探究“一对一”图形的多变性与不变性，本文主要内容关键词为：多变论文,图形论文,不变性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来的中考压轴题中，几何探究题占有不可或缺的地位.其中，以两个形状相同的共点图形（为方便下文论述，将此类图形简称为“一对一”图形）的探究题最让人赏心悦目.为此我们就来研究下“一对一”图形的多变性与不变性.所谓多变性，一是由于“一对一”图形既可以是等边三角形、正方形等具备特殊性质的图形，也可以是相似的直角三角形等；二是“一对一”图形往往是其中一个图形相对于另一个图形绕公共点旋转得到的，旋转的角度不同，图形的相对位置不同，从而呈现形式的多样化.所谓不变性，是“一对一”图形能从多变的图形中呈现其中不变的关系，即结论的相对不变性.下面主要研究“一对一”图形中线段长度的恒等性、线段（或其延长线）交角的固定性、线段的比值不变性，以及证明这些不变性所采用的思维方法，以期为解决“一对一”图形题目提供些许帮助.
一、“一对一”图形中线段长度的恒等性
（一）试题呈现
（1）如图1（1），已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
（2）如图1（2），已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图1（3），要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE.求BE的长.
（二）试题分析
问题（1）显然是考查学生的尺规作图能力，本文的重点所限，在此只提供图形，不做赘述.
问题（2）从三角形过渡到四边形，但方法不变，都是利用一对“共点三角形”全等（△ADC≌△ABE）.问题（3）在问题（1）、问题（2）的基础上，在△ABC左侧构造“一对一”的等腰Rt△ABD，从而利用∠ABC=45°在Rt△DBC中求出DC的长.
（三）思维方法点睛
从上例可以看出，无论是“一对一”等边三角形还是正方形或等腰直角三角形，其对应线段DC与BE都是相等的.证明其相等的方法，是利用等边三角形（等腰直角三角形、正方形）的性质，从而构造三角形全等.
二、“一对一”图形中线段交角度数的固定性
上题可以看做以△ABC的AB、AC两边作“一对一”图形，从而探究两条线段DC、BE的相等关系，我们把问题细化，探究DC、BE的交角度数有什么必然联系.
（一）两条线段（或所在直线）的交角
下页图2（1）中，△ADB、△AEC是等边三角形；图2（2）中，四边形ABFD、ACGE是正方形；图2（3）中，△ABD、△ACE是等腰直角三角形，BE、CD的交角各是多少度？
（二）题目分析
在图2（1）中，∠DBM+∠BDM+∠DMB=180°，即∠DBA+∠DMB+∠ABM+∠BDA-∠ADM=180°，从而有∠DMB=60°；在图2（2）中，根据四边形的内角和，有∠DMB=90°，在图2（3）中，根据三角形的内角和亦有∠DMB=90°.
（三）总结与思考
从图2中两条线段的交角度数可以看出，交角与△ABC的内角度数没有关系，而是等于“一对一”图形中与点A共顶点的角的度数，实质上，BC边在问题中没有起到任何作用，如果抛开BC边，可以看做“一对一”图形中一个图形绕点A旋转，如果旋转任意的度数，两条线段所在直线的交角也是不变的（如图3、图4、图5）
（四）思维方法点睛
从以上的分析可以看出，无论“一对一“图形的相对位置如何变化，图形中两条线段的交角度数都是相对固定的，解决问题的方法仍是利用等边三角形的性质，构造全等三角形，然后将角转移到一个三角形中，利用内角和求出度数.
三、“一对一”图形中线段比值的不变性
图3～图5是将“一对一”等边三角形、正方形、等腰直角三角形中其中一个绕公共点旋转，其中，“一对一”的两个图形是特殊的；如果将特殊的“一对一”图形改为其他相似的“一对一”图形，仍是作旋转又可以产生怎样的效果呢？下面我们一起把视线从一对等腰直角三角形移向一对相似的含30°的直角三角形，让我们一同探究“一对一”图形中线段比值的不变性.
（一）题目呈现
如图6所示，以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°.
（1）如图6（1），当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，AD、BC的交角为________，
=________；
（2）如图6（2），将△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断AD与BC的交角、的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（二）题目分析
（三）题目延伸
如果在图6中增加点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.其余条件不变，
①如图7（1），当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，
=________；
②如图7（2），将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（四）思维方法点睛
可以看出，将全等的“一对一”三角形转化为相似的“一对一”三角形后，两条线段AD、BC的交角仍是固定的，此时的线段AD、BC虽然不再相等，但是其比值也是相对不变的.再者，将题目延伸后，解决问题仍然利用了原来的“一对一”相似三角形的性质，实质上，△EFM与原来的“一对一”三角形（△AOB与△COD）仍然是相似的.其结果具有相对不变性，解决问题的方法具有相通性.
本文在探索过程中，几何直观起到了至关重要的作用，例如全等三角形的发现、构造直角三角形都需要我们具有良好的几何直观意识，即善于从图形中直观地去发现内在的联系，才能完成方法的拓展、延伸与发散.
本文一开始提出的问题并非动态的，但题中并未给出“原始”△ABC的内角及BC是否固定，所以该题目中的两个三角形（或正方形）其中一个是绕固定顶点A旋转的，在旋转中，两线段BE、CD的长度关系不变，两线段（或所在直线）交角不变；之后问题拓展延伸到含30°角的直角三角形中的比值不变，更是将动态性发挥得淋漓尽致，这就要求我们在分析“一对一”图形时，要用动态的眼光去分析，这样才能看到问题的实质.
从正三角形到正方形、等腰直角三角形、含30°角的直角三角形，从三角形全等到三角形相似，都体现了从特殊到一般的的数学思想的广泛应用，所以我们在用动态的观点去分析问题的同时，更要关注从特殊到一般的数学思想在解题教学中的重要作用.