题划上了完美的句号。
对于规范场与纤维丛的关系问题，三种学科身份的研究者从三种角度给出了三种阐释；在三种阐释中，三种科学思想熠熠生辉。
一 1974年数学物理学家陆启铿给出的首次阐述
陆启铿是一位数学物理学家，他的目的是正确、清晰地处理规范场论中出现的数学问题。他从主纤维丛的联络论的观点出发，系统地处理了规范场理论。整个论证过程是数学的，但可以看到行文始终以物理中的规范场为指引，即以物理中规范场的重要关系为结果，逐步从纤维丛上等价变形出与之相一致的关系。与吴大峻、杨振宁的文章相比，他的文章展现出了浓郁的数学味道。
陆启铿首先给出了三个几何概念：微分流形M、主纤维丛P和主纤维丛P(M，G)上的联络Γ。主纤维丛P(M，G)上的联络Γ满足公式(1.2)：
陆启铿遵从物理上的一些习惯将上式等价代换与恒等变形为公式(1.6)：
对于一般读者来说，这个结论给得非常突兀。因为在论证过程中，并没有提及物理上的规范势，陆启铿怎么就得到了这个结论？如果我们拿出1954年杨振宁与米尔斯在《物理评论》上的那篇论文，对比文中给出的规范势
上的同位规范变换公式(3)
这样，陆启铿就给出了规范场与纤维丛的对应关系，虽然他没有给出一张明确的对照表，但他的整个论述是非常清楚简洁的，使读他论文的人对规范场与纤维丛的关系一目了然。另外陆启铿虽然是从数学的观点处理物理中的规范场，但为了与现代物理中规范场的常用符号相联系，也为了“较易于为物理学工作者所接受”[4]，陆启铿没有使用现代数学常用的更抽象的术语与符号来精炼地叙述他所要表达的观点，而是采取了较繁且较具体的局部坐标描述方法来讨论问题，这充分体现了数学物理学家与数学家的不同之处。不过，对于其中所定义的概念，陆启铿都指明了它们与现代数学中由公理化定义的相应概念的一致性。
为了便于读者对比，我们仿照吴大峻与杨振宁当年那个著名的规范场与纤维丛术语对照表，也将陆启铿上述结果列成表格形式，称为陆启铿表。
我们可以看出它与吴大峻、杨振宁表格的相似与不同。这种不同当然来自于对整个问题的不同理解以及学科身份的不同，但都相当的漂亮。
对比陆启铿与吴大峻、杨振宁论文中对规范场与纤维丛关系问题的处理，我们发现除了在解决的问题与结果上是相同的外，其他非常的不同。
(1)首先是风格完全不同：后者是物理特色的而前者是数学特色的；
(2)其次目的不同：后者是为了物理的目的而前者纯粹是为了解决关系问题，陆文对纤维丛与规范场概念之间的对应关系做了详细而清晰的数学论证；
(3)最后是影响的不同：在这一问题的解决上，陆启铿确实是早于吴大峻与杨振宁一年发表了研究结果，我们国内也将奠基性的荣誉毫无争议的给予了陆启铿；但不得不指出的一点是，这一问题的解决真正被国际认可、产生国际性影响的还是吴大峻与杨振宁的论文，原因很多：①主要是问题来源背景不同的原因，杨振宁经历了问题提出与解决的整个过程；②杨振宁本人也曾谈到一点，就是他们的论文中给出了一张醒目的对照表，使读者产生了深刻的印象；③当时在中国杂志发表成果与国际交流的局限性。
二 1975年物理学家吴大峻、杨振宁给出的影响深远的阐述
吴大峻与杨振宁是物理学家，他们的研究思路是物理的，他们关心的是描述物理中规范理论的主要概念。在论述中，他们始终围绕电磁学的基本问题：什么是对电磁学本质的、完整的描述。
在法拉第和麦克斯韦提出用电磁场来描述电磁学以后，一旦知道了场强，就能够描述整个电磁学。但是1959年Aharanov和Bohm设计的A-B实验打破了这个局面，尽管这个实验当时还没有实现，但是它使物理学家发现在量子理论中，仅仅用场强不能够完全描述在电子波函数上的所有电磁作用。1960年，R.G.Chamber首次实现了A-B实验，他发现在场强为零的复连通域，每一点物理实验的结果都依赖于沿着不可收缩圈的圈积分，即位相(1)式：
