充分条件推理与矛盾证法，本文主要内容关键词为：矛盾论文,条件论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
【摘 要】 本文以充分条件关系的形式化即充分条件式A→B以及塔尔斯基形式语句真的定义为基础，建立了命题逻辑充分条件推理系统Ps和NPs。它们有可靠性定理： Γ,A├B 当且仅当 Γ├A→B， 其中A→B是Γ充分条件式。直观的反证法和归谬法不是充分条件推理。在NPs中它们被矛盾证法即矛盾吸收律
的定理但不具重言式意义；数的次序理论可按NPs 逻辑建立起来。x＝y被定义为x〈y且y〈x。以此代替“同一关系”的循环式定义即莱布尼兹定律。逻辑矛盾是数学理论不可缺少的基石。NPs 逻辑还可以证实S.M.ULAM的猜想：“确实有些命题的不可判定性也可能是不可判定的。这会引起哲学上的极大兴趣。”*
【关键词】 Γ充分条件式 充分条件推理 矛盾证法 矛盾吸收律
传统演绎推理最重要的一种是充分条件推理。其中肯定前件式：
如果A则B
A
━━
所以B
也叫“肯定前件的假言推理”。在现代逻辑中它叫分离规则即MP规则：
其中语句A→B称为条件语句，又称为蕴涵（式）。〔1〕
蕴涵（式）A→B有若干不同的意义。实质蕴涵是一种真值函数，其真值由它的两个变元A和B的真值决定。实质蕴涵A→B即使是重言式，其中A也未必是B的充分条件。但按直觉主义的说法：“如果α则β指：有一个证明方法使得与证明α的方法配合以后便证明了β。”〔2 〕其中证明指直觉主义的构造性证明。可见直觉主义的蕴涵A→B表示A是B的充分条件。
如何确定A是B的充分条件，这是具体学科的任务。例如，水分解为氢和氧的充分条件由化学去确定。人类向月球移民的充分条件的确定是多学科的任务。但都不是逻辑学的任务。
作为构造充分条件推理逻辑系统的出发点，我们不问如何确定A 是B的充分条件，并绕开关于公式A→B的种种本不属于形式逻辑的争议， 直接采取下列形式定义：
A→B当且仅当A是B的充分条件，即如果A则B。
其中符号→表示充分条件关系。A→B称充分条件式，是“A是B的充分条件”的形式化，断定有A必有B。
直觉主义蕴涵式A→B是充分条件式；实质蕴涵式A→B不是充分条件式。
（一）命题逻辑充分条件推理系统Ps的建立
1.初始符号
（1）A，B，C，……
（2）
，→，（，）；
2.形成规则
（1）A，B，C，……都是原子公式，原子公式是公式；
第三，Ps系统不以真值函数为前提，真值函数的蕴涵式并不适合于充分条件推理。但是，Ps系统的公理在真值函数解释下是永真式。真值函数解释是Ps系统成为重言式系统P[,f]的充分条件。然而P[,f]系统仍需应用充分条件推理。所以P[,f]系统要以Ps 系统为基础。 P[,f]系统的推理规则即MP规则仍然是充分条件推理规则。要从A及A→B得到结论B是重言式，充分条件是A及A→B都是重言式，其中A→B必是充分条件式。
重言式系统P[,f]或逻辑代数只是数学的一个特殊分支。与其它数学分支一样都要应用充分条件推理系统Ps的逻辑。但P[,f]不是逻辑本身，也不是逻辑的数学模型。把重言式当作逻辑规律是没有充分根据的。由重言式产生的各种怪论与逻辑无必然联系。
第四，在Ps和P[,f]中都没有两个互否的公式A和A同时都是定理。在这个意义上，Ps和P[,f]一样都是无矛盾的，也都没有归谬法或反证法。因为归谬法或反证法都以推出矛盾为前提，这种情况只出现在自然推理系统中。由于直觉主义的蕴涵式A→B是一种充分条件式，如果不涉及直觉主义的归谬法，则直觉主义的命题演算公理系统是一种充分条件推理系统。
（二）充分条件自然推理系统NPs与矛盾证法
在数学的实际推理中并不完全如Ps系统那样仅由公理出发。“它允许我们随意地使用任何公式D[,1]，…，D[,1]，叫做这推演的假定公式，它们暂时和公理是被同样看待的。”〔5 〕这样的推演叫假设推理即所谓自然推理。〔6〕为了数学推理的需要，我们在公理系统Ps 基础上建立充分条件自然推理系统NPs。
NPs系统的初始符号和形成规则同Ps， 而公理被代之以下列推理规则：
1.推理规则
在数学推理实践中常用的规则有：肯定前提规则；肯定前件的假言推理规则；传递规则；否定后件的假言推理规则。我们相应地规定下列四条形式规则：
规则（1）设Γ=｛A[,1]，A[,2]，…An｝是前提集。如果Ai∈Γ，则Γ├Ai,i=1,2,…n.
