极化恒等式速解一类平面向量问题，本文主要内容关键词为：恒等式论文,向量论文,平面论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、数量积与线性问题 例1 （2014年杭州市模拟试题）已知向量a、b满足｜2a+3b｜=1，则a·b的最大值为________. 分析：此题主要是通过平面向量的线性条件来求解平面向量数量积的最大值.问题设置简洁，但考生化解却颇费脑筋，原因是此题突破的思路看似很多，但完成起来却要费一番工夫，若能借助于平面向量的极化恒等式，破解起来可谓事半功倍.
点评：破解此类问题，因涉及的路径入口较多，因此方法也是层出不穷.构造法和不等式法在破解时虽也是简洁明了，但要想到这类方法的突破口较为困难，对很多学生而言，理解尚可，掌握上就难以有把握了；而借助于极化恒等式，只要能画出线性图形，结合几何意义，问题的突破就是水到渠成. 二、数量积与三角形问题
分析：此题若采用普通的方法，只能通过一个一个的检验进行，排除不满足条件的情况，对于满足条件的进行论证；而若能采用极化恒等式进行突破，再结合三角形的特点，就可将问题转化为点到直线的距离最小问题，使复杂多变的几何问题变得单一和直观，破解效率大大提高.
点评：在三角形问题中运用极化恒等式，可将复杂问题具体化，通过极化恒等式可使综合问题单一化，从而使数学抽象问题变得更加直观和形象，便于考生化解和突破. 三、数量积与圆问题
分析：这类向量点积问题若采用普通方法也可以化解，即将平面向量问题坐标化突破求解，然而若能结合极化恒等式，点积值的求解可事半功倍.
解法2：（借助于极化恒等式）如图5所示，取MN的中点为G，则CG⊥MN，
由极化恒等式可得
点评：采用一般解法计算向量点积值运算量大，也容易出错，若能结合极化恒等式就能化繁为简，数形结合效果好. 四、数量积与圆锥曲线问题
分析：对于圆锥曲线中的向量关系的运算求解，一般方法就是运用坐标法结合韦达定理进行运算求解，此方法运算量大，需要考生有扎实的运算功底.若能采用极化恒等式，结合图形特点，则运算就直观、简捷高效.
点评：在圆锥曲线问题求解中，运用极化恒等式时，若能结合圆锥曲线的特点，运用效果是非常不错的，既体现了作为工具的极化恒等的应用之美，也体现了数学的几何之美.
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