通过对A-B实验的考察及相关定理的证明，吴大峻与杨振宁发现：(a)场强不能完全描述(underdescribe)电磁学；b)位相(1)描述电磁学又太充分了(overdescribe)。那么什么能够为电磁学提供一个完整的描述，它既不多余、也不不足？答案是位相(1)的相因子(2)式：
不过吴大峻与杨振宁发现，在某些情况下，特别是从阿贝耳群的情形推广到非阿贝耳群的时候，表达式(2)用起来比较不方便，如果要用作基础概念，从P到Q的任意路径上的相因子的概念(7)式：
更方便。
吴大峻与杨振宁称从P到Q的任意路径上的相因子(7)为不可积相因子，不可积相因子就是依赖于路径的相因子。
这样吴大峻与杨振宁将不可积相因子的概念作为了描述电磁学的基础。他们指出：电磁学就是不可积相因子的规范不变表示。
接着的问题是：在不满足Dirac量子化条件下怎么办？吴大峻与杨振宁证明了在不满足Dirac量子化条件下，上述关于不可积相因子的一般性定义不可行，因为不存在对R的分割。
在完成对不可积相因子的一般性定义后，吴大峻与杨振宁接着讨论了在定义不可积相因子时，选择相交域的灵活性和在相交域中选择向量势的灵活性。对于其中涉及到的一个定理8，吴大峻与杨振宁做了一段评论，他们说：“这个定理是Chern-Weil定理的特殊情况，Chern-Weil定理由著名的Gauss-Bonnet-Allendoerfer-Weil-Chern定理演变而来，这是当代数学发展中具有重大影响的一个定理。我们想要强调这个定理的两个结果……。值得注意的是这些结果在普遍的、深刻的数学定理中仍然有效。”从这段话，明显可以感到杨振宁对数学的信仰，尽管他不喜欢读数学著作。
在完成了阿贝耳规范场情形的讨论后，吴大峻与杨振宁很快将阿贝耳规范场的情形推广到了非阿贝耳规范场，即从局部推广到全域，将不可积相因子作为了规范场的整体表示。在这个时候，吴大峻与杨振宁对文中所涉及的物理概念作了一个总结性阐述，他们说：“这些概念已经被数学家在数学中作了仔细深入地研究”，同时他给出了纤维丛与规范场术语对照表。我们称为吴大峻－杨振宁表。
就是这个表，一目了然地将规范理论中的物理概念和纤维丛理论中的数学概念加以一一对应，从而能够很快吸引研究者的注意。1976年，当杨振宁向大数学家辛格介绍自己的这个研究时，辛格一下子就被这个表吸引住了，因此促发了数学界研究规范场的热潮。[2]260
规范场的概念是在1954年由杨振宁、米尔斯首次提出的，到了19世纪70年代，大部分理论物理学家都已经相信规范场确实存在。但是，令杨振宁仍然牵挂的是在他撰写本论文时，仍然没有这个理论性想法的实验证明。（1983年初，分别由鲁比亚和达留拉特领导的两个实验组通过实验直接地证明了60年代由温伯格、萨拉姆、格拉肖提出的弱电统一理论的正确性，这也首次为杨－米尔斯场提供了实验证据。后来的量子色动力学也间接地用实验证明了杨－米尔斯规范场。再后来，可重整化性质的证明，使理论界在严格意义上普遍接受了杨－米尔斯规范场。[7]）同位旋守恒仅仅暗示了同位旋规范场的存在，而并没有要求它的存在。所以杨振宁不得不亲自来思考：哪种实验才是证明同位旋规范场存在的决定性实验？吴大峻与杨振宁讨论了一个空想的、推广了的规范场的A-B实验，实际上可以说是一个思想实验。不幸的是，实验是不可行的，除非大量的规范粒子消失。至此，能够支持规范场的确凿证据就是它与纤维丛理论的关系，能带给杨振宁巨大信心的也是数学上的这种支持。可见数学在整个行文中的分量，即使着墨不多。