规则（2）A,A→B├B.
规则（3）A,A→B,A→（B→C）├C.
规则（4）A→B,B├A.其中符号→表示充分条件关系，├表示推出。
由规则1—4所得的下列公式显然是Γ充分条件式，即公式中出现的每个符号→都表示充分条件关系，可称它们为基本导出定理：
1°A[,1]→（A[,2]→…（An→Ai））,i=1,2,…,n.
2° A→（（A→B）→B）.
3° （A→（B→C））→（（A→B）→（A→C））.
4° （A→B）→（B→A）.
1°中当n=2，A[,1]=A，A[,2]=B，i=1时，即是Ps 中的公理（A[,1]）：A→（B→A）。3°和4°是Ps的公理（A[,2]）和（A[,3]）。而2°相当于MP规则。如果选定基本充分条件式即基本导出定理1°、3°、4°为公理，以及2°相应的MP规则，那么由前提Γ到结论A的推理，可形式定义如下：
2.推理定义
定义：Γ├ A当且仅当存在一公式序列，称为由前提Γ到结论A 的推理序列，其中最后一项是A，且每一项E满足：
（1）E∈Γ，或
（2）E是公理，或
（3）在E之前序列中有两个公式D与D→E，且D→E 是Γ充分条件式。
Γ├ A→B，且A→B是Γ充分条件式。
以上证明的推理定理是充分条件推理系统NPs的可靠性定理。 它具有两个方面的可靠性：
第一，前提A（或Γ∪ ｛A｝）和A→B （Γ充分条件式）在塔尔斯基意义下的形式真， 以及形式正确（反映充分条件推理） 的推理规则即MP规则，保证了消去→后的结论B是形式真的。
第二，由于基本导出定理即公理中包含的符号→都是充分条件关系，根据上述推理定理引进的→也是充分条件关系。因此，NPs 系统中的公式A→B都是Γ充分条件式。重复应用推理定理可得多层Γ充分条件式。
在以真值函数为基础的假设推理中，例如｛A,A→B｝├ B， 前提A和A→B（为实质蕴涵式）都可能是假的。推理的可靠性即使在形式上也是无法保证的。由于A∧（A→B）→B是重言式即所谓逻辑规律〔7〕，也相当于一正确推理形式〔8〕，故当A真而A→B假即B假时亦成立， 但这时Γ∪｛A｝├ B乃是由（A）真推（B）假的逻辑错误。 其原因是推理式｛A，A→B｝├ B中实质蕴涵A→B 没有形式真或Γ充分条件式的保证。
4.利用矛盾的证明·矛盾吸收律
现代逻辑中利用矛盾的证明是指反证法和归谬法证明〔9〕。 方法如下：
（1）引入预期的结论的否定作为一个新前提。
（2）从这个新前提连同给定的前提一起推出矛盾。
（3）断定预期的结论是从给定的前提得出的逻辑推断。
由于Ps系统或重言式系统P[,f]只从公理出发，不会推出矛盾，故无利用矛盾的证法。利用矛盾的证法出现在使用假设前提的自然推理中。但上述反证法和归谬法不是充分条件推理。在NPs 系统中作为充分条件推理的利用矛盾的证法是矛盾吸收律。它可由初始规则1—4及推理定理推导出来：
注释：
* 本文于1996年12月23日收到。
〔1〕[美]P·苏佩斯著、宋文淦等译：《逻辑导论》，第6页。
〔2〕莫绍揆：《数理逻辑教程》，第40页。
〔3〕A·Tarski TRUTH AND PROOF Scilntific American,( June1969),P220.
〔4〕[英]A·G·哈密尔顿著、骆如枫等译《数学家的逻辑》，第10页。
〔5〕[美]S·C·克林著、莫绍揆译《元数学导论》，上册， 第89页。
〔6〕莫绍揆：《数理逻辑教程》，第43页。
〔7〕J.M.BOCHENSKI H.B.CURRY著、田龙九等译《数理逻辑与数学哲学》，第22页。
〔8〕王宪钧：《数理逻辑引论》，第23页。
〔9〕[美]P·苏佩斯著、宋文淦等译《逻辑导论》，第47页。
〔10〕塔尔斯基著、周礼全等译《逻辑与演绎科学方法论导论》，第149页。
〔11〕[美]R·柯朗 H·罗滨著、左平等译《数学是什么？》，第36页。