最后吴大峻与杨振宁对全文的一些问题作了六个评论。在第六个评论也就是最后一个评论中吴大峻与杨振宁再次谈到了纤维丛，他说：“在数学家看来，纤维丛是一个自然而然的几何概念。由于规范场，特别是包括电磁场都是纤维丛，所以可以说所有的规范场是建立在几何基础上的。对于我们来说，值得注意的是没有涉及物理学而形成的一个几何概念应当被证明是物理世界基础相互作用的一个基础，甚至可能是全部基础。”
在这段评论中，吴大峻与杨振宁阐述了规范场与纤维丛的关系：规范场，特别是包括电磁场都是纤维丛。这就是我们熟知的规范场与纤维丛关系的经典阐述，它出现在全文最后评论部分的最后一个评论中。从中可以看出杨振宁在物理学中给予了纤维丛非常高的地位，为物理学家探讨物理世界基本相互作用的基础提供了一个研究方向。
我们曾谈到吴大峻与杨振宁的这篇论文被广为人知是因为其中给出了规范场与纤维丛理论之间的关系，尤其是它所给出的纤维丛与规范场术语对照表，但是从上述分析来看，吴大峻与杨振宁的整个行文是物理的，只是在一些地方，用简短肯定的话语指出所涉内容已经被数学家所证实，仅一句话而已，并未展开论述。即使是给出规范场与纤维丛关系方面，也仅仅用了一句话和一个纤维丛与规范场术语对照表。为什么会这样？
吴大峻与杨振宁曾在论文的一开始谈到：虽然在第五部分给出了纤维丛与规范场术语对照表，但应当强调本文的兴趣不在数学中漂亮的、深刻的、普遍的纤维丛理论的发展；而是描述物理中规范理论的主要概念。值得注意的是这些概念已经被数学家作为数学内容作了详细的研究。
这段话给了上述问题一个很好的回答。对于吴大峻与杨振宁来说，他们关注的是规范场，而不是纤维丛，所以他们没有给纤维丛留多余的笔墨。另外，从文献分析来看，对于吴大峻与杨振宁，纤维丛理论早已是事实，而他们也完全明了规范场与纤维丛之间的关系（这归功于西蒙斯与陈省身）；所以当他们将规范场论述清楚的时候，也许认为规范场与纤维丛之间的关系是显然的，没有必要论述。
既然关注的是规范场，又无需耗墨论述规范场与纤维丛的关系，然而吴大峻与杨振宁为什么还要用一点点笔墨点破这层纸呢？
我们说不可积相因子与规范场整体表示是一种创新尝试，从心理学上分析，创新即意味着需要获取来自理论或实践方面的支持或检验，来证明或验证它的正确与否。吴大峻与杨振宁在规范场理论的论述过程中，每当指出所述概念或结果已经在数学上作了详细深入的论证时，应该说一方面它的确给了规范场以数学理论方面的支持，另一方面在心理上也给了吴大峻与杨振宁极大的支持，使他们能够坚信自己尝试的正确性，这种来自心理方面的支持所产生的积极作用是非常重要的。的确，这种来自数学方面的基础性支持，由于它的纯粹与绝对性，无需多说，只要说明存在即可“表情达意”。
事实效果又如何呢？这就是即使吴大峻与杨振宁整篇论文是物理的，对纤维丛着墨不多，但在关键的部分他们都有提及纤维丛或数学，所以对于读这篇论文的读者来说，完全可以体会到数学或纤维丛在规范场中的分量，也完全可以体会到数学或纤维丛在吴大峻与杨振宁心中所产生的深刻影响，也能体会到吴大峻与杨振宁所感受到的震撼与信心。
1982年，杨振宁为他的这篇论文写了一个后记[8]。从这篇后记我们可以看到在经历时间的沉淀后，杨振宁更加认识到纤维丛的重要性。这篇后记的第一句话就是“研究场论的物理学家必须学习纤维丛的数学概念，这一点越来越清楚了”。接着他再次回忆了当年学习纤维丛的事情，正是这样，“我们意识到规范场具有全局性的几何内涵（不应同物理学家的全局相因子混为一谈）。这种内涵是自然而然地用纤维丛概念表示出来的。”于是在1975年，“吴大峻和我探讨了这些全局性的内涵。我们证明了，规范相因子给了电磁学一种内在的完整描述。这种描述既不会过分，也不会不足。一旦接受了这一点，该文的其余部分便只不过介绍了纤维丛的概念而已；这些概念支撑了规范理论物理学中那些含混笼统的观念。”在杨振宁看来，当1975年论文的第二部分给出电磁学的一种完整描述后，论文的其余部分只不过是介绍纤维丛的概念。这一方面进一步体现了纤维丛在这篇规范场论文中的重要作用；另一方面也进一步解释了文中对纤维丛着墨不多以及又要着墨的原因。
三 1989年数学家陈省身给出的总结性的阐述
规范场与纤维丛的关系已经熟知，那么为什么规范场与纤维丛理论会有如此密切的关系？对此问题最好的阐述，还要数纤维丛理论大师陈省身。上述由于规范场与纤维丛关系问题的解决，20世纪80年代，数学界开始了研究规范场理论的热潮；陈省身也开始关注杨振宁的研究。陈省身是一位数学家，对于规范场与纤维丛的关系，他关注的是这层关系背后的深层数学原因。1989年，美国数学会出版了陈省身主编的254页的《整体微分几何》，这本书中有一节“具有联络的向量丛”，在该节的第七部分，陈省身阐述了他对此的深刻认识。
陈省身对其中的物理量，作了相应的数学处理。他首先引进了主对角线是零的4阶反对称矩阵，它们的元素是由上述电场和磁场的分量组成的；接着他用电流和场强的分量重新定义了电流和场强。利用洛伦兹度量和霍奇意义下对应的算子，陈省身将经典麦克斯韦方程等价变形为：
进一步，陈省身指出方程(108b)是方程(110)dA=F的推论；方程(110)又是方程(78)Q=dω的改写。由于M是一个4维洛伦兹流形，E是M上一个埃尔米特线丛，就会有一个可允许的联络ω及这个联络的曲率式Q，它们有关系Q=dω。这是一维纤维的几何表示，所以一维纤维的几何表示正是麦克斯韦方程。这样陈省身就证明了麦克斯韦方程的数学基础就是一维纤维丛及其上的联络。
接着，陈省身引进一些新的研究结果，对麦克斯韦方程进行推广改写。上述麦克斯韦方程(108b)是方程(110)的一个推论，在一般情况下这是事实。但A-B实验出现后，情况就不同了。A-B实验的结果使研究者认识到，为了描述电磁学中所有现象，应该用方程(110)来代替方程(108b)，也就是说麦克斯韦方程中的未知量应该是联络或规范势A，而不是曲率或场强F，于是推广的麦克斯韦方程应该是：
这样，陈省身得到“杨－米尔斯方程就是麦克斯韦方程的一个直接推广，它们分别是纤维维数为1和2的情形”。
在其后的一些演讲、访谈中，陈省身通俗地表达了这种认识。1999年9月24日，在复旦大学主办的“求是科学基金”颁奖会上，陈省身指出：在纤维丛上定义一个平行性A，这个平行性的微分，就等于电磁场的场强F，对F再求它的余微分，就得到F的流矢量J。即得到了方程dA=F，δF=J，这是麦克斯韦方程。所以说麦克斯韦方程就是建立在一维的纤维丛上，而且是一个复一维的纤维丛，它可以看作是U(1)丛上的联络。现在用一个非阿贝耳群SU(2)的联络，将上述方程重新写一遍，就是杨－米尔斯方程，只是它是在二维的纤维丛上，它可以看作是SU(2)丛上的联络。所以说，一维空间的麦克斯韦方程向二维推广就是杨－米尔斯方程。[10]
规范场为什么会与纤维丛有关系，这是很早以前就注定的。
【收稿日期】2009-01-23
标签：杨振宁论文; 数学论文; 陈省身论文; 纤维丛论文; 实验物理论文; 物理学家论文; 电磁学论文; 数学家论文; 麦克斯韦论文; 物理论